「ベクトルの成分」という言葉を聞いたことはありますか？
高校の数学で初めてベクトルを習うとき、多くの人がつまずくポイントの一つが、この「成分表示」という概念です。
でも安心してください。ベクトルの成分は、実はとてもシンプルで便利な考え方なんです。
ベクトルを成分で表すことができれば、図を描かずに計算だけでベクトルの演算ができるようになります。複雑なベクトルの問題も、成分を使えば機械的に解けるようになるんです。
この記事では、ベクトルの成分の基本的な意味から、求め方、計算方法、そして応用まで、わかりやすく丁寧に解説していきます。
ベクトルとは？
ベクトルの基本
まず、ベクトルの基本を復習しましょう。
ベクトルとは、大きさと向きを持った量のことです。矢印で表されます。
例：
- 速度（時速50kmで北向き）
- 力（10Nで右向き）
- 変位（3m東へ移動）
ベクトルは、点Aから点Bへ向かう矢印として表され、AB（ABの上に矢印）と書きます。
ベクトルの重要な性質
ベクトルには位置に依存しないという重要な性質があります。
つまり、大きさと向きが同じであれば、どこにあっても同じベクトルとして扱われるんです。
これが座標の点と大きく異なる点です。点A(3, 2)は座標平面上の決まった1点を表しますが、ベクトル(3, 2)は「x方向に3、y方向に2」という向きと大きさを表し、どこにあってもよいのです。
ベクトルの成分とは
成分表示の基本的な考え方
ベクトルの成分とは、ベクトルをx軸方向とy軸方向（3次元ならz軸方向も）に分解したときの、それぞれの方向の量のことです。
簡単に言えば：
「始点から終点に向かって、x軸方向にどれだけ進み、y軸方向にどれだけ進むか」を数値で表したものが成分です。
平面ベクトルの成分表示
2次元平面（xy平面）上のベクトル a が、x方向に3、y方向に2進む場合、このベクトルを成分で表すと：
a = (3, 2)
または
a =
(3)
(2)と書きます（縦書きの方が座標との混同を避けられます）。
この場合：
- x成分：3
- y成分：2
成分と座標の違い
重要な注意点：成分と座標は違います！
点A(3, 2)の場合：
- これは座標平面上の決まった1点を表す
- 「x座標が3、y座標が2の場所」という意味
- 位置を表している
ベクトルa** = (3, 2)の場合：**
- これは向きと大きさを表す
- 「x方向に3、y方向に2進む」という意味
- どこを始点にしても同じベクトル
空間ベクトルの成分表示
3次元空間のベクトルは、x成分、y成分、z成分の3つで表されます。
a = (a₁, a₂, a₃)
ここで：
- a₁：x成分
- a₂：y成分
- a₃：z成分
ベクトルの成分の求め方
方法1：グラフから読み取る
座標平面上にベクトルが描かれている場合、始点から終点まで、x方向とy方向にそれぞれどれだけ進むかを読み取ります。
例：
始点から終点まで、右に4、上に3進む場合
→ ベクトルの成分は (4, 3)
注意点：
- 右向き（x軸の正の向き）なら正、左向きなら負
- 上向き（y軸の正の向き）なら正、下向きなら負
方法2：座標から計算する
始点と終点の座標がわかっている場合、計算で求めます。
公式：
点A(x₁, y₁)から点B(x₂, y₂)へのベクトル AB の成分は：
AB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)
重要：終点の座標 – 始点の座標
例題1：
A(-3, 4)、B(1, 2)のとき、ベクトル AB の成分を求めよ。
解答：
AB = (1 – (-3), 2 – 4)
= (4, -2)
答え：(4, -2)
方法3：原点を始点とする場合
ベクトルの始点を原点O(0, 0)に合わせた場合、終点の座標がそのままベクトルの成分になります。
点A(a₁, a₂)に対して、原点から点Aへのベクトル OA は：
OA = (a₁ – 0, a₂ – 0) = (a₁, a₂)
つまり、原点を始点とすると、座標と成分が一致するという便利な性質があります。
この性質は後々、図形問題を解くときに非常に重要になります。「点Aの座標を求める」＝「ベクトル OA の成分を求める」という考え方ができるのです。
基本ベクトルによる表現
基本ベクトルとは
基本ベクトル（または単位ベクトル）は、各座標軸の正の向きに大きさ1のベクトルです。
平面ベクトルの場合：
- e₁ = (1, 0)：x軸方向の大きさ1のベクトル
- e₂ = (0, 1)：y軸方向の大きさ1のベクトル
空間ベクトルの場合：
- e₁ = (1, 0, 0)：x軸方向
- e₂ = (0, 1, 0)：y軸方向
- e₃ = (0, 0, 1)：z軸方向
基本ベクトルは i, j, k と表記することもあります。
基本ベクトルを使った表現
任意のベクトル a = (a₁, a₂)は、基本ベクトルを使って次のように表せます：
a = a₁e₁ + a₂e₂
または
a = a₁i + a₂j
例：
a = (3, 2) は、a = 3e₁ + 2e₂ と表せます。
これは「x方向の基本ベクトルを3倍して、y方向の基本ベクトルを2倍したものを足す」という意味です。
成分を使ったベクトルの演算
成分表示の最大のメリットは、ベクトルの計算が簡単にできることです！
1. ベクトルの相等
2つのベクトルが等しい ⇔ すべての成分が等しい
a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂)のとき
a = b ⇔ a₁ = b₁ かつ a₂ = b₂
2. ベクトルの加法（足し算）
成分ごとに足し算します。
a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂)のとき
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
例題2：
a = (2, 3)、b = (-4, 2)のとき、a + b を求めよ。
解答：
a + b = (2 + (-4), 3 + 2) = (-2, 5)
答え：(-2, 5)
3. ベクトルの減法（引き算）
成分ごとに引き算します。
a – b = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)
例題3：
a = (5, 1)、b = (2, 4)のとき、a – b を求めよ。
解答：
a – b = (5 – 2, 1 – 4) = (3, -3)
答え：(3, -3)
4. 実数倍（スカラー倍）
各成分をk倍します。
ka = k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂)
例題4：
a = (2, 3)のとき、3a を求めよ。
解答：
3a = 3(2, 3) = (6, 9)
答え：(6, 9)
5. 複合計算
例題5：
a = (2, 3)、b = (-4, 2)のとき、2a – b を求めよ。
解答：
2a – b = 2(2, 3) – (-4, 2)
= (4, 6) – (-4, 2)
= (4 – (-4), 6 – 2)
= (8, 4)
答え：(8, 4)
ベクトルの大きさと成分
大きさの公式
ベクトル a = (a₁, a₂)の大きさ（長さ）は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って求めます。
|a| = √(a₁² + a₂²)
3次元の場合：
a = (a₁, a₂, a₃)のとき
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
なぜこの公式になるのか
ベクトルを成分に分解すると、x成分とy成分が直角三角形の2辺になります。ベクトルの大きさはその斜辺なので、三平方の定理が使えるんです！
例題6：
a = (3, 4)の大きさを求めよ。
解答：
|a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
答え：5
大きさの計算の工夫
例題7：
a = (2, 3)、b = (-4, 2)のとき、2a – b の大きさを求めよ。
解答：
まず成分を求める：
2a – b = (8, 4)
ここで工夫！ (8, 4) = 4(2, 1) と因数分解できます。
|2a – b| = |4(2, 1)| = 4|(2, 1)| = 4√(2² + 1²) = 4√5
答え：4√5
直接 √(8² + 4²) = √80 と計算するより簡単ですね！
単位ベクトル
単位ベクトルとは
単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルのことです。
ベクトルと同じ向きの単位ベクトル
ベクトル a と同じ向きで大きさが1のベクトル（単位ベクトル）e は：
e = a / |a|
つまり、ベクトルをその大きさで割ればよいのです。
例題8：
a = (3, 4)と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。
解答：
まず |a| = √(3² + 4²) = 5
単位ベクトル e = a/5 = (3/5, 4/5)
検算：|e| = √((3/5)² + (4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = √(25/25) = 1 ✓
答え：(3/5, 4/5)
注意点
ベクトル a に平行な単位ベクトルは2つあります：
- 同じ向き：a/|a|
- 逆向き：-a/|a|
問題文で「同じ向き」なのか「平行な」なのかをよく確認しましょう！
大きさと角度からの成分の求め方
極形式からの変換
ベクトルの大きさ |v| と、x軸の正の向きとなす角 θ がわかっている場合、成分は三角関数を使って求められます。
v = (|v| cos θ, |v| sin θ)
つまり：
- x成分 = 大きさ × cos θ
- y成分 = 大きさ × sin θ
例題9：
大きさが10で、x軸の正の向きと30°の角をなすベクトルの成分を求めよ。
解答：
x成分 = 10 cos 30° = 10 × (√3/2) = 5√3
y成分 = 10 sin 30° = 10 × (1/2) = 5
答え：(5√3, 5)
成分から角度を求める
逆に、成分から角度を求めることもできます。
v = (vₓ, vᵧ)のとき、x軸の正の向きとなす角 θ は：
tan θ = vᵧ / vₓ
ただし、vₓとvᵧの符号から象限を判断する必要があります。
ベクトルの内積と成分
内積の成分表示
2つのベクトル a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂)の内積は：
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
3次元の場合：
a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)のとき
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
例題10：
a = (2, 3)、b = (4, -1)のとき、a · b を求めよ。
解答：
a · b = 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 – 3 = 5
答え：5
垂直条件
2つのベクトルが垂直である条件は、内積が0になることです。
a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ = 0
例題11：
a = (2, 3)に垂直なベクトル b = (x, y)で、x + y = 5を満たすものを求めよ。
解答：
垂直条件から：2x + 3y = 0 … ①
与えられた条件：x + y = 5 … ②
②より y = 5 – x を①に代入：
2x + 3(5 – x) = 0
2x + 15 – 3x = 0
-x + 15 = 0
x = 15
y = 5 – 15 = -10
答え：(15, -10)
ベクトルの分解と成分
ベクトルの一意的な表現
平面上で、互いに平行でない0でない2つのベクトル a、b があるとき、任意のベクトル p は、a と b を使ってただ1通りに表せます。
p = sa + tb
この性質をベクトルの分解定理といいます。
成分を求める問題
例題12：
a = (4, 2)、b = (1, 3)、c = (11, 13)のとき、c = sa + tb となる実数s, tを求めよ。
解答：
成分で表すと：
(11, 13) = s(4, 2) + t(1, 3)
(11, 13) = (4s, 2s) + (t, 3t)
(11, 13) = (4s + t, 2s + 3t)
成分が等しいので：
4s + t = 11 … ①
2s + 3t = 13 … ②
①より t = 11 – 4s
これを②に代入：
2s + 3(11 – 4s) = 13
2s + 33 – 12s = 13
-10s = -20
s = 2
t = 11 – 4 × 2 = 3
答え：s = 2, t = 3
空間ベクトルの成分
3次元の成分表示
空間ベクトルは3つの成分で表されます。
a = (a₁, a₂, a₃)
または基本ベクトル e₁, e₂, e₃ を使って：
a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃
座標から成分を求める
点A(x₁, y₁, z₁)から点B(x₂, y₂, z₂)へのベクトル AB は：
AB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁)
空間での演算
平面ベクトルと同様に、成分ごとに計算します。
例題13：
a = (1, 2, 3)、b = (4, -1, 2)のとき、2a + 3b を求めよ。
解答：
2a + 3b = 2(1, 2, 3) + 3(4, -1, 2)
= (2, 4, 6) + (12, -3, 6)
= (14, 1, 12)
答え：(14, 1, 12)
実践問題
問題1：成分と大きさ
A(2, -1)、B(5, 3)のとき、ベクトル AB の成分と大きさを求めよ。
解答：
成分：AB = (5 – 2, 3 – (-1)) = (3, 4)
大きさ：|AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5
答え：成分 (3, 4)、大きさ 5
問題2：ベクトルの演算
a = (1, 2)、b = (3, -1)のとき、3a – 2b の成分と大きさを求めよ。
解答：
3a – 2b = 3(1, 2) – 2(3, -1)
= (3, 6) – (6, -2)
= (-3, 8)
大きさ：√((-3)² + 8²) = √(9 + 64) = √73
答え：成分 (-3, 8)、大きさ √73
問題3：単位ベクトル
a = (5, 12)と平行な単位ベクトルをすべて求めよ。
解答：
|a| = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
同じ向きの単位ベクトル：a/13 = (5/13, 12/13)
逆向きの単位ベクトル：-a/13 = (-5/13, -12/13)
答え：(5/13, 12/13) と (-5/13, -12/13)
問題4：内積と垂直
a = (4, 3)、b = (x, 2)が垂直になるとき、xの値を求めよ。
解答：
垂直条件より a · b = 0
4x + 3 × 2 = 0
4x + 6 = 0
x = -3/2
答え：x = -3/2
まとめ
ベクトルの成分について、重要なポイントをまとめます。
1. 成分表示の意味：
- ベクトルをx軸、y軸（z軸）方向に分解した量
- a = (a₁, a₂) は「x方向にa₁、y方向にa₂」
2. 成分の求め方：
- 座標から：AB = (終点の座標) – (始点の座標)
- グラフから：x方向、y方向にそれぞれどれだけ進むか読み取る
- 大きさと角度から：(|v| cos θ, |v| sin θ)
3. 成分と座標の違い：
- 座標：位置を表す（場所が決まっている）
- 成分：向きと大きさを表す（どこでも同じ）
4. 成分を使った演算：
- 加法・減法：成分ごとに足す・引く
- 実数倍：各成分を k 倍する
- 内積：a₁b₁ + a₂b₂（成分の積の和）
5. 大きさの公式：
- 平面：|a| = √(a₁² + a₂²)
- 空間：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
6. 単位ベクトル：
- 大きさが1のベクトル
- a と同じ向き：a / |a|
7. 垂直条件：
- a ⊥ b ⇔ a · b = 0
8. 基本ベクトル：
- a = a₁e₁ + a₂e₂ と表せる
ベクトルを成分で表すことで、図を描かなくても計算だけで問題が解けるようになります。最初は慣れないかもしれませんが、繰り返し練習することで必ず身につきます。
成分表示をマスターすれば、ベクトルの問題が格段に解きやすくなりますよ！
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