波動関数とは？量子力学の基礎をわかりやすく徹底解説

「電子はどこにあるの?」と聞かれたら、あなたはどう答えますか?
「原子核の周りを回っている」と答えた人は、残念ながら正確ではありません。

量子力学の世界では、電子の位置は「確率」でしか表現できないのです。
そして、その確率を教えてくれるのが「波動関数」という数学的な関数です。

波動関数は、量子力学の最も基本的で重要な概念です。
しかし、高校物理では詳しく扱われないため、多くの人にとって謎に包まれた存在となっています。

この記事では、波動関数とは何か、どう使うのか、そして何を意味するのかを、初心者の方にもわかりやすく解説します。

波動関数とは:一言で言うと
なぜ波動関数が必要なのか
1. 古典物理学の限界
2. 量子の世界の不思議な性質
波動関数の表記と意味
1. 基本的な表記
2. 波動関数は複素数
ボルンの確率解釈:波動関数の物理的意味
シュレーディンガー方程式:波動関数の時間発展
波動関数の性質
具体例:波動関数を実際に見てみよう
波動関数の物理的実在性:哲学的な問題
1. 波動関数は「実在」するのか?
2. 波動関数の崩壊(収縮)
複素数である理由
波動関数と観測
1. 期待値の計算
2. 不確定性の計算
波動関数と原子
1. 水素原子の電子
2. 量子数
波動関数のまとめ

波動関数とは:一言で言うと

波動関数(Wave Function)とは、量子力学において粒子の状態を記述する数学的な関数です。

通常、ギリシャ文字のψ(プサイ)またはΨ(大文字のプサイ)で表されます。

波動関数の最も重要な性質は、その絶対値の2乗が粒子の存在確率を表すということです。

つまり、波動関数さえわかれば、粒子がどこにいる可能性が高いのかを計算できるのです。

なぜ波動関数が必要なのか

古典物理学の限界

高校物理で習う古典力学(ニュートン力学)では、物体の位置と速度が決まれば、その物体の未来の運動を正確に予測できます。

たとえば、ボールを投げたとき:
初速度と角度がわかれば、どこに落ちるかを計算できる
物体の位置は常に1つに決まっている
軌道は連続的な線として表現できる

しかし、この考え方は原子レベルの世界では通用しません。

量子の世界の不思議な性質

20世紀初頭、科学者たちは原子や電子のレベルで奇妙な現象を発見しました。

光の二重性:
光は波のように干渉するが、粒子(光子)のようにも振る舞う

物質の波動性:
電子は粒子だが、波のように干渉縞を作る(二重スリット実験)

エネルギーの量子化:
原子内の電子のエネルギーはとびとびの値しか取れない

不確定性原理:
位置と運動量を同時に正確に知ることはできない

これらの現象を説明するために、新しい物理学が必要になりました。
それが量子力学であり、その中心概念が波動関数なのです。

波動関数の表記と意味

基本的な表記

波動関数は、位置と時間の関数として表されます。

1次元の場合:

ψ(x, t)

x:位置
t:時間

3次元の場合:

ψ(x, y, z, t) または ψ(r, t)

r:位置ベクトル(x, y, z)

波動関数は複素数

重要な特徴として、波動関数は一般に複素数の値を取ります。

ψ(x, t) = a + bi

a:実部
b:虚部
i:虚数単位(i² = -1)

「虚数って何?」と思うかもしれませんが、物理的に直接観測されるのは複素数そのものではありません。
観測されるのは、次に説明する「絶対値の2乗」です。

ボルンの確率解釈:波動関数の物理的意味

確率密度としての解釈

1926年、物理学者マックス・ボルン(Max Born)は、波動関数の画期的な解釈を提案しました。

ボルンの規則:
波動関数ψ(x, t)の絶対値の2乗|ψ(x, t)|²は、時刻tに位置xで粒子を見つける確率密度を表す

数式で書くと:

確率密度 ρ(x, t) = |ψ(x, t)|²

確率密度とは

確率密度とは、単位体積あたりの確率を表す量です。

実際の確率を求めるには、積分が必要です:

位置xからx+Δxの間に粒子が存在する確率:

P(x) = ∫[x から x+Δx] |ψ(x, t)|² dx

具体例:
波動関数がψ(x, t)で与えられているとき:
|ψ(0, 0)|² = 0.5なら、原点付近で粒子を見つける確率密度が0.5
|ψ(10, 0)|² = 0.1なら、x=10付近で見つける確率密度は0.1
原点付近の方が5倍見つかりやすい

規格化条件

粒子は必ずどこかに存在するので、全空間での存在確率の合計は1でなければなりません。

規格化条件:

∫[-∞ から +∞] |ψ(x, t)|² dx = 1

これを満たすように波動関数を調整することを「規格化する」と言います。

シュレーディンガー方程式:波動関数の時間発展

波動関数はどう変化するのか

波動関数がわかったとしても、それが時間とともにどう変化するのかを知らなければ、粒子の未来を予測できません。

波動関数の時間変化を記述するのが、シュレーディンガー方程式です。

時間依存シュレーディンガー方程式

1926年、エルヴィン・シュレーディンガー(Erwin Schrödinger)が導いた方程式:

1次元の場合:

iℏ ∂ψ/∂t = -(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ

記号の意味:

i:虚数単位
ℏ:ディラック定数(プランク定数をh/2πで割った値、約1.055×10⁻³⁴ J·s)
m:粒子の質量
V(x):ポテンシャルエネルギー
∂:偏微分記号

この方程式は、古典力学におけるニュートンの運動方程式に相当します。

シュレーディンガー方程式の意味

古典力学では:
ニュートンの運動方程式(F = ma)を解く→物体の位置x(t)がわかる

量子力学では:
シュレーディンガー方程式を解く→波動関数ψ(x, t)がわかる→確率分布がわかる

つまり、シュレーディンガー方程式は「波動関数という波がどのように時間変化するか」を決定します。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式

ポテンシャルエネルギーV(x)が時間に依存しない場合、より簡単な形の方程式を解くことができます。

-(ℏ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

E:粒子のエネルギー(固有値)
ψ:定常状態の波動関数(固有関数)

この方程式を解くことで、エネルギーの許される値(エネルギー準位)と、それに対応する波動関数が求まります。

波動関数の性質

波動関数が物理的に意味を持つためには、いくつかの条件を満たす必要があります。

1. 一価性(単一値性)

波動関数は、各点でただ1つの値を持たなければなりません。

1つの位置で2つ以上の値を取ってはいけない
確率が一意に決まらないため

2. 連続性

波動関数は、空間的に連続でなければなりません。

突然ジャンプしてはいけない
微分可能である必要がある(ただし、ポテンシャルが無限大の点は除く)

3. 有界性(規格化可能性)

波動関数は、無限遠でゼロに近づく必要があります。

lim[x→±∞] ψ(x) = 0

これにより、規格化条件(全確率=1)が満たせる

4. 二乗可積分性

波動関数の絶対値の2乗を全空間で積分した値が有限でなければなりません。

∫[-∞ から +∞] |ψ(x)|² dx < ∞

これが満たされないと、確率として解釈できない

具体例:波動関数を実際に見てみよう

例1:自由粒子の波動関数

外部からの力を受けない粒子(ポテンシャルV=0)の波動関数は、平面波で表されます。

ψ(x, t) = A exp[i(kx - ωt)]

A:振幅(規格化定数)
k:波数(k = 2π/λ、λは波長)
ω:角振動数(ω = 2πν、νは振動数)

この波動関数は:
空間全体に広がっている
|ψ|² = |A|² = 一定(どこでも同じ確率密度)
粒子の位置が完全に不確定

物理的意味:
運動量が確定している粒子は、位置が完全に不確定(不確定性原理の表れ)

例2:1次元箱の中の粒子

幅Lの「箱」の中に閉じ込められた粒子の波動関数(定常状態):

ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L)  (0 ≤ x ≤ L)
ψₙ(x) = 0  (x < 0 または x > L)

n:量子数(n = 1, 2, 3, …)

特徴:
波動関数は箱の内部でsin波の形
箱の外では波動関数はゼロ(粒子は絶対に見つからない)
nが大きいほど振動が多く、エネルギーが高い
エネルギーはE_n = n²h²/(8mL²)という離散的な値のみ

この例は、エネルギーの量子化を明確に示しています。

例3:調和振動子

バネにつながれた粒子のような系(ポテンシャルV = ½kx²)の基底状態(最低エネルギー状態)の波動関数:

ψ₀(x) = (α/π)^(1/4) exp(-αx²/2)

α = mω/ℏ(ωは振動数)

特徴:
ガウス分布(釣鐘型)の形
x = 0(平衡点)付近で最も確率が高い
無限遠でゼロに近づく

波動関数の物理的実在性:哲学的な問題

波動関数は「実在」するのか?

波動関数の解釈をめぐっては、100年近く議論が続いています。

実在論的解釈:
波動関数は実在する物理的な「波」である
粒子は実際に波として存在し、観測すると収縮する

道具主義的解釈:
波動関数は計算のための「道具」に過ぎない
実在するのは観測結果だけで、波動関数は確率を計算するための数学的な装置

多世界解釈:
波動関数は崩壊せず、すべての可能性が実現する(並行世界が分岐)

現在のところ、どの解釈が正しいかは確定していません。
しかし、いずれの解釈を採用しても、計算結果(観測可能な予測)は同じです。

波動関数の崩壊(収縮)

コペンハーゲン解釈では、測定が行われると波動関数が「崩壊」すると考えます。

測定前:
粒子は複数の場所に「同時に存在」(重ね合わせ状態)
波動関数は広がっている

測定の瞬間:
波動関数が1点に収縮
粒子は1つの位置に確定

測定後:
新しい状態から再び波動関数が発展

この「波動関数の崩壊」は、シュレーディンガー方程式では記述されない突然の変化です。
これが測定問題と呼ばれる量子力学の根本的な謎の1つです。

複素数である理由

なぜ波動関数は複素数なのでしょうか?

数学的な理由

シュレーディンガー方程式には虚数単位iが含まれています。

iℏ ∂ψ/∂t = ...

この方程式を満たす解は、必然的に複素数になります。

物理的な意味

複素数を使うことで、位相(phase)という情報を表現できます。

実数だけでは振幅しか表せない
複素数なら振幅と位相の両方を表せる
位相は干渉現象(二重スリット実験など)で重要な役割を果たす

干渉の例:
2つの波動関数ψ₁とψ₂が重なるとき:
位相が揃っている→強め合う(建設的干渉)
位相がずれている→弱め合う(破壊的干渉)

観測される量は実数

波動関数自体は複素数ですが、観測可能な物理量は必ず実数です。

確率密度:|ψ|² = ψψ(ψは複素共役)
期待値: = ∫ ψ* Â ψ dx(Âは演算子)

虚数は計算の途中で現れるだけで、最終結果は実数になります。

波動関数と観測

期待値の計算

物理量(位置、運動量、エネルギーなど)の平均値を期待値と言います。

位置の期待値:

<x> = ∫ ψ*(x, t) x ψ(x, t) dx

運動量の期待値:

<p> = ∫ ψ*(x, t) (-iℏ d/dx) ψ(x, t) dx

期待値は、多数回の測定を行ったときの平均値に対応します。

不確定性の計算

物理量の不確定性(ばらつき)も波動関数から計算できます。

位置の不確定性:Δx = √( – ²)
運動量の不確定性:Δp = √( –

²)

これらはハイゼンベルクの不確定性原理を満たします:

Δx · Δp ≥ ℏ/2

波動関数と原子

水素原子の電子

高校化学で習う「電子殻」や「電子軌道」は、実は波動関数から導かれたものです。

s軌道(1s, 2s, …):
球対称の波動関数
原子核周辺で確率が高い

p軌道(2p, 3p, …):
ダンベル型の波動関数
3つの方向(px, py, pz)がある

d軌道、f軌道:
さらに複雑な形状

これらの「軌道」は、電子が軌道上を回っているわけではありません。
波動関数の確率分布の形状を表しているのです。

量子数

波動関数を完全に指定するには、いくつかの量子数が必要です。

主量子数(n):
エネルギー準位を決める(n = 1, 2, 3, …)

方位量子数(l):
軌道の形を決める(l = 0, 1, 2, …, n-1)
l = 0:s軌道、l = 1:p軌道、l = 2:d軌道

磁気量子数(m):
軌道の向きを決める(m = -l, …, 0, …, +l)

スピン量子数(s):
電子の固有角運動量(s = ±1/2)

これらの量子数は、シュレーディンガー方程式を解くことで自然に現れます。

波動関数のまとめ

波動関数について、重要なポイントをまとめます。