はじめに – 余因子展開って何？
余因子展開（よいんしてんかい、Cofactor Expansion）は、行列式を計算するための方法の一つです。別名「ラプラス展開（Laplace Expansion）」とも呼ばれます。
高校数学では2×2や3×3の行列式はサラスの公式で計算できますが、4×4以上の行列式にはサラスの公式は使えません。そこで登場するのが余因子展開です。
この記事では、線形代数を学び始めた大学生でも理解できるよう、余因子展開について基本から丁寧に解説していきます。
行列式の復習 – 2×2と3×3の場合
余因子展開を学ぶ前に、まず行列式の基本を復習しましょう。
2×2行列の行列式
2×2行列の行列式は、以下のように計算します：
$$
\begin{vmatrix}
a & b \
c & d
\end{vmatrix} = ad – bc
$$
例：
$$
\begin{vmatrix}
3 & 2 \
1 & 4
\end{vmatrix} = 3 \times 4 – 2 \times 1 = 12 – 2 = 10
$$
これはクロスして掛け算する、と覚えている人も多いでしょう。
3×3行列の行列式（サラスの公式）
3×3行列の行列式は、サラスの公式（Sarrus’ rule）で計算できます：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
$$
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
$$
$$
- a_{13}a_{22}a_{31} – a_{11}a_{23}a_{32} – a_{12}a_{21}a_{33}
$$
例：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 4 & 5 \
1 & 0 & 6
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \times 4 \times 6 + 2 \times 5 \times 1 + 3 \times 0 \times 0
$$
$$
- 3 \times 4 \times 1 – 1 \times 5 \times 0 – 2 \times 0 \times 6
$$
$$
= 24 + 10 + 0 – 12 – 0 – 0 = 22
$$
4×4以上はどうする？
問題：サラスの公式は3×3までしか使えません！
4×4以上の行列式を計算するには、余因子展開が必要になります。
余因子とは？- 定義と求め方
余因子展開を理解するには、まず「余因子」が何かを知る必要があります。
小行列式（マイナー）
まず、小行列式（しょうぎょうれつしき、Minor）を定義します。
定義：
$n$次正方行列$A$の$(i, j)$小行列式$M_{ij}$とは、$A$から第$i$行と第$j$列を取り除いた$(n-1)$次正方行列の行列式です。
例：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
$(2, 3)$小行列式$M_{23}$を求めてみましょう。
手順：
- 第2行を取り除く → 1行目と3行目が残る
- 第3列を取り除く → 1列目と2列目が残る
$$
M_{23} = \begin{vmatrix}
1 & 2 \
7 & 8
\end{vmatrix} = 1 \times 8 – 2 \times 7 = 8 – 14 = -6
$$
余因子（Cofactor）
定義：
$n$次正方行列$A$の$(i, j)$余因子$A_{ij}$（または$\tilde{a}{ij}$、$C{ij}$とも表記）は：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
つまり、小行列式に符号をつけたものが余因子です。
符号のルール：
$(-1)^{i+j}$の値は：
- $i + j$が偶数なら：$+1$（プラス）
- $i + j$が奇数なら：$-1$（マイナス）
符号のパターン
行列の各位置における符号は、以下のようなパターンになります：
3×3行列の場合：
$$
\begin{pmatrix}
- & – & + \
- & + & – \
- & – & +
\end{pmatrix}
$$
4×4行列の場合：
$$
\begin{pmatrix}
- & – & + & – \
- & + & – & + \
- & – & + & – \
- & + & – & +
\end{pmatrix}
$$
チェス盤のような市松模様になっていますね。
余因子の計算例
先ほどの行列$A$の$(2, 3)$余因子$A_{23}$を求めてみましょう。
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
手順：
- $(2, 3)$小行列式を求める：$M_{23} = -6$（先ほど計算済み）
- 符号を決める：$(-1)^{2+3} = (-1)^5 = -1$
- 余因子を計算：$A_{23} = -1 \times (-6) = 6$
もう一つ例：
$(1, 1)$余因子$A_{11}$を求めます。
$$
M_{11} = \begin{vmatrix}
5 & 6 \
8 & 9
\end{vmatrix} = 5 \times 9 – 6 \times 8 = 45 – 48 = -3
$$
$$
A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \times (-3) = -3
$$
余因子展開の公式 – 行列式を求める
いよいよ本題の余因子展開です。
第$i$行に沿った余因子展開
$n$次正方行列$A = (a_{ij})$の行列式$|A|$は、任意の行$i$について：
$$
|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
つまり：
- ある行を選ぶ
- その行の各成分に、対応する余因子を掛ける
- すべて足し合わせる
第$j$列に沿った余因子展開
同様に、任意の列$j$についても：
$$
|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
重要：
どの行（または列）を選んでも、結果は同じになります！
余因子展開の手順
ステップ1：展開する行（または列）を選ぶ
ステップ2：その行（列）の各成分について余因子を計算
ステップ3：成分×余因子を計算してすべて足す
具体例で理解しよう – 3×3行列
例1：第1行に沿った展開
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & -2 & 3 \
2 & 5 & -1
\end{pmatrix}
$$
の行列式を第1行に沿って余因子展開します。
計算：
$$
|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
$$
$$
= 1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13}
$$
$A_{11}$を計算：
$$
A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}
-2 & 3 \
5 & -1
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \times ((-2) \times (-1) – 3 \times 5)
$$
$$
= 1 \times (2 – 15) = -13
$$
$A_{12}$を計算：
$$
A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}
4 & 3 \
2 & -1
\end{vmatrix}
$$
$$
= -1 \times (4 \times (-1) – 3 \times 2)
$$
$$
= -1 \times (-4 – 6) = -1 \times (-10) = 10
$$
$A_{13}$を計算：
$$
A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}
4 & -2 \
2 & 5
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \times (4 \times 5 – (-2) \times 2)
$$
$$
= 1 \times (20 + 4) = 24
$$
最終的な行列式：
$$
|A| = 1 \times (-13) + 2 \times 10 + 3 \times 24
$$
$$
= -13 + 20 + 72 = 79
$$
例2：第2列に沿った展開
同じ行列を第2列に沿って展開してみましょう。
$$
|A| = a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32}
$$
$$
= 2 \cdot A_{12} + (-2) \cdot A_{22} + 5 \cdot A_{32}
$$
$A_{12}$：すでに計算済み = 10
$A_{22}$を計算：
$$
A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}
1 & 3 \
2 & -1
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \times (1 \times (-1) – 3 \times 2)
$$
$$
= 1 \times (-1 – 6) = -7
$$
$A_{32}$を計算：
$$
A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}
1 & 3 \
4 & 3
\end{vmatrix}
$$
$$
= -1 \times (1 \times 3 – 3 \times 4)
$$
$$
= -1 \times (3 – 12) = -1 \times (-9) = 9
$$
最終的な行列式：
$$
|A| = 2 \times 10 + (-2) \times (-7) + 5 \times 9
$$
$$
= 20 + 14 + 45 = 79
$$
結果が一致しました！
計算のコツ – 0の多い行・列を選ぶ
余因子展開は、0が多い行（または列）を選ぶと計算が劇的に楽になります。
なぜ楽になるの？
余因子展開の式を思い出してください：
$$
|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
もし$a_{ij} = 0$なら、その項は$0 \times A_{ij} = 0$となり、計算する必要がありません！
例3：0の多い行列
$$
B = \begin{pmatrix}
7 & 2 & 3 \
3 & 5 & -2 \
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
第3行に注目！
第3行には0が2つもあります。この行で展開すると：
$$
|B| = a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}
$$
$$
= 0 \cdot A_{31} + 0 \cdot A_{32} + 2 \cdot A_{33}
$$
$$
= 2 \cdot A_{33}
$$
$A_{33}$だけ計算すればOK！
$$
A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix}
7 & 2 \
3 & 5
\end{vmatrix}
$$
$$
= 1 \times (7 \times 5 – 2 \times 3)
$$
$$
= 1 \times (35 – 6) = 29
$$
したがって：
$$
|B| = 2 \times 29 = 58
$$
たった1つの余因子を計算するだけで終わりました！
4×4行列の計算例
余因子展開の真価は、4×4以上の行列で発揮されます。
例4：4×4行列
$$
C = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 2 \
2 & 1 & 3 & 1 \
2 & 1 & 1 & 2 \
1 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
第1行に沿って展開します：
$$
|C| = 3A_{11} – 1A_{12} + 1A_{13} – 2A_{14}
$$
（符号は$+, -, +, -$のパターン）
$A_{11}$を計算：
$$
A_{11} = (+1) \begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
1 & 1 & 2 \
3 & 2 & 1
\end{vmatrix}
$$
この3×3行列式をサラスの公式で計算：
$$
= 1 \times 1 \times 1 + 3 \times 2 \times 3 + 1 \times 1 \times 2
$$
$$
- 1 \times 1 \times 3 – 1 \times 2 \times 1 – 3 \times 1 \times 2
$$
$$
= 1 + 18 + 2 – 3 – 2 – 6 = 10
$$
$A_{12}, A_{13}, A_{14}$も同様に計算します。
（計算過程は省略しますが、同じ手順で求められます）
最終的に：
$$
|C| = 3 \times 10 – 1 \times (\cdots) + 1 \times (\cdots) – 2 \times (\cdots)
$$
このように、4×4行列を4つの3×3行列の計算に帰着できます。
余因子行列 – 逆行列との深い関係
余因子展開は、逆行列を求める際にも重要な役割を果たします。
余因子行列の定義
定義：
$n$次正方行列$A$のすべての余因子$A_{ij}$を成分とする行列を作り、それを転置したものを余因子行列（よいんしぎょうれつ、Adjugate Matrix）といい、$\tilde{A}$と表します。
$$
\tilde{A} = (A_{ij})^T = (A_{ji})
$$
注意：
- 余因子を$(i, j)$成分に配置した行列を作る
- その転置を取る（行と列を入れ替える）
余因子行列の例
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 \
-1 & -3 & 0 \
1 & -1 & -4
\end{pmatrix}
$$
手順1：すべての余因子を計算
$$
A_{11} = \begin{vmatrix}
-3 & 0 \
-1 & -4
\end{vmatrix} = 12
$$
$$
A_{12} = -\begin{vmatrix}
-1 & 0 \
1 & -4
\end{vmatrix} = -4
$$
（他の余因子も同様に計算）
$$
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \
A_{21} & A_{22} & A_{23} \
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
12 & -4 & 4 \
1 & -1 & -1 \
-9 & 3 & -5
\end{pmatrix}
$$
手順2：転置を取る
$$
\tilde{A} = \begin{pmatrix}
12 & 1 & -9 \
-4 & -1 & 3 \
4 & -1 & -5
\end{pmatrix}
$$
逆行列の公式
余因子行列を使うと、逆行列が求められます！
定理：
正則行列（逆行列が存在する行列）$A$に対して：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}
$$
つまり：
- 余因子行列を求める
- 行列式$\det A$で割る
- これが逆行列！
なぜこの公式が成り立つ？
余因子展開の性質から、以下が成り立ちます：
$$
A \tilde{A} = \tilde{A} A = (\det A) I
$$
（$I$は単位行列）
両辺を$\det A$で割ると：
$$
A \cdot \frac{1}{\det A}\tilde{A} = I
$$
これはまさに逆行列の定義$AA^{-1} = I$ですね。
余因子展開の性質と定理
性質1：行と列の展開は同じ
どの行で展開しても、どの列で展開しても、結果は同じ行列式の値になります。
性質2：転置行列の行列式
$$
\det A = \det A^T
$$
転置しても行列式の値は変わりません。これは余因子展開から証明できます。
性質3：行列式の積の法則
$$
\det(AB) = \det A \cdot \det B
$$
2つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい。
性質4：逆行列の行列式
$$
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}
$$
余因子展開を使わない方法 – 比較
余因子展開以外にも行列式を求める方法があります。
方法1：基本変形（掃き出し法）
行基本変形を使って上三角行列にする方法です。
メリット：
- 大きな行列でも効率的
- コンピュータ計算に適している
デメリット：
- 手計算では面倒
- 符号の管理が必要
方法2：定義に基づく計算
行列式の定義（置換の符号付き和）から直接計算する方法です。
デメリット：
- $n!$個の項を計算する必要がある
- 4×4で24項、5×5で120項！
- 実用的ではない
余因子展開の位置づけ
余因子展開のメリット：
- 理論的に重要
- 逆行列の公式に使える
- 0の多い行列では非常に効率的
デメリット：
- 0が少ない大きな行列では計算量が多い
- $n!$のオーダーで計算量が増える
練習問題
問題1：3×3行列
次の行列式を余因子展開で求めよ。
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \
1 & -2 & -2 \
2 & -1 & -1
\end{vmatrix}
$$
ヒント：第1行に沿って展開してみましょう。
問題2：0の多い行列
次の行列式を最も効率的な方法で求めよ。
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 4 & 0 & 0 \
5 & 6 & 1 & 0 \
7 & 8 & 0 & 1
\end{vmatrix}
$$
ヒント：0の最も多い行または列を選びましょう。
問題3：余因子の計算
次の行列の$(2, 3)$余因子を求めよ。
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
5 & 6 & 7 & 8 \
9 & 10 & 11 & 12 \
13 & 14 & 15 & 16
\end{pmatrix}
$$
まとめ – 余因子展開のエッセンス
余因子展開について、詳しく解説してきました。
重要ポイントのおさらい
1. 余因子の定義
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
- $M_{ij}$：小行列式（$i$行$j$列を取り除いた行列の行列式）
- $(-1)^{i+j}$：符号（市松模様のパターン）
2. 余因子展開の公式
行展開：
$$
|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
列展開：
$$
|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
3. 計算のコツ
- 0の多い行・列を選ぶ
- どの行・列を選んでも結果は同じ
- 4×4以上の行列では威力を発揮
4. 余因子行列と逆行列
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}
$$
余因子展開の使い道
理論的側面：
- 行列式の性質の証明
- 逆行列の公式
- 線形代数の理論的基礎
実用的側面：
- 4×4以上の行列式の計算
- 0の多い行列の効率的計算
- 逆行列の導出
さらに学ぶために
関連トピック：
- 行列式の性質
- 逆行列の求め方
- 線形方程式の解法（クラメルの公式）
- 固有値・固有ベクトル
練習のために：
- 3×3行列で手を動かす
- 4×4行列にチャレンジ
- 0の配置を工夫した問題を解く
最後に：
余因子展開は、一見複雑に見えますが、実は規則的で機械的な計算方法です。
成功の秘訣：
- 小行列式と余因子の違いを理解する
- 符号のパターン（市松模様）を覚える
- 0の多い行・列を選ぶ習慣をつける
- 計算を丁寧に、段階的に進める
何度も練習して、余因子展開をマスターしましょう！
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