数学の授業で「xの変域は…」「yの変域を求めなさい」って聞かれて、混乱したことはありませんか？
変域って言葉自体、普段の生活では使わないので、なんだかピンと来ないですよね。でも、実は変域の意味は思ったよりシンプルなんです。
この記事では、変域とは何か、どうやって表すのか、どうやって求めるのかを、基礎から丁寧に説明していきます。
変域とは何か
まず、変域の基本的な意味から見ていきましょう。
変域（へんいき）とは、変数がとることのできる値の範囲のことです。
もっと簡単に言うと、「変化する範囲」を指すんですね。
変数と変域の関係
変域を理解するには、まず変数について知っておく必要があります。
変数（へんすう）とは、いろいろな値を取ることができる文字のこと。数学では、xやyがよく使われますよね。
たとえば、y = 2xという式があったとき、xに1を入れればy = 2、xに3を入れればy = 6になります。このように値が変わる文字が変数なんです。
そして、この変数が「どの範囲で変化するか」を表したものが変域というわけです。
日常生活での変域の例
自動販売機で考えてみましょう。
100円玉だけを受け付ける自動販売機があるとします。1枚から5枚まで入れられるとすると、入れられるお金（x円）の範囲は：
100 ≦ x ≦ 500
これがxの変域です。「100円以上、500円以下」という範囲を表しているんですね。
変域の表し方
変域は、不等号を使って表します。
不等号の種類と意味
変域を表すには、4種類の不等号を使います。
＜（より小さい）
「x ＜ 5」は「xは5より小さい」という意味。5は含みません。
＞（より大きい）
「x ＞ 3」は「xは3より大きい」という意味。3は含みません。
≦（以下）
「x ≦ 5」は「xは5以下」という意味。5を含みます。
≧（以上）
「x ≧ 3」は「xは3以上」という意味。3を含みます。
「より」と「以」の違い
ここが大切なポイントです。
「より大きい」「より小さい」は、その数を含みません。だから不等号は「＜」「＞」を使います。
「以上」「以下」は、その数を含みます。だから不等号は「≦」「≧」を使うんですね。
たとえば：
- 「3より大きい」→ 3.1、4、5などはOK。でも3はダメ
- 「3以上」→ 3、4、5などがすべてOK
範囲で表す変域
変域は、2つの不等号を組み合わせて範囲として表すこともできます。
「xは2より大きく5より小さい」
→ 2 ＜ x ＜ 5
「xは1以上3以下」
→ 1 ≦ x ≦ 3
「xは-2以上4未満」
→ -2 ≦ x ＜ 4
「未満」は「より小さい」と同じ意味なので、イコールの付かない「＜」を使います。
不等号の向きに注意
変域を書くとき、数は小さい順に並べます。
正しい書き方： 2 ＜ x ＜ 5
間違った書き方： 5 ＜ x ＜ 2
5 ＜ x ＜ 2と書くと、「5より大きく2より小さい」という矛盾した意味になってしまいます。これは絶対に避けてくださいね。
一次関数における変域
変域は、特に関数を学ぶときに重要になります。
xの変域とyの変域
関数では、xの変域とyの変域を考えます。
xの変域は、xが取ることのできる値の範囲。
yの変域は、yが取ることのできる値の範囲です。
一次関数 y = 2x – 1 で、xの変域が -1 ≦ x ≦ 3 のとき、yの変域を求める問題がよく出題されます。
yの変域の求め方
yの変域を求めるには、xの変域の両端の値を式に代入します。
例題
y = 2x – 1 で、xの変域が -1 ≦ x ≦ 3 のとき、yの変域を求めなさい。
解き方：
まず、x = -1 のときのyを求めます。
y = 2 × (-1) – 1 = -3
次に、x = 3 のときのyを求めます。
y = 2 × 3 – 1 = 5
xが-1から3まで変化すると、yは-3から5まで変化します。
したがって、yの変域は -3 ≦ y ≦ 5 となります。
傾きがマイナスの場合の注意点
一次関数の傾き（xの係数）がマイナスのときは、注意が必要です。
例題
y = -3x + 7 で、xの変域が -2 ≦ x ≦ 1 のとき、yの変域を求めなさい。
解き方：
x = -2 のとき
y = -3 × (-2) + 7 = 13
x = 1 のとき
y = -3 × 1 + 7 = 4
ここで気をつけて！傾きがマイナスなので、xが大きくなるとyは小さくなります。
つまり、yの変域は 4 ≦ y ≦ 13 となります。
間違えて「13 ≦ y ≦ 4」と書かないように注意してくださいね。
グラフと変域の関係
変域は、グラフで視覚的に表すこともできます。
グラフ上での変域の見方
関数のグラフを描くとき、変域があると直線の長さが制限されます。
xの変域が -1 ≦ x ≦ 3 なら、グラフはx = -1からx = 3までの部分だけを描きます。グラフ用紙の端まで直線を引かないように注意が必要です。
横の範囲がxの変域
縦の範囲がyの変域
と考えると分かりやすいですよ。
数直線での変域の表し方
変域は数直線上に表すこともできます。
2 ≦ x ≦ 5 の場合：
数直線上の2と5に●（黒丸）を付けて、その間を線で結びます。黒丸は「その数を含む」という意味です。
2 ＜ x ＜ 5 の場合：
数直線上の2と5に○（白丸）を付けて、その間を線で結びます。白丸は「その数を含まない」という意味なんです。
x ＞ 3 のように終わりがない場合：
3に○を付けて、右側に矢印を伸ばします。終わりがないことを表すため、線を途中で止めないように気をつけてください。
変域を求める問題のコツ
変域の問題を解くときのポイントをまとめます。
コツ1：対応表を作る
変域を求めるとき、対応表を作ると間違いが減ります。
xの変域の両端の値を表の上に書いて、それぞれに対応するyの値を下に書く方法です。
x | -1 | … | 3
--------------
y | -3 | … | 5こうすれば、yの変域が一目で分かりますね。
コツ2：グラフを描く
理想的には、グラフを描くのが最も確実な方法です。
グラフを見れば、yがどの範囲で変化するか視覚的に理解できます。特に複雑な関数の場合、グラフは強い味方になってくれますよ。
コツ3：傾きの正負を確認する
一次関数では、傾きが正か負かで、yの変域の大小が変わります。
傾きが正（プラス）→ xが大きくなるとyも大きくなる
傾きが負（マイナス）→ xが大きくなるとyは小さくなる
この点を忘れないようにしましょう。
コツ4：不等号の向きを確認する
答えを書くとき、必ず小さい数が左、大きい数が右になるように書きます。
「13 ≦ y ≦ 4」のように大小関係が逆になっていないか、最後にもう一度確認してくださいね。
変域に関する応用問題
変域の理解が深まってきたら、応用問題にもチャレンジしてみましょう。
実生活の問題
水槽の問題
50リットル入る水槽に、毎分2リットルずつ水を入れます。x分間水を入れたときの水の量をyリットルとすると、xとyの変域は？
考え方：
水の量は、最小0リットル（空っぽ）、最大50リットル（満タン）です。
だから、yの変域は 0 ≦ y ≦ 50
時間は、最小0分、最大は50÷2 = 25分です。
だから、xの変域は 0 ≦ x ≦ 25
変域から式を求める問題
変域が与えられて、関数の式を求める問題もあります。
y = ax + b で、xの変域が -1 ≦ x ≦ 2、yの変域が -4 ≦ y ≦ 5 のとき、aとbの値を求める問題などですね。
こういう問題は、グラフを描いて端点の座標を考えると解きやすくなります。
まとめ
変域とは、変数が取ることのできる値の範囲のことです。
「変化する範囲」と覚えておけば、意味がつかみやすいでしょう。変域は不等号を使って表し、「＜」「＞」はその数を含まず、「≦」「≧」はその数を含みます。
一次関数でyの変域を求めるときは、xの変域の両端の値を式に代入して計算します。傾きがマイナスの場合、yの大小が逆になることに注意が必要ですね。
変域を表すときは、必ず小さい数が左、大きい数が右になるように書きましょう。「13 ≦ y ≦ 4」のような矛盾した書き方は避けてください。
グラフや数直線、対応表を使うと、変域を視覚的に理解しやすくなります。特にグラフを描く方法は、複雑な問題でも確実に変域を求められる強力な方法です。
変域の概念は、関数を理解する上で非常に重要。しっかりマスターして、数学の力をさらに伸ばしていきましょう！
コメント