「漸化式って何だか難しそう…」と感じていませんか？
実は、漸化式は数列を簡単に表現できる便利な道具なんです。この記事では、漸化式の基本的な考え方から、実際の解き方まで分かりやすく説明していきます。
数学が苦手な人でも理解できるように、具体例を交えながら丁寧に解説しますので、最後までお付き合いください。
漸化式とは何か
漸化式（ぜんかしき）とは、数列の各項を「その前の項から1通りに定める規則」を表す等式のことです。
もっと簡単に言うと、「前の数から次の数を作るルール」を式で表したものですね。
例えば、「2, 5, 8, 11, 14…」という数列があったとします。
これは「前の数に3を足す」というルールで成り立っています。
このルールを式で書くと：
a_{n+1} = a_n + 3
これが漸化式です。a_nは「n番目の項」、a_{n+1}は「次の項」を表しています。
英語では「recurrence relation（再帰関係式）」と呼ばれ、コンピュータサイエンスなどでも重要な概念として使われています。
漸化式の基本的な考え方
漸化式を理解するポイントは、「初項」と「ルール」の2つが必要だということです。
初項とは
初項とは、数列の最初の数のことです。
a_1 = 2のように表記します。
ルールとは
前の項から次の項をどう作るかの規則です。
これが漸化式そのものですね。
この2つがあれば、数列のすべての項を順番に求めることができます。
具体例：
- 初項：a_1 = 2
- ルール：a_{n+1} = a_n + 3
この場合：
- a_1 = 2（初項）
- a_2 = 2 + 3 = 5
- a_3 = 5 + 3 = 8
- a_4 = 8 + 3 = 11
このように、1つずつ計算していけば、どんどん次の項が求められます。
漸化式の主なパターン
漸化式にはいくつかの基本パターンがあり、それぞれに適した解き方があります。
ここでは代表的な4つのパターンを見ていきましょう。
パターン1：等差数列型
形：a_{n+1} = a_n + d
（dは定数）
これは「毎回同じ数を足していく」タイプです。
例題：
a_1 = 2、a_{n+1} = a_n + 3 で定められる数列の一般項を求めてください。
解き方：
この漸化式は、前の項に3を足すだけなので、初項2、公差3の等差数列になります。
等差数列の一般項の公式は：
a_n = a_1 + (n-1)×d
これに代入すると：
a_n = 2 + (n-1)×3
= 2 + 3n – 3
= 3n – 1
このように、漸化式から一般項（n番目の項を直接求める式）が導けます。
パターン2：等比数列型
形：a_{n+1} = r × a_n
（rは定数）
これは「毎回同じ数を掛けていく」タイプです。
例題：
a_1 = 1、a_{n+1} = 2a_n で定められる数列の一般項を求めてください。
解き方：
この漸化式では、前の項を2倍していくので、初項1、公比2の等比数列になります。
等比数列の一般項の公式は：
a_n = a_1 × r^(n-1)
これに代入すると：
a_n = 1 × 2^(n-1)
= 2^(n-1)
つまり、1, 2, 4, 8, 16… という数列になります。
パターン3：階差数列型
形：a_{n+1} = a_n + f(n)
（f(n)はnの式）
これは「足す数がnによって変わる」タイプです。
例題：
a_1 = 1、a_{n+1} = a_n + 2n で定められる数列を考えます。
解き方：
このタイプは、階差数列という考え方を使います。
まず、隣り合う項の差を見ます：
- a_2 – a_1 = 2×1 = 2
- a_3 – a_2 = 2×2 = 4
- a_4 – a_3 = 2×3 = 6
この差の数列が「階差数列」です。
一般項を求めるには、n≧2のとき：
a_n = a_1 + Σ(k=1からn-1まで) f(k)
この式を使って計算します。
パターン4：特性方程式型
形：a_{n+1} = p × a_n + q
（p、qは定数、p≠1）
これは上記のどれにも当てはまらない「混合型」です。
例題：
a_1 = 3、a_{n+1} = 2a_n + 1 で定められる数列の一般項を求めてください。
解き方：
このタイプには「特性方程式」という特別なテクニックを使います。
ステップ1：特性方程式を立てる
a_{n+1}とa_nの両方をαに置き換えます：
α = 2α + 1
これを解くと：
α – 2α = 1
-α = 1
α = -1
ステップ2：式を変形する
元の漸化式から両辺αを引きます：
a_{n+1} – (-1) = 2a_n + 1 – (-1)
a_{n+1} + 1 = 2a_n + 2
a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)
ここで、b_n = a_n + 1 とおくと：
b_{n+1} = 2b_n
これは等比数列の形になりました！
ステップ3：等比数列として解く
b_1 = a_1 + 1 = 3 + 1 = 4
b_nは初項4、公比2の等比数列なので：
b_n = 4 × 2^(n-1) = 2^(n+1)
ステップ4：元に戻す
b_n = a_n + 1 だったので：
a_n = b_n – 1
= 2^(n+1) – 1
これが求める一般項です。
漸化式の見分け方
どのパターンの漸化式か判断するコツは、式の形を見ることです。
| パターン | 式の特徴 | 見分けポイント |
|---|---|---|
| 等差数列型 | a_{n+1} = a_n + 定数 | a_nに定数を足すだけ |
| 等比数列型 | a_{n+1} = 定数 × a_n | a_nに定数を掛けるだけ |
| 階差数列型 | a_{n+1} = a_n + nの式 | 足す数にnが含まれる |
| 特性方程式型 | a_{n+1} = 定数 × a_n + 定数 | 掛けるのと足すのが両方ある |
まずは式を見て、どのパターンに当てはまるか判断しましょう。
そうすれば、適切な解法を選べます。
漸化式の実生活での応用
「漸化式なんて、数学の問題でしか使わないんじゃない？」と思うかもしれませんが、実は日常生活や科学の世界で広く使われています。
フィボナッチ数列
a_1 = 1、a_2 = 1、a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
この有名な数列は、植物の葉の配置や花びらの枚数など、自然界の様々な場所に現れます。
ヒマワリの種の配列も、フィボナッチ数列に従っていることが知られています。
ハノイの塔パズル
円盤を別の杭に移動させるパズルの最小手数は、漸化式で表現できます。
n枚の円盤を移動させる最小手数をT_nとすると：
T_n = 2T_{n-1} + 1
この漸化式を解くと、n枚の円盤には2^n – 1回の移動が必要だと分かります。
コンピュータのアルゴリズム
プログラムの計算時間を分析するときにも漸化式が使われます。
例えば、データを半分ずつに分けて処理する「分割統治法」では、処理時間が漸化式で表現されます。
このように、漸化式は純粋な数学を超えて、様々な分野で活用されているんです。
漸化式を解くときのポイント
漸化式の問題を解くときは、以下のポイントを意識しましょう。
1. まず型を見極める
式の形を見て、4つの基本パターンのどれに当てはまるか判断します。
これが最も重要なステップです。
2. 初項を確認する
初項が与えられているか、しっかり確認しましょう。
初項がないと数列は確定しません。
3. 計算ミスに注意
特に特性方程式型では、計算ステップが多くなります。
途中式を丁寧に書いて、ミスを防ぎましょう。
4. 答えを確認する
求めた一般項が本当に正しいか、最初のいくつかの項で確認すると安心です。
確認方法の例：
一般項a_n = 3n – 1が得られたとき：
- n=1: 3×1 – 1 = 2 ✓
- n=2: 3×2 – 1 = 5 ✓
- n=3: 3×3 – 1 = 8 ✓
このように、初項や第2項、第3項と一致すれば、答えが正しい可能性が高いです。
よくある間違いと対処法
漸化式の問題でよくある間違いをいくつか紹介します。
間違い1：パターンの判断ミス
「a_{n+1} = 2a_n + 3」を見て、等比数列と判断してしまう。
正解：
これは特性方程式型です。
「掛ける」だけでなく「足す」も含まれているからです。
間違い2：特性方程式の計算ミス
α = 2α + 3 を解くとき、
α = 3 としてしまう（正しくはα = -3）
対処法：
方程式を解くときは、必ず移項して整理しましょう。
α = 2α + 3
α – 2α = 3
-α = 3
α = -3
間違い3：一般項を求めた後の戻し忘れ
b_n = a_n + 1と置き換えたのに、最後にa_nに戻すのを忘れる。
対処法：
置き換えを行ったら、必ず「元に戻す」というステップがあることを覚えておきましょう。
まとめ
漸化式は、数列を表現する便利な方法です。
この記事のポイント：
- 漸化式とは「前の項から次の項を作るルール」を式で表したもの
- 初項とルール（漸化式）の2つがあれば数列が決まる
- 基本パターンは4つ：等差数列型、等比数列型、階差数列型、特性方程式型
- まず式の形を見て、どのパターンか判断することが重要
- 特性方程式型では、αを求めて式を変形し、等比数列に帰着させる
- フィボナッチ数列やハノイの塔など、実生活でも応用されている
漸化式は最初は難しく感じるかもしれませんが、パターンさえ覚えてしまえば、機械的に解けるようになります。
まずは基本の4パターンをしっかり理解して、問題演習を重ねていきましょう。
そうすれば、漸化式の問題が得意分野になるはずです！
