数学

「1個もりんごがない箱」 「誰も来なかったパーティー」 「条件を満たす数が存在しない」これらに共通するのは「何もない」という状態です。 数学では、この「何もない集合」を**空集合（くうしゅうごう）**と呼びます。「何もないなら、考える必要な...

「無限に続く数の列って、どこまでもバラバラになるんじゃないの？」 「数が無限にあったら、収拾がつかなくなりそう...」 「有界って何？収束するってどういうこと？」実は、無限に続く数列でも、ある条件を満たせば必ず規則的な部分が見つかるんです。...

「平均値の定理」と聞いて、難しそうだなと感じていませんか？実はこの定理、私たちの日常生活でよく経験することを数学的に表現しただけなんです。簡単に言えば「どこかで必ず平均と同じになる瞬間がある」ということを教えてくれる定理です。たとえば、東京...

「数学で『根』って言葉が出てきたけど、何のこと？」 「√（ルート）と方程式の根って同じもの？」 「なぜ解のことを根と呼ぶの？」数学で使われる「根（こん）」という言葉、 実は3つの異なる意味があるんです。でも心配いりません！ すべて「元に戻す...

「無限」という言葉を聞いて、どんなイメージを持ちますか？終わりがない、果てしない、数え切れない...そんな感じでしょうか。 でも実は、無限にも「大きさの違い」があるって知っていましたか？これを数学的に証明したのが、19世紀のドイツの数学者ゲ...

「複素関数を閉じた道に沿って積分すると0になる？なぜ？」 「留数定理との違いが分からない...」 「複素積分って実際何の役に立つの？」こんな疑問を持っていませんか？実は、コーシーの積分定理は複素解析の心臓部とも言える定理で、これを理解すると...

「三角形の問題で、線分の比が絡むとお手上げ...」 「メネラウスの定理と何が違うの？」 「公式は覚えたけど、いつ使えばいいか分からない」こんな悩み、ありませんか？実は、チェバの定理をマスターすれば、三角形に関する難しそうな問題の半分以上は楽...

「山の頂上まで登るとき、必ず中間の高さを通過する」 「気温が朝10度から昼20度になったら、必ず15度の瞬間があった」 「車で時速0kmから60kmまで加速したら、必ず時速30kmの瞬間があった」これらは当たり前のように思えますよね？実は、...

「重たい飛行機がなぜ空を飛べるの？」 「電車のホームで黄色い線の内側に下がるのはなぜ？」 「霧吹きはどうして水を吸い上げるの？」実は、これらの疑問の答えはすべて、ベルヌーイの式という一つの物理法則で説明できるんです。18世紀にスイスの科学者...

数学の世界には、複雑に見えるものを単純で美しい形に変換できる「魔法のような定理」がいくつか存在します。スペクトル定理は、まさにそんな定理の一つです。この定理は、対称行列や正規行列といった「性質の良い行列」を、対角行列という最もシンプルな形に...

三角形を見たとき、あなたは何を思い浮かべますか？ピラミッド、屋根の形、三角定規...。でも実は、どんな三角形の中にも、目には見えない美しい数学的な関係が隠れています。その一つが「スチュワートの定理」です。この定理は、1746年にスコットラン...

決定係数（R²）って聞いたことありますか？これは、予測モデルがどれだけデータを説明できるかを示す統計指標です。 0から1の値で表され、パーセンテージとして解釈されます。例えば、R²が0.75なら？ モデルが結果の変動の75%を説明できること...

「山の頂上は必ずどこかにある」 「閉じた部屋の中で一番高い場所と低い場所は必ず存在する」当たり前のように思えるこの事実、実は数学的に証明された重要な定理なんです。それが極値定理（最大値・最小値定理）です。微分積分を学ぶ上で避けて通れないこの...