トリボナッチ数列とは？フィボナッチ数列の拡張と不思議な性質

「トリボナッチ数列」という言葉を聞いたことはありますか？

有名なフィボナッチ数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…）は知っていても、トリボナッチ数列はあまり馴染みがないかもしれません。

でも実は、トリボナッチ数列はフィボナッチ数列を自然に拡張した、とても面白い数列なんです。

フィボナッチ数列が「直前の2つの数の和」で作られるのに対し、トリボナッチ数列は「直前の3つの数の和」で作られます。たったそれだけの違いですが、そこには驚くべき性質が隠れています。

この記事では、トリボナッチ数列の基本から、その不思議な性質、実際の応用まで、わかりやすく解説していきます。

フィボナッチ数列のおさらい
1. フィボナッチ数列の定義
2. フィボナッチ数列の作り方
トリボナッチ数列の定義
フィボナッチ数列との比較
1. 違いを表で比較
2. 共通点
トリボナッチ定数
トリボナッチ数列の一般項
トリボナッチ数列の初期値の違い
1. 別のバージョン
トリボナッチ数列の性質
階段問題への応用
さらなる拡張
1. テトラナッチ数列
2. k-ボナッチ数列
プログラミングでの実装
パスカルの四面体との関係
1. フィボナッチとパスカルの三角形
2. トリボナッチとパスカルの四面体
実際の応用例
面白い問題
まとめ

フィボナッチ数列のおさらい

まず、トリボナッチ数列を理解するために、フィボナッチ数列をおさらいしましょう。

フィボナッチ数列の定義

フィボナッチ数列は、次のように定義されます：

最初の2項：F₀ = 0, F₁ = 1
それ以降：F_n = F_{n-1} + F_{n-2}（直前の2つの数の和）

数列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

フィボナッチ数列の作り方

例えば：

F₂ = F₁ + F₀ = 1 + 0 = 1
F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2
F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3
F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5

このように、「前の2つを足す」というシンプルなルールで作られます。

トリボナッチ数列の定義

基本的な定義

トリボナッチ数列は、フィボナッチ数列を拡張したもので、次のように定義されます：

最初の3項： T₀ = 0, T₁ = 0, T₂ = 1

それ以降： T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}（直前の3つの数の和）

数列：
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768…

トリボナッチ数列の作り方

具体的に計算してみましょう：

T₃ = T₂ + T₁ + T₀ = 1 + 0 + 0 = 1
T₄ = T₃ + T₂ + T₁ = 1 + 1 + 0 = 2
T₅ = T₄ + T₃ + T₂ = 2 + 1 + 1 = 4
T₆ = T₅ + T₄ + T₃ = 4 + 2 + 1 = 7
T₇ = T₆ + T₅ + T₄ = 7 + 4 + 2 = 13
T₈ = T₇ + T₆ + T₅ = 13 + 7 + 4 = 24

見てわかるように、数が急速に大きくなっていきます！

名前の由来

「トリボナッチ」という名前は、3を意味する「トリ（tri）」と「フィボナッチ（Fibonacci）」を組み合わせた造語です。

トリ（tri）：ラテン語で「3」を意味する接頭辞
関連語：トリオ（trio）、トライアングル（triangle）など

豆知識： 「トリボナッチ」という人は実在しません。この名前は、1963年にアメリカの14歳の中学生マーク・ファインバーグ（Mark Feinberg）によって命名されました。

フィボナッチ数列との比較

違いを表で比較

項目	フィボナッチ数列	トリボナッチ数列
使う項の数	直前の2項	直前の3項
最初の数	0, 1	0, 0, 1
漸化式	F_n = F_{n-1} + F_{n-2}	T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}
第10項	55	44
第15項	610	1705
増加率	約1.618倍	約1.839倍

共通点

どちらも：

初期値から始まる
規則的な足し算で作られる
各項の比が一定の値に収束する
自然界や数学の様々な場面に現れる

トリボナッチ定数

隣接項の比の収束

フィボナッチ数列では、隣接する2つの項の比 F_{n+1}/F_n は、黄金比 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618… に収束します。

同様に、トリボナッチ数列でも、隣接する項の比 T_{n+1}/T_n は、ある特定の定数に収束します。これをトリボナッチ定数といいます。

トリボナッチ定数の値

トリボナッチ定数は、三次方程式 x³ – x² – x – 1 = 0 の実数解で：

t ≈ 1.839286755214161…

より正確には：

t = (1/3)(1 + ∛(19 + 3√33) + ∛(19 – 3√33))

実際に確認してみよう

数列の隣接項の比を計算すると：

T₁₀/T₉ = 44/24 ≈ 1.833…
T₁₅/T₁₄ = 1705/927 ≈ 1.839…
T₂₀/T₁₉ = 35890/19513 ≈ 1.8392…
T₃₀/T₂₉ ≈ 1.839286…

項が大きくなるにつれて、トリボナッチ定数 1.839286… に近づいていくことがわかります！

トリボナッチ数列の一般項

ビネの公式に似た表現

フィボナッチ数列には、n番目の項を直接計算できる「ビネの公式」があります。

トリボナッチ数列にも、同様の公式があります：

T_n = α^n / ((α – β)(α – γ)) + β^n / ((β – α)(β – γ)) + γ^n / ((γ – α)(γ – β))

ここで、α、β、γ は三次方程式 x³ – x² – x – 1 = 0 の3つの解です。

解の性質

この三次方程式の解は：

α（アルファ）： 実数解 ≈ 1.839286…（トリボナッチ定数）
β（ベータ）とγ（ガンマ）： 複素数の共役な解

複素数の解の絶対値は1より小さいので、nが大きくなると β^n と γ^n はほぼ0になります。

つまり、大きなnに対しては：

T_n ≈ α^n / ((α – β)(α – γ))

と近似できます。

驚くべき事実

自然数の数列なのに、その一般項には：

無理数（トリボナッチ定数）
さらには虚数（複素数の解）

が含まれているんです！でも不思議なことに、これらを組み合わせると、ちゃんと整数になります。

トリボナッチ数列の初期値の違い

別のバージョン

実は、トリボナッチ数列には初期値の設定によっていくつかのバージョンがあります。

バージョン1（標準）： T₀ = 0, T₁ = 0, T₂ = 1
→ 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149…

バージョン2： T₀ = 1, T₁ = 1, T₂ = 1
→ 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355…

バージョン3： T₀ = 1, T₁ = 1, T₂ = 2
→ 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274…

どのバージョンも「直前3項の和」という規則は同じですが、最初の数が違うだけで、全く異なる数列になります。

トリボナッチ数列の性質

性質1：急速な増加

トリボナッチ数列は、フィボナッチ数列よりも速く増加します。

フィボナッチ：約1.618倍ずつ増える
トリボナッチ：約1.839倍ずつ増える

性質2：完全性

驚くべきことに、すべての正の整数は、異なるトリボナッチ数の和として表せます。

しかも、その表し方は（連続する3つのトリボナッチ数を使わないという条件のもとで）一意的です。

例：

10 = 7 + 2 + 1
20 = 13 + 7
50 = 44 + 4 + 2

これは「ツェッケンドルフ表現」のトリボナッチ版です。

性質3：素数との関係

トリボナッチ数列の中で素数であるものをトリボナッチ素数といいます。

最初のいくつかは：
2, 7, 13, 149, 19341322569415713958901, …

フィボナッチ素数と同様、まだまだ謎が多い分野です。

階段問題への応用

問題

階段があります。1歩で1段、2段、または3段のぼることができます。

n段の階段をのぼる方法は何通りあるでしょうか？

解答

これは、まさにトリボナッチ数列の問題です！

考え方：

n段目に到達するには、(n-1)段目から1段のぼる、または
(n-2)段目から2段のぼる、または
(n-3)段目から3段のぼる

したがって：

a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}

初期条件を a₁ = 1（1段の階段は1通り）、a₂ = 2（1+1 または 2）、a₃ = 4（1+1+1, 1+2, 2+1, 3）とすると：

段数	のぼり方
1段	1通り
2段	2通り
3段	4通り
4段	7通り
5段	13通り
6段	24通り
7段	44通り

これは、T₂から始まるトリボナッチ数列と同じです！

フィボナッチとの比較

1歩で1段または2段のぼる場合 → フィボナッチ数列
1歩で1段、2段、または3段のぼる場合 → トリボナッチ数列

さらなる拡張

テトラナッチ数列

「直前の4項の和」で作られる数列をテトラナッチ数列（Tetranacci）といいます。

定義：

初期値：0, 0, 0, 1
漸化式：T_n = T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3} + T_{n-4}

数列：
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490…

k-ボナッチ数列

一般化すると、「直前のk項の和」で作られる数列をk-ボナッチ数列といいます。

k = 2：フィボナッチ数列
k = 3：トリボナッチ数列
k = 4：テトラナッチ数列
k = 5：ペンタナッチ数列
…

どれも似たような性質を持ちますが、kが大きくなるほど、数列の増加率も大きくなります。

プログラミングでの実装

単純な再帰（Python）

def tribonacci(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 0
    if n == 2:
        return 1
    return tribonacci(n-1) + tribonacci(n-2) + tribonacci(n-3)

# 使用例
for i in range(15):
    print(f"T_{i} = {tribonacci(i)}")

注意： この方法は簡単ですが、同じ計算を何度も繰り返すため、nが大きいと非常に遅くなります。

効率的な方法（動的計画法）

def tribonacci_efficient(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 0
    if n == 2:
        return 1

    t0, t1, t2 = 0, 0, 1

    for i in range(3, n + 1):
        t_new = t0 + t1 + t2
        t0, t1, t2 = t1, t2, t_new

    return t2

# 使用例
print(tribonacci_efficient(20))  # 35890

この方法なら、大きなnでも素早く計算できます。

リストで生成

def tribonacci_list(n):
    if n <= 0:
        return []
    if n == 1:
        return [0]
    if n == 2:
        return [0, 0]

    result = [0, 0, 1]

    for i in range(3, n):
        result.append(result[i-1] + result[i-2] + result[i-3])

    return result

# 使用例
print(tribonacci_list(15))
# [0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927]

パスカルの四面体との関係

フィボナッチとパスカルの三角形

フィボナッチ数列は、パスカルの三角形の斜めの和として現れます：

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1

斜めに足すと：1, 1, 2, 3, 5, 8…（フィボナッチ数列）

トリボナッチとパスカルの四面体

同様に、トリボナッチ数列はパスカルの四面体（3次元版）から作ることができます。

四面体の各段の数を特定のパターンで足し合わせると、トリボナッチ数列が現れます。

これは、フィボナッチ数列が2項の和、トリボナッチ数列が3項の和で作られることと対応しています。

実際の応用例

1. 組合せ論

特定の制約がある組合せ問題で、トリボナッチ数列が現れます。

例： n個の要素を、最大サイズ3のグループに分割する方法の数

2. タイル張り問題

1×2、1×1、2×1のタイルを使って、特定の形を埋める方法の数を数えると、トリボナッチ数列が現れることがあります。

3. コンピュータアルゴリズム

動的計画法の練習問題として、トリボナッチ数列の計算はよく使われます。

4. 数学の研究

数論や組合せ論の研究で、トリボナッチ数列の性質が調べられています。

面白い問題

問題1：トリボナッチ数列で表現

100を異なるトリボナッチ数の和として表してください。

ヒント： 100より小さい最大のトリボナッチ数は81です。

解答：
100 = 81 + 13 + 4 + 2

問題2：階段問題

10段の階段を、1歩で1段、2段、または3段のぼる方法は何通りあるでしょうか？

解答：

初期値を考慮して計算すると：

a₁ = 1
a₂ = 2
a₃ = 4
a₄ = 7
a₅ = 13
a₆ = 24
a₇ = 44
a₈ = 81
a₉ = 149
a₁₀ = 274

答え：274通り

問題3：トリボナッチ定数の近似

T₂₀/T₁₉を計算して、トリボナッチ定数の近似値を求めてください。