複素関数とは？基礎から応用まで徹底解説｜定義・性質・具体例

「複素関数って何？」「実関数とどう違うの？」「どこで使うの？」——数学や工学を学んでいる方なら、複素関数という言葉を聞いたことがあるかもしれません。

複素関数は、複素数を扱う関数のことで、実関数では表現できない豊かな性質を持っています。電気工学、流体力学、量子力学など、多くの分野で重要な役割を果たしています。

今回は、複素関数について基礎から応用まで徹底解説します。定義、性質、具体例、そして実際の応用まで、分かりやすくお伝えします。

複素関数とは？

まず、複素関数の基本的な定義から見ていきましょう。

定義

複素関数（complex function）

複素数を入力として受け取り、複素数を出力する関数のことです。

数学的な表記

f: ℂ → ℂ

• ℂ：複素数の集合
• f：複素数から複素数への写像

一般的な形

w = f(z)

• z = x + iy：入力の複素数（x, y は実数）
• w = u + iv：出力の複素数（u, v は実数）
• i：虚数単位（i² = -1）

実関数との違い

複素関数と実関数の違いを理解しましょう。

実関数

f: ℝ → ℝ
y = f(x)

• 入力：実数（1次元）
• 出力：実数（1次元）
• グラフ：2次元平面上の曲線

複素関数

f: ℂ → ℂ
w = f(z)

• 入力：複素数（2次元：実部 + 虚部）
• 出力：複素数（2次元：実部 + 虚部）
• 可視化：4次元が必要（通常は工夫して表現）

複素関数の表記方法

複素関数は、いくつかの方法で表記できます。

方法1：複素数形式

w = f(z) = z² + 3z + 2

方法2：実部と虚部で分離

z = x + iy
w = u(x,y) + iv(x,y)

• u(x,y)：実部
• v(x,y)：虚部

例：f(z) = z²の場合

z = x + iy
z² = (x + iy)² = x² - y² + 2xyi

したがって：
u(x,y) = x² - y²
v(x,y) = 2xy

複素数の基礎（復習）

複素関数を理解するために、複素数の基本を復習しましょう。

複素数とは

定義

z = x + iy

• x：実部（real part）Re(z) = x
• y：虚部（imaginary part）Im(z) = y
• i：虚数単位（i² = -1）

例

z = 3 + 4i
Re(z) = 3
Im(z) = 4

複素数の表現方法

1. 直交座標形式（rectangular form）

z = x + iy

2. 極座標形式（polar form）

z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ)

• r = |z| = √(x² + y²)：絶対値（modulus）
• θ = arg(z)：偏角（argument）
• x = r cos θ
• y = r sin θ

例

z = 1 + i
r = √(1² + 1²) = √2
θ = arctan(1/1) = π/4

極座標形式：
z = √2 · e^(iπ/4)

複素数の演算

加法

(x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

乗法

(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

共役複素数

z = x + iy の共役：z̄ = x - iy

絶対値

|z| = √(x² + y²) = √(z·z̄)

複素関数の具体例

実際の複素関数を見ていきましょう。

例1：多項式関数

f(z) = z²

計算

z = x + iy
f(z) = (x + iy)² = x² - y² + 2xyi

実部：u(x,y) = x² - y²
虚部：v(x,y) = 2xy

具体的な値

z = 1 + i の場合：
f(1+i) = (1+i)² = 1 - 1 + 2i = 2i

z = 2 + 3i の場合：
f(2+3i) = (2+3i)² = 4 - 9 + 12i = -5 + 12i

例2：一次関数

f(z) = az + b（a, b は複素定数）

特徴

• 複素平面上の線形変換
• 回転、拡大・縮小、平行移動の組み合わせ

例：f(z) = (1+i)z + 2

z = 1 の場合：
f(1) = (1+i)·1 + 2 = 3 + i

z = i の場合：
f(i) = (1+i)·i + 2 = i - 1 + 2 = 1 + i

例3：逆数関数

f(z) = 1/z

計算

1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/((x+iy)(x-iy)) = (x-iy)/(x²+y²)

実部：u(x,y) = x/(x²+y²)
虚部：v(x,y) = -y/(x²+y²)

注意

• z = 0 では定義されない（特異点）

例4：指数関数

f(z) = e^z

オイラーの公式を使った定義

e^z = e^(x+iy) = e^x · e^(iy) = e^x(cos y + i sin y)

実部：u(x,y) = e^x cos y
虚部：v(x,y) = e^x sin y

特徴

• 周期的：e^(z+2πi) = e^z
• e^z ≠ 0（すべてのzで）

具体例

e^(iπ) = -1（オイラーの等式）
e^(iπ/2) = i
e^(2πi) = 1

例5：三角関数

sin(z) と cos(z)

定義（オイラーの公式から）

sin z = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)
cos z = (e^(iz) + e^(-iz))/2

展開（z = x + iy）

sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos(x+iy) = cos x cosh y - i sin x sinh y

• cosh：双曲線余弦関数
• sinh：双曲線正弦関数

特徴

• 実軸上では通常の三角関数
• 複素数では非有界（|sin z| → ∞ もあり得る）

複素関数の微分可能性

複素関数の最も重要な性質の一つが、微分可能性です。

複素微分の定義

定義

複素関数 f(z) が点 z₀ で微分可能とは、以下の極限が存在することです。

f'(z₀) = lim[h→0] (f(z₀+h) - f(z₀))/h

ここで h は複素数です。

重要なポイント

実関数の微分では、h は実数で左右からのみ近づきます。
複素関数の微分では、h は複素数であらゆる方向から近づける必要があります。

正則関数（holomorphic function）

定義

ある領域内のすべての点で微分可能な複素関数を、その領域で正則（holomorphic）または解析的（analytic）といいます。

正則関数の例

• 多項式：f(z) = z^n
• 指数関数：f(z) = e^z
• 三角関数：f(z) = sin z, cos z
• 対数関数：f(z) = log z（多価関数）

正則でない例

• 共役関数：f(z) = z̄
• 実部のみ：f(z) = Re(z)
• 絶対値：f(z) = |z|

正則関数の性質

1. 無限回微分可能

正則関数は、何回でも微分できます。

f(z)が正則 → f'(z), f''(z), f'''(z), ... すべて存在

2. べき級数展開可能

正則関数は、べき級数で表せます。

f(z) = Σ[n=0→∞] aₙ(z-z₀)^n

3. 平均値の定理

円周上の平均値が、円の中心の値と等しくなります。

4. 最大値の原理

領域内で正則な関数の絶対値は、領域の境界で最大値をとります。

コーシー・リーマンの方程式

複素関数が正則であるための必要十分条件が、コーシー・リーマンの方程式です。

コーシー・リーマンの方程式

定理

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) が正則であるための必要十分条件は、以下の方程式を満たすことです。

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

これをコーシー・リーマンの方程式（Cauchy-Riemann equations）といいます。

例で確認

例：f(z) = z²

u(x,y) = x² - y²
v(x,y) = 2xy

∂u/∂x = 2x
∂v/∂y = 2x  → ∂u/∂x = ∂v/∂y ✓

∂u/∂y = -2y
∂v/∂x = 2y   → ∂u/∂y = -∂v/∂x ✓

コーシー・リーマンの方程式を満たすので、f(z) = z² は正則です。

例：f(z) = z̄（共役）

z̄ = x - iy

u(x,y) = x
v(x,y) = -y

∂u/∂x = 1
∂v/∂y = -1  → ∂u/∂x ≠ ∂v/∂y ✗

コーシー・リーマンの方程式を満たさないので、f(z) = z̄ は正則ではありません。

極座標形式

極座標 (r, θ) で表す場合のコーシー・リーマンの方程式：

∂u/∂r = (1/r)∂v/∂θ
(1/r)∂u/∂θ = -∂v/∂r

初等複素関数

よく使われる初等複素関数を詳しく見ていきましょう。

1. 指数関数（exponential function）

定義

e^z = e^(x+iy) = e^x(cos y + i sin y)

性質

• e^(z₁+z₂) = e^z₁ · e^z₂
• (e^z)’ = e^z
• 周期性：e^(z+2πki) = e^z（k は整数）
• e^z ≠ 0（すべてのzで）

重要な値

e^0 = 1
e^(iπ) = -1
e^(2πi) = 1
e^(iπ/2) = i

2. 対数関数（logarithmic function）

定義

w = log z は、e^w = z を満たす複素数 w です。

主値

Log z = log|z| + i·Arg(z)

• Arg(z)：主偏角（-π < Arg(z) ≤ π）

多価性

対数関数は多価関数です。

log z = log|z| + i(arg(z) + 2πk)  （k は整数）

例

log 1 = 0, ±2πi, ±4πi, ...
Log 1 = 0（主値）

log i = iπ/2, i(π/2 + 2π), i(π/2 + 4π), ...
Log i = iπ/2（主値）

3. 三角関数

定義

sin z = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)
cos z = (e^(iz) + e^(-iz))/2
tan z = sin z / cos z

性質

• (sin z)’ = cos z
• (cos z)’ = -sin z
• sin²z + cos²z = 1
• 周期性：sin(z + 2π) = sin z

展開

sin(x+iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos(x+iy) = cos x cosh y - i sin x sinh y

特徴

複素三角関数は非有界です。

例：sin(iy) = i sinh y → y → ∞ のとき ∞

4. 双曲線関数

定義

sinh z = (e^z - e^(-z))/2
cosh z = (e^z + e^(-z))/2
tanh z = sinh z / cosh z

三角関数との関係

sinh(iz) = i sin z
cosh(iz) = cos z
sin(iz) = i sinh z
cos(iz) = cosh z

5. べき関数

定義

z^α = e^(α log z)

• α は複素数

多価性

α が整数でない場合、多価関数になります。

例

√z = z^(1/2) は2つの値を持つ
z^(1/n) は n 個の値を持つ

複素積分

複素関数の積分は、実関数の積分とは異なる性質を持ちます。

複素積分の定義

経路積分

複素平面上の曲線 C に沿った積分：

∫_C f(z)dz = ∫_C (u + iv)(dx + idy)
           = ∫_C (udx - vdy) + i∫_C (vdx + udy)

パラメータ表示

曲線 C が z(t) = x(t) + iy(t)（a ≤ t ≤ b）で表される場合：

∫_C f(z)dz = ∫_a^b f(z(t))z'(t)dt

コーシーの積分定理

定理

f(z) が単連結領域 D で正則ならば、D 内の任意の閉曲線 C に対して：

∮_C f(z)dz = 0

意味

正則関数の積分は、経路に依存しません（始点と終点のみに依存）。

例

f(z) = z² は正則なので、任意の閉曲線 C に対して：

∮_C z²dz = 0

コーシーの積分公式

定理

f(z) が領域 D で正則で、C が D 内の単純閉曲線ならば、C の内部の点 z₀ に対して：

f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z)/(z-z₀) dz

一般化（n階微分）

f^(n)(z₀) = (n!/2πi)∮_C f(z)/(z-z₀)^(n+1) dz

意味

正則関数の値は、その周りの値から完全に決まります。

留数定理

留数定理は、複素積分を計算する最も強力な道具の一つです。

特異点

定義

関数 f(z) が点 z₀ で定義されない、または正則でない場合、z₀ を特異点（singularity）といいます。

種類

1. 除去可能特異点（removable singularity）

例：f(z) = sin z / z の z = 0
lim[z→0] f(z) が存在する

2. 極（pole）

例：f(z) = 1/z² の z = 0
lim[z→0] |f(z)| = ∞

3. 真性特異点（essential singularity）

例：f(z) = e^(1/z) の z = 0
極限が定まらない

留数（residue）

定義

f(z) の z₀ における留数 Res(f, z₀) は、ローラン展開の (z-z₀)^(-1) の係数です。

f(z) = Σ[n=-∞→∞] aₙ(z-z₀)^n

Res(f, z₀) = a₋₁

計算方法（1位の極の場合）

Res(f, z₀) = lim[z→z₀] (z-z₀)f(z)

例

f(z) = 1/(z-1)

Res(f, 1) = lim[z→1] (z-1)·1/(z-1) = 1

留数定理

定理

f(z) が閉曲線 C の内部で、有限個の特異点 z₁, z₂, …, zₙ を除いて正則ならば：

∮_C f(z)dz = 2πi·Σ[k=1→n] Res(f, zₖ)

意味

複素積分は、特異点の留数の和で計算できます。

留数定理の応用例

例：実積分の計算

I = ∫_{-∞}^∞ 1/(1+x²) dx

複素関数で考える

f(z) = 1/(1+z²) = 1/((z-i)(z+i))

特異点：z = i, -i（1位の極）

上半平面の特異点での留数

Res(f, i) = lim[z→i] (z-i)/(1+z²)
          = 1/(2i)

留数定理を適用

∮_C f(z)dz = 2πi·Res(f, i) = 2πi·1/(2i) = π

結果

I = ∫_{-∞}^∞ 1/(1+x²) dx = π

複素関数の応用

複素関数は、多くの分野で実用的に使われています。

1. 電気工学

交流回路の解析

交流電圧・電流を複素数で表現します。

V = V₀e^(iωt) = V₀(cos ωt + i sin ωt)
I = I₀e^(i(ωt+φ))

インピーダンス

Z = R + iωL - i/(ωC)

• R：抵抗
• L：インダクタンス
• C：キャパシタンス

利点

• 微分・積分が掛け算で表せる
• 位相差が自然に表現できる

2. 流体力学

複素ポテンシャル

2次元非圧縮性流体の流れは、複素関数で表現できます。

w(z) = φ(x,y) + iψ(x,y)

• φ：速度ポテンシャル
• ψ：流れ関数

例：一様流

w(z) = Uz（U は流速）

例：湧き出し

w(z) = (Q/2π)log z（Q は湧き出し量）

等角写像

複素関数を使って、複雑な形状の流れを解析できます。

3. 信号処理

フーリエ変換

信号処理では、複素指数関数を使います。

F(ω) = ∫_{-∞}^∞ f(t)e^(-iωt)dt

ラプラス変換

F(s) = ∫_0^∞ f(t)e^(-st)dt  （s は複素数）

Z変換

F(z) = Σ[n=0→∞] f[n]z^(-n)

利点

• 畳み込みが掛け算になる
• 周波数解析が容易

4. 量子力学

波動関数

量子力学の波動関数は複素関数です。

ψ(x,t) = A·e^(i(kx-ωt))

シュレーディンガー方程式

iℏ∂ψ/∂t = Hψ

• ℏ：プランク定数÷2π
• H：ハミルトニアン

確率振幅

複素数の絶対値の2乗が確率を表します。

P = |ψ|² = ψ*ψ̄

5. フラクタル

マンデルブロ集合

複素数の反復で定義される有名なフラクタルです。

zₙ₊₁ = zₙ² + c  （z₀ = 0）

c が複素平面のどの点で、この数列が発散しないかを調べます。

ジュリア集合

各 c に対して定義されるフラクタルです。

6. 等角写像（conformal mapping）

性質

正則関数（f'(z) ≠ 0）は等角写像です。

• 角度を保存する
• 局所的な形を保存する

応用

複雑な形状の問題を、簡単な形状に変換して解けます。

例：ジューコフスキー変換

w = z + 1/z

• 円を翼型に変換
• 航空力学で使用

複素関数の可視化

複素関数は4次元（入力2次元 + 出力2次元）なので、可視化が困難です。いくつかの方法があります。

1. ドメインカラリング（domain coloring）

方法

出力の複素数 w = f(z) を色で表現します。

• 色相（hue）：偏角 arg(w)
• 明度（brightness）：絶対値 |w|

利点

• 全体像が一目で分かる
• 零点・極が視覚的に分かる

2. 実部・虚部の分離

方法

u(x,y) と v(x,y) を別々に3次元グラフで表示します。

利点

• 具体的な値が分かる
• 勾配が見える

3. 変換の可視化

方法

複素平面上の格子を、f(z) によって変換された形で表示します。

利点

• 変換の様子が直感的に分かる
• 等角性が確認できる

4. レベルカーブ

方法

|f(z)| = 定数 や arg(f(z)) = 定数 の曲線を描きます。

利点

• 複素関数の構造が分かる
• 臨界点が見つけやすい

よくある質問

Q1: 複素関数と実関数の最大の違いは何ですか？

A: 微分可能性の条件が大きく異なります。

実関数

• 1方向（左右）から極限が一致すればOK
• 微分可能な関数は多い

複素関数

• すべての方向から極限が一致する必要がある
• 正則関数は非常に強い制約を持つ

結果

複素関数で正則なものは、無限回微分可能で、べき級数展開できるなど、非常に良い性質を持ちます。

Q2: なぜ複素関数を学ぶ必要があるのですか?

A: 実用性と理論的な美しさの両方があるためです。

実用面

• 交流回路の解析（電気工学）
• 流体力学の問題
• 信号処理・制御理論
• 量子力学

理論面

• 実積分が簡単に計算できる
• 方程式の解の構造が分かる
• 調和関数との関係

多くの実問題が、複素関数を使うことで劇的に簡単になります。

Q3: 正則関数とは何ですか？

A: ある領域内のすべての点で複素微分可能な関数です。

重要な性質

1. 無限回微分可能
2. べき級数展開できる
3. コーシー・リーマンの方程式を満たす
4. 実部と虚部が調和関数

例

• 正則：e^z, sin z, cos z, 多項式
• 非正則：z̄（共役）, |z|（絶対値）, Re(z)（実部）

正則関数は、複素関数論で最も重要な概念です。

Q4: コーシーの積分定理とは何ですか？

A: 正則関数の閉曲線積分はゼロになるという定理です。

定理

f(z)が正則 → ∮_C f(z)dz = 0

意味

• 積分値が経路に依存しない
• 始点と終点だけで決まる

応用

• 複素積分の計算が容易になる
• 実積分の計算に使える

この定理は、複素関数論の基礎です。

Q5: 留数定理の使い道は何ですか？

A: 複素積分、特に実積分の計算に非常に有用です。

使い方

1. 実積分を複素積分に拡張
2. 特異点を見つける
3. 留数を計算
4. 留数定理を適用

例

∫_{-∞}^∞ 1/(1+x²)dx = π

この積分は、留数定理を使えば簡単に計算できます。

Q6: 複素関数はどうやって可視化しますか？

A: いくつかの方法があります。

主な方法

1. ドメインカラリング：色で表現（最も直感的）
2. 実部・虚部の分離：3次元グラフ2つ
3. 変換の可視化：格子の変形
4. レベルカーブ：等高線

推奨

ドメインカラリングが最も一般的で、全体像を把握しやすいです。

Q7: 複素微分と実微分の違いは何ですか？

A: 極限を取る方向の違いです。

実微分

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x))/h

• h は実数（1方向）

複素微分

f'(z) = lim[h→0] (f(z+h) - f(z))/h

• h は複素数（すべての方向）

結果

複素微分可能（正則）は、実微分可能よりもはるかに強い条件です。

まとめ

複素関数について、重要なポイントをまとめます。

重要なポイント

1. 複素関数とは

• 複素数 → 複素数 の関数
• w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
• 4次元の情報（入力2次元 + 出力2次元）

2. 正則関数

• すべての点で複素微分可能
• コーシー・リーマンの方程式を満たす
• 無限回微分可能
• べき級数展開可能

3. コーシー・リーマンの方程式

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

• 正則関数の必要十分条件

4. 初等複素関数

• 指数関数：e^z
• 対数関数：log z（多価）
• 三角関数：sin z, cos z
• 双曲線関数：sinh z, cosh z

5. 複素積分

• コーシーの積分定理：正則関数の閉曲線積分はゼロ
• コーシーの積分公式：周囲の値から関数値が決まる
• 留数定理：特異点の留数で積分を計算

6. 応用分野

• 電気工学（交流回路）
• 流体力学（複素ポテンシャル）
• 信号処理（フーリエ変換）
• 量子力学（波動関数）
• フラクタル（マンデルブロ集合）

7. 可視化方法

• ドメインカラリング
• 実部・虚部の分離
• 変換の可視化
• レベルカーブ