数学で「頂点（ちょうてん）」という言葉を聞いたことがありますか？
実は、「頂点」には数学の中で3つの異なる意味があるんです。
- 幾何学の頂点：三角形や四角形の角の点
- 二次関数の頂点：放物線の一番高い（または低い）点
- グラフ理論の頂点：ネットワークの節点
どれも「頂点（vertex）」と呼ばれますが、使われる場面や意味が違います。今回は、この3つをしっかり区別しながら、分かりやすく解説していきますね。
頂点の英語は？
まず、英語での表現を確認しておきましょう。
vertex（ヴァーテックス）= 頂点
複数形は vertices（ヴァーティシーズ） になります。
ラテン語の「vertere（回転する、向きを変える）」が語源で、「回転した先端」という意味から「頂点」を表すようになりました。
幾何学の頂点
頂点とは何か？
幾何学（図形を扱う数学）での頂点は、「辺と辺が交わる点」のことです。
簡単に言うと、図形の「角（かど）」にある点が頂点なんです。
多角形の頂点
三角形、四角形、五角形など、平面の図形にはすべて頂点があります。
三角形
3つの辺があり、3つの頂点があります。頂点は通常、A、B、Cなどのアルファベットで表されます。
四角形
4つの辺があり、4つの頂点があります。正方形も長方形も、すべて4つの頂点を持ちますね。
五角形
5つの辺があり、5つの頂点があります。
一般的なn角形
n本の辺があり、n個の頂点があります。つまり、辺の数 = 頂点の数という関係が成り立ちます。
多面体の頂点
立体図形にも頂点があります。
立方体（サイコロの形）
8つの頂点があります。数えてみると、確かに角が8か所ありますよね。
三角錐（ピラミッドの形）
4つの頂点があります。底面に3つ、一番上に1つです。
四角錐
5つの頂点があります。底面に4つ、一番上に1つです。
多面体の場合、頂点は3本以上の辺が共有している点のことを指します。
オイラーの多面体定理
立体図形には、面白い法則があります。
頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2
これを「オイラーの多面体定理」と言います。
例えば、立方体の場合：
- 頂点：8個
- 辺：12本
- 面：6つ
計算してみると、8 – 12 + 6 = 2 となって、ちゃんと成り立っていますね。
頂点での微分可能性
座標平面上の図形では、頂点の部分は「微分不可能」になります。
これは、頂点で図形の向きが急に変わるため、その点での傾きが一つに定まらないからです。
例えば、折れ線グラフの「折れている部分」では、左から見た傾きと右から見た傾きが違いますよね。これが微分不可能ということなんです。
二次関数（放物線）の頂点
ここからは、全く違う意味の「頂点」について説明します。
放物線の頂点とは？
放物線（ほうぶつせん）= parabola（パラボラ）
二次関数のグラフは、U字型やn字型の曲線になります。これを「放物線」と呼びます。
この放物線の一番高い点または一番低い点が、「頂点」なんです。
頂点は放物線の転換点
頂点は、放物線が方向を変える点です。
- 上に開く放物線（U字型）：頂点は一番低い点（最小値）
- 下に開く放物線（∩字型）：頂点は一番高い点（最大値）
頂点を境に、増加から減少へ（またはその逆）と、グラフの変化が切り替わります。
対称軸との関係
放物線には「対称軸（たいしょうじく）」という縦の直線があります。
これは、放物線を左右対称に分ける線のことです。
頂点は、必ず対称軸上にあります。
つまり、頂点は放物線と対称軸の交点なんです。
標準形での頂点の求め方
二次関数の式が y = ax² + bx + c の形で与えられた時、頂点の座標は次の公式で求められます。
頂点のx座標 = -b/(2a)
この値を式に代入すれば、y座標も求められます。
例題
y = 2x² – 8x + 5 の頂点を求めてみましょう。
ステップ1：係数を確認
a = 2、b = -8、c = 5
ステップ2：頂点のx座標を計算
x = -(-8)/(2×2) = 8/4 = 2
ステップ3：頂点のy座標を計算
y = 2(2)² – 8(2) + 5
y = 8 – 16 + 5
y = -3
答え：頂点は (2, -3)
頂点形式
二次関数を y = a(x – h)² + k の形に書くこともできます。
この形を「頂点形式」と呼びます。
なぜなら、この式では頂点が (h, k) と、すぐに分かるからです。
例題
y = 3(x – 1)² + 5 の頂点は？
答え：(1, 5)
カッコの中の符号に注意してください。(x – 1) なので、h = 1 です。
実生活での応用
放物線の頂点は、実際の問題でよく使われます。
ボールの軌道
野球のボールを投げた時、ボールは放物線を描いて飛びます。頂点は、ボールが最も高く上がった点です。
噴水の水
噴水から出る水も、放物線を描きます。頂点は、水が最も高く上がる点ですね。
利益の最大化
ビジネスでも、利益を計算する式が二次関数になることがあります。この時、頂点は最大利益を表します。
グラフ理論の頂点
最後に、3つ目の意味を説明します。
グラフ理論とは？
グラフ理論は、点と線のつながりを研究する数学の分野です。
ここで言う「グラフ」は、棒グラフや折れ線グラフとは違います。ネットワークの図のことなんです。
グラフ理論の頂点（ノード）
グラフ理論では、頂点のことを「ノード（node）」とも呼びます。
頂点 = ネットワークの点
辺（edge）= 頂点同士をつなぐ線
例えば、SNSの友達関係を図にすると：
- 各人が「頂点」
- 友達関係が「辺」
こんなイメージです。
頂点の次数
ある頂点につながっている辺の数を、その頂点の「次数（degree）」と言います。
例
Aさんが5人と友達なら、Aさん（頂点）の次数は5です。
特別な頂点
グラフ理論には、特別な名前が付いた頂点があります。
孤立点（isolated vertex）
次数が0の頂点。どこにもつながっていない点です。
葉（leaf vertex）
次数が1の頂点。一本の辺だけでつながっている点です。
切断点（cut vertex）
この頂点を取り除くと、グラフが分断されてしまう重要な点です。
有向グラフの頂点
グラフの辺に方向がある場合、「有向グラフ」と呼びます。
この時、頂点には2種類の次数があります。
入次数（indegree）：その頂点に入ってくる辺の数
出次数（outdegree）：その頂点から出ていく辺の数
実生活での応用
グラフ理論の頂点は、様々な場面で使われています。
道路網
都市を頂点、道路を辺とすると、最短経路を見つけるのに役立ちます。
インターネット
Webページを頂点、リンクを辺とすると、Googleの検索順位を決めるアルゴリズムが作れます。
電力網
発電所や変電所を頂点、送電線を辺とすると、効率的な電力供給網を設計できます。
SNS
人を頂点、友達関係を辺とすると、影響力のある人を見つけられます。
3つの頂点の違いをまとめると
ここまで見てきた3つの「頂点」を比較してみましょう。
幾何学の頂点
定義：辺と辺が交わる点
例：三角形の角、立方体の角
特徴：図形の「角」にある
英語：vertex of a polygon/polyhedron
二次関数の頂点
定義：放物線の最高点または最低点
例：y = x² のグラフの底の点
特徴：放物線の転換点、最大値または最小値
英語：vertex of a parabola
グラフ理論の頂点
定義：ネットワークの節点
例：SNSの友達ネットワークでの各人
特徴：辺でつながれた点、次数を持つ
英語：vertex or node of a graph
頂点という言葉の由来
「頂点」という言葉は、なぜこの3つの異なる概念に使われているのでしょうか？
共通点は「重要な点」
幾何学の頂点は、図形の構造を決める重要な点です。
二次関数の頂点は、グラフの最高点・最低点という重要な点です。
グラフ理論の頂点は、ネットワークを構成する基本的な点です。
つまり、どれも「構造の中で重要な役割を果たす点」という共通の意味があるんですね。
英語の vertex の語源「回転した先端」という意味も、「尖った重要な点」というイメージとつながっています。
よくある間違いと注意点
間違い1：頂点と頂上を混同する
「頂点」は数学用語ですが、「頂上」は山などの一番高い所を指す日常語です。
二次関数の頂点が下向きの放物線の最低点の場合、「頂上」という言葉は不適切ですね。
間違い2：頂点形式での符号
y = a(x – h)² + k の形で、頂点は (h, k) です。
y = 2(x – 3)² + 5 の頂点は (3, 5) であって、(-3, 5) ではありません。
(x – 3) のマイナス符号に惑わされないようにしましょう。
間違い3：グラフ理論の頂点と辺を混同する
グラフ理論では、「頂点（点）」と「辺（線）」は別物です。
友達ネットワークで言えば、人が頂点で、友達関係が辺です。
他の分野での「頂点」
数学以外の分野でも「頂点」という言葉が使われます。
コンピュータグラフィックス
3Dモデルを作る時、物体の形を「頂点」の集まりで表現します。
この頂点には、位置だけでなく、色や質感などの情報も持たせます。
物理学
素粒子物理学では、粒子が衝突する点を「頂点」と呼びます。
ファインマン・ダイアグラムという図で、粒子の相互作用を表す時に使われます。
光学
レンズの表面と光軸が交わる点を「頂点」と呼びます。
まとめ
「頂点」について、3つの異なる意味を見てきました。
幾何学の頂点
- 辺と辺が交わる点
- n角形にはn個の頂点がある
- 立体図形の角の点
二次関数の頂点
- 放物線の最高点または最低点
- 転換点であり、最大値または最小値
- 公式：x = -b/(2a) で求められる
グラフ理論の頂点
- ネットワークの節点
- 辺でつながれた基本単位
- 次数という性質を持つ
同じ「頂点（vertex）」という言葉でも、使われる場面によって意味が違います。
でも、どれも「構造の中で重要な点」という共通の意味を持っているんですね。
数学を勉強する時は、どの意味の頂点なのかをしっかり理解することが大切です。文脈から判断して、正しい意味で使えるようになりましょう。
頂点という概念は、抽象的に見えるかもしれませんが、実は私たちの生活の中にたくさん存在しています。建物の角、ボールの軌道、SNSのつながり…数学の目で世界を見ると、新しい発見がありますよ！
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