[数学]ネイピア数eとは

科学

2021.02.102021.02.19

高校でネイピア数を習うと思います。

自分の高校の時の教科書だと極限の式を並べて出てきたのがネイピア数eという風な感じでした。

正直、そんなの見ても結局のところネイピア数って何なの？っていう疑問が残ったままでした。

今回はネイピア数eの正体を高校数学でも分かるように解説します。

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目次

ネイピア数の意味
まとめ

ネイピア数の意味

ネイピア数の定義式は $e= \lim_{x \rightarrow \pm \infty } (1+ \frac{1}{x} ) ^{x}$ です。

この式だけだと分かりにくいです。

まずは指数関数 $y=f(x)= a^{x}$ について考えていきます。

関数のx=0の時の微分を考えます。

すると

$f' (0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$

という式が出てきます。

右辺の分母は、 $f(h+0)= a^{h+0}$ 、 $f(0)= a^{0} =1$ なので $a^{h}-1$ となります。

よって、

$f' (0)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{h}-1}{h}$

となります。

そして、この方程式の微分係数 $f' (0)$ が１となる時のaがネイピア数です。

グラフで見ると

この時の緑の指数関数の底aがネイピア数eです。

実際に

$f' (0)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{h}-1}{h} = 1$

という方程式のaをネイピア数eとして、ここでは複雑なので省きますが、方程式を解くと

の定義式が出てきます。

ネイピア数の公式

ネイピア数の公式を4つ紹介します

(1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

(2) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{log(1 + x)}{x}=1$

(3) $\lim_{x \rightarrow 0 } (1 + x) ^ {\frac{1}{x} }= e$

(4) $\lim_{x \rightarrow \pm \infty } (1 + \frac{1}{x} ) ^ {x}= e$

これら4つの式は前述した微分係数が1の時の方程式を解く過程ですべて登場します。

まとめ

ネイピア数とは指数関数 $y=f(x)=a^{x}$ のx=0の時の微分係数が1の時のaの値
ネイピア数の定義式、公式は方程式を解く過程で現れる

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