数学の問題で「|x|=3」や「|2x-1|<5」のような記号を見たことはありませんか?
この縦棒「| |」は絶対値記号と呼ばれるもので、初めて習うときは「どうやって外せばいいの?」と戸惑いますよね。
でも安心してください。絶対値の外し方にはしっかりとしたルールがあります。この記事では、絶対値の基本的な意味から、方程式や不等式での具体的な外し方まで、分かりやすく解説していきます!
絶対値とは?【まずは基本を理解しよう】
絶対値の意味
絶対値とは、数直線上で「原点(0)からの距離」を表したものです。
例えば:
- |3| = 3(プラス3は原点から3離れている)
- |-3| = 3(マイナス3も原点から3離れている)
- |0| = 0(0は原点そのもの)
重要なポイント
絶対値は「距離」を表すので、必ずプラスの値かゼロになります。マイナスの値になることは絶対にありません。
絶対値記号の読み方
「|a|」は「エー アブソリュート」や「エーの絶対値」と読みます。英語では「absolute value」といいます。
絶対値を外す基本ルール
絶対値記号を外すときは、中の数がプラスかマイナスかで処理が変わります。
基本の2パターン
パターン1:中身がプラス(0以上)のとき
|a| = a (そのまま)パターン2:中身がマイナスのとき
|a| = -a (符号を反転させる)「マイナスのときに-aをつける」というのが、少しややこしいですよね。これは「マイナスをプラスに変える」という意味です。
具体例で確認
- |5| = 5(5はプラスだからそのまま)
- |-5| = -(-5) = 5(マイナス5の符号を反転)
- |0| = 0(0はそのまま)
文字を含む絶対値の外し方【場合分けが重要】
文字(xやaなど)が入っている絶対値を外すときは、「場合分け」という方法を使います。
基本的な手順
ステップ1:中身がプラスになる場合とマイナスになる場合を考える
ステップ2:それぞれの場合で絶対値を外す
例題:「|x|」の外し方
|x|を外すときは、xの符号で場合分けします。
場合1:x ≥ 0のとき
|x| = x場合2:x < 0のとき
|x| = -xつまり:
|x| = { x (x ≥ 0のとき)
{ -x (x < 0のとき)例題:「|x-2|」の外し方
「x-2」の符号で場合分けします。
場合1:x-2 ≥ 0、つまりx ≥ 2のとき
|x-2| = x-2場合2:x-2 < 0、つまりx < 2のとき
|x-2| = -(x-2) = -x+2つまり:
|x-2| = { x-2 (x ≥ 2のとき)
{ -x+2 (x < 2のとき)ポイント
境界となる数を見つけるには、絶対値の中身をゼロにする値を求めます。「x-2=0」を解いて「x=2」が境界です。
例題:「|2x+3|」の外し方
まず境界を求めます。
2x+3 = 0
2x = -3
x = -3/2場合1:x ≥ -3/2のとき
|2x+3| = 2x+3場合2:x < -3/2のとき
|2x+3| = -(2x+3) = -2x-3絶対値を含む方程式の解き方
絶対値を含む方程式を解くときも、場合分けが基本です。
基本形:「|x| = a」の解き方
aがプラスの数のとき、xには2つの可能性があります。
考え方
「原点から距離aのところにある数」は、プラスとマイナスの2つ。
解き方
|x| = a ならば x = a または x = -a具体例
例:「|x| = 5」を解く
x = 5 または x = -5例:「|x| = 0」を解く
x = 0 (0だけ)注意:「|x| = -3」のような式は解がありません(距離はマイナスにならないため)。
応用形:「|x-a| = b」の解き方
解き方の手順
絶対値記号を外して、2つの方程式にします。
例:「|x-3| = 5」を解く
方程式1:x-3 = 5
x = 8方程式2:x-3 = -5
x = -2答え:x = 8, -2
複雑な例:「|2x-1| = 7」を解く
方程式1:2x-1 = 7
2x = 8
x = 4方程式2:2x-1 = -7
2x = -6
x = -3答え:x = 4, -3
さらに複雑な例:「|x+2| = |x-3|」を解く
両辺に絶対値がある場合は、いくつかのパターンを考えます。
パターン1:x+2 = x-3
2 = -3
矛盾(解なし)パターン2:x+2 = -(x-3)
x+2 = -x+3
2x = 1
x = 1/2パターン3:-(x+2) = x-3
-x-2 = x-3
-2x = -1
x = 1/2パターン4:-(x+2) = -(x-3)
-x-2 = -x+3
-2 = 3
矛盾(解なし)答え:x = 1/2
絶対値を含む不等式の解き方
不等式も方程式と同じように場合分けして考えます。
基本形:「|x| < a」の解き方
「原点からの距離がa未満」という意味です。
解き方
|x| < a ならば -a < x < a数直線上で考えると、-aとaの間の範囲になります。
具体例
例:「|x| < 3」を解く
-3 < x < 3基本形:「|x| > a」の解き方
「原点からの距離がaより大きい」という意味です。
解き方
|x| > a ならば x < -a または x > a数直線上で考えると、-aより左か、aより右の範囲になります。
具体例
例:「|x| > 4」を解く
x < -4 または x > 4応用形:「|x-2| ≤ 3」を解く
境界はx=2です。場合分けして考えます。
場合1:x ≥ 2のとき
|x-2| = x-2なので:
x-2 ≤ 3
x ≤ 5x ≥ 2の条件と合わせて:2 ≤ x ≤ 5
場合2:x < 2のとき
|x-2| = -x+2なので:
-x+2 ≤ 3
-x ≤ 1
x ≥ -1x < 2の条件と合わせて:-1 ≤ x < 2
2つの場合をまとめる
-1 ≤ x ≤ 5応用形:「|2x+1| > 5」を解く
境界はx=-1/2です。
場合1:x ≥ -1/2のとき
|2x+1| = 2x+1なので:
2x+1 > 5
2x > 4
x > 2場合2:x < -1/2のとき
|2x+1| = -2x-1なので:
-2x-1 > 5
-2x > 6
x < -3答え
x < -3 または x > 2絶対値を外すときの注意点
不等号の向きに注意
不等式で両辺にマイナスをかけるとき、不等号の向きが逆になります。
例:
-x > 3
x < -3 (不等号が逆転)境界値の扱い
「≥」か「>」か、「≤」か「<」かをしっかり確認しましょう。境界の値が解に含まれるかどうかが変わります。
検算を忘れずに
求めた解を元の式に代入して、正しいかどうか確認する習慣をつけましょう。
実践問題で確認しよう
問題1:「|x| = 7」を解け
解答
x = 7 または x = -7
問題2:「|x-4| = 2」を解け
解答
x-4 = 2 → x = 6
x-4 = -2 → x = 2
答え:x = 2, 6
問題3:「|x+1| < 4」を解け
解答
-4 < x+1 < 4
各辺から1を引いて:
-5 < x < 3
問題4:「|3x-2| ≥ 7」を解け
解答
3x-2 ≥ 7 または 3x-2 ≤ -7
不等式1:
3x ≥ 9
x ≥ 3不等式2:
3x ≤ -5
x ≤ -5/3答え:x ≤ -5/3 または x ≥ 3
絶対値を理解するためのヒント
数直線を活用する
絶対値の問題は、数直線を描いて視覚的に考えると分かりやすくなります。原点からの距離をイメージしましょう。
具体的な数で試す
文字が入っていて分かりにくいときは、具体的な数を代入して確認してみましょう。
例:「|x-2|」にx=0, 1, 2, 3, 4を代入してみる
- x=0:|0-2|=2
- x=1:|1-2|=1
- x=2:|2-2|=0
- x=3:|3-2|=1
- x=4:|4-2|=2
パターンを覚える
よく出る形のパターンを覚えておくと、速く解けます。
- |x| = a → x = ±a
- |x| < a → -a < x < a
- |x| > a → x < -a または x > a
まとめ
絶対値記号の外し方は、最初は難しく感じるかもしれませんが、基本ルールを押さえれば確実に解けるようになります。
この記事のポイント
- 絶対値は原点からの距離を表す(必ずプラスかゼロ)
- 文字を含む場合は「場合分け」が必須
- 境界となる値を見つけることが大切
- 方程式では「プラスの場合」と「マイナスの場合」の2つを考える
- 不等式では範囲に注意する(「以上・以下」か「より大きい・小さい」か)
- 数直線を描いて視覚的に理解する
絶対値は高校数学でも頻繁に登場する重要な概念です。今のうちにしっかりマスターしておくと、後の学習がグッと楽になりますよ!
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