正弦定理の完全ガイド

建物の高さ、川の幅、星までの距離…

直接測れないものを計算できる魔法の公式、それが**正弦定理（せいげんていり）**です。

どんな三角形でも成り立つ「辺と角度の美しい関係」を使って、見えない距離を計算する方法を、一緒に学んでいきましょう！

正弦定理って何？

基本の公式

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

難しそう？でも意味は簡単です。

「向かい合う辺と角のペアで分数を作ると、どれも同じ値になる」

これだけ覚えれば大丈夫！

記号の意味

記号	意味
a, b, c	三角形の3辺の長さ
A, B, C	それぞれの対角（向かい合う角）
R	外接円の半径
2R	外接円の直径

なぜ成り立つの？

すべての三角形は、ちょうど1つの円（外接円）にぴったり収まります。

この円の大きさと、三角形の辺・角の関係が正弦定理なんです。

証明してみよう（高さを使う方法）

中学生でも分かる証明です：

垂線を引く 頂点Cから底辺ABに垂線（高さh）を引く
2つの直角三角形ができる 左側：sinA = h/b → h = b×sinA 右側：sinB = h/a → h = a×sinB
高さは同じ b×sinA = a×sinB
整理すると… a/sinA = b/sinB

どの2辺を選んでも同じ関係が成り立ちます！

いつ使える？使い分けガイド

正弦定理が使える場合

パターン	分かっているもの	解の個数
ASA型	角-辺-角	必ず1つ
AAS型	角-角-辺	必ず1つ
SSA型	辺-辺-角	0～2個（要注意！）

余弦定理を使うべき場合

SAS型：辺-角-辺
SSS型：辺-辺-辺

角が2つ以上分かっていれば正弦定理、そうでなければ余弦定理！

SSA型の注意点（あいまいな場合）

2つの辺と1つの角から、三角形が：

作れない（0個）
1つだけ作れる
2つ作れる

場合があります。必ず確認しましょう！

実際に解いてみよう

例題1：建物の高さを測る

問題： 地点Aから塔を見上げると30°、100m歩いた地点Bからは45°。塔までの距離は？

解き方：

三角形を描く（角A=30°、角B=45°、AB=100m）
第3の角：C = 180° – 30° – 45° = 105°
正弦定理：AC/sin45° = 100/sin105°
計算：AC = 100 × sin45°/sin105° ≈ 73.2m

答え：約73.2m

例題2：SSA型（2つの答え）

問題： a=37、b=55、角A=35°の三角形を解け

解き方：

高さチェック：h = 55×sin35° ≈ 31.5
37 > 31.5 かつ 37 < 55 → 2つの解がある！

**解1：**角B≈58°、角C≈87°、c≈64.4 **解2：**角B≈122°、角C≈23°、c≈25.2

身近な応用例

GPS（スマホの位置情報）

あなたのスマホの位置は、4つ以上の衛星からの信号を使って計算されています。

衛星1 ────── 衛星2
    \            /
      \        /
       \     /
       あなた

衛星が作る巨大な三角形の中で、正弦定理を使って位置を特定！

星までの距離

地球が太陽の周りを回る軌道（直径3億km）を使います：

1月に星の位置を測定
7月に同じ星を測定（地球は反対側）
わずかな角度の差（視差）を測定
正弦定理で距離を計算

最も近い星（プロキシマ・ケンタウリ）まで4.24光年！

測量の実際

学校の校庭で実験してみよう：

木の高さを測る方法：

木から10m離れて角度を測る（例：60°）
さらに10m離れて角度を測る（例：45°）
正弦定理で計算
実際の高さと比較

よくある間違いと対策

ミス1：電卓の設定

モード	sin30°の値	正しい？
度数法（DEG）	0.5	⭕
ラジアン（RAD）	-0.988	❌

必ず度数法（DEG）に設定！

ミス2：対応を間違える

✅ 正しい：辺a ⟷ 角A（向かい合う）
❌ 間違い：辺a ⟷ 角B（隣接）

色分けで対応を明確に！

ミス3：SSA型で1つの解しか求めない

補角（180° – 角度）も忘れずチェック！

練習問題の解き方

解法の4ステップ

READ（読む）
- 問題を読んで図を描く
- 分かっている情報に印をつける
CATEGORIZE（分類）
- ASA？AAS？SSA？
- 正弦定理？余弦定理？
SOLVE（解く）
- 公式に代入
- 電卓で計算
CHECK（確認）
- 角の和 = 180°？
- 辺の大小関係は正しい？

まとめ：正弦定理の力

正弦定理は、見えない距離を計算できる魔法の道具です。

できるようになること：
✅ 建物の高さを地上から測定
✅ 川幅を渡らずに計算
✅ GPSの仕組みを理解
✅ 星までの距離の求め方を知る

古代の天文学者から現代のGPS技術まで、2000年以上使われてきた定理。

これをマスターすれば、あなたも「見えないものを測る」ことができます。