数学のテストや宿題で「あれ、この図形の面積ってどうやって求めるんだっけ?」と困った経験はありませんか?
図形の公式は数が多くて覚えるのが大変ですよね。でも、実は基本的なパターンを理解すれば、スッと頭に入ってくるんです。
この記事では、中学生から高校生まで使える図形の公式を、平面図形と立体図形に分けて分かりやすく紹介します。テスト前の復習や、宿題の確認にぜひ活用してください!
平面図形の公式【2次元の世界】
平面図形とは、紙の上に描けるような平べったい図形のこと。まずは基本的な図形から見ていきましょう。
三角形
三角形は3つの辺と3つの角で囲まれた図形です。
面積の公式
面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2記号で書くと:
- S = (a × h) ÷ 2
- S:面積、a:底辺、h:高さ
周の長さ(周囲)の公式
周の長さ = 辺a + 辺b + 辺c三角形の面積を求めるときは、どの辺を底辺にしてもOK。ただし、その底辺に対して垂直な高さを使う必要があります。
正方形
すべての辺の長さが等しく、すべての角が90度の四角形です。
面積の公式
面積 = 1辺 × 1辺記号で書くと:
- S = a²
- S:面積、a:1辺の長さ
周の長さの公式
周の長さ = 1辺 × 4記号で書くと:
- L = 4a
- L:周の長さ、a:1辺の長さ
長方形
向かい合う辺の長さが等しく、すべての角が90度の四角形です。
面積の公式
面積 = 縦 × 横記号で書くと:
- S = a × b
- S:面積、a:縦の長さ、b:横の長さ
周の長さの公式
周の長さ = (縦 + 横) × 2記号で書くと:
- L = 2(a + b)
平行四辺形
向かい合う辺が平行で長さが等しい四角形です。
面積の公式
面積 = 底辺 × 高さ記号で書くと:
- S = a × h
- S:面積、a:底辺、h:高さ
注意点として、高さは底辺に対して垂直な長さを測ります。斜めの辺の長さではありません。
台形
1組の向かい合う辺が平行な四角形です。
面積の公式
面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2記号で書くと:
- S = (a + b) × h ÷ 2
- S:面積、a:上底、b:下底、h:高さ
台形の公式は「平行な2辺の平均の長さ × 高さ」と考えると覚えやすいですよ。
ひし形
4つの辺の長さがすべて等しい四角形です。
面積の公式
面積 = 対角線1 × 対角線2 ÷ 2記号で書くと:
- S = (d₁ × d₂) ÷ 2
- S:面積、d₁:対角線1、d₂:対角線2
ひし形は2本の対角線が垂直に交わるという特徴があります。
円
すべての点が中心から等しい距離にある図形です。
円周(周の長さ)の公式
円周 = 直径 × 円周率
または
円周 = 半径 × 2 × 円周率記号で書くと:
- C = πd または C = 2πr
- C:円周、π:円周率(約3.14)、d:直径、r:半径
面積の公式
面積 = 半径 × 半径 × 円周率記号で書くと:
- S = πr²
- S:面積、r:半径、π:円周率
おうぎ形の面積
面積 = 半径 × 半径 × 円周率 × 中心角 ÷ 360記号で書くと:
- S = πr² × (a/360)
- a:中心角(度)
正多角形
すべての辺の長さと角度が等しい図形です。
周の長さの公式
周の長さ = 1辺の長さ × 辺の数面積の公式(一般式)
面積 = 周の長さ × 内接円の半径 ÷ 2正六角形や正八角形など、辺の数が増えると面積の求め方は複雑になります。
立体図形の公式【3次元の世界】
立体図形は縦・横・高さの3つの方向がある図形のこと。実際に手に取れる物体の形です。
直方体
すべての面が長方形でできている立体です。
体積の公式
体積 = 縦 × 横 × 高さ記号で書くと:
- V = a × b × h
- V:体積、a:縦、b:横、h:高さ
表面積の公式
表面積 = 2(ab + bh + ha)直方体の表面積は、6つの長方形の面積を合計したものです。
立方体(正六面体)
すべての辺の長さが等しく、すべての面が正方形の立体です。
体積の公式
体積 = 1辺 × 1辺 × 1辺記号で書くと:
- V = a³
- V:体積、a:1辺の長さ
表面積の公式
表面積 = 1辺 × 1辺 × 6記号で書くと:
- S = 6a²
円柱
底面が円で、上下の円が平行な立体です。
体積の公式
体積 = 底面積 × 高さ
= 半径 × 半径 × 円周率 × 高さ記号で書くと:
- V = πr²h
- V:体積、r:底面の半径、h:高さ
表面積の公式
表面積 = 底面積 × 2 + 側面積
= 2πr² + 2πrh側面積は「底面の円周 × 高さ」で求められます。
円錐
底面が円で、頂点に向かって細くなる立体です。
体積の公式
体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3
= 半径 × 半径 × 円周率 × 高さ ÷ 3記号で書くと:
- V = πr²h ÷ 3
- V:体積、r:底面の半径、h:高さ
円錐の体積は、同じ底面積と高さの円柱の3分の1になります。
表面積の公式
表面積 = 底面積 + 側面積
= πr² + πrll:母線(頂点から底面の円周までの長さ)
球
すべての点が中心から等しい距離にある立体です。
体積の公式
体積 = 4 × 円周率 × 半径³ ÷ 3記号で書くと:
- V = 4πr³ ÷ 3
- V:体積、r:半径
表面積の公式
表面積 = 4 × 円周率 × 半径²記号で書くと:
- S = 4πr²
球の表面積は、同じ半径の円の面積の4倍になります。
角錐
底面が多角形で、頂点に向かって細くなる立体です。
体積の公式
体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3記号で書くと:
- V = Sh ÷ 3
- V:体積、S:底面積、h:高さ
三角錐、四角錐、五角錐など、底面の形に関わらず同じ公式が使えます。
角柱
底面が多角形で、上下の底面が平行な立体です。
体積の公式
体積 = 底面積 × 高さ記号で書くと:
- V = Sh
- V:体積、S:底面積、h:高さ
三角柱、四角柱、五角柱など、底面の形によって名前が変わります。
公式を覚えるコツ
基本パターンを理解する
すべての公式を丸暗記する必要はありません。いくつかの基本パターンを押さえましょう。
平面図形の面積
- 四角形系:「底辺 × 高さ」が基本
- 三角形:四角形の半分だから「÷ 2」
- 円:「半径²」に円周率をかける
立体図形の体積
- 柱系:「底面積 × 高さ」
- 錐系:柱系の3分の1だから「÷ 3」
- 球:特殊な公式
図を描いて理解する
公式を見るだけでなく、実際に図を描いて各部分の名前を確認しましょう。「底辺はどこ?」「高さはどこ?」と自分で図示できると、公式が使いやすくなります。
単位に注意する
面積の単位は「㎠(平方センチメートル)」や「m²(平方メートル)」、体積は「㎤(立方センチメートル)」や「m³(立方メートル)」です。計算するときは単位を揃えることを忘れずに。
まとめ
図形の公式は数が多いように見えますが、基本的なパターンを理解すれば覚えやすくなります。
この記事のポイント
- 平面図形は「底辺×高さ」系と「半径²×円周率」系の2パターンが基本
- 三角形や台形は「÷ 2」が入ることを忘れずに
- 立体図形は「柱は底面積×高さ」「錐はその3分の1」
- 円や球の公式には必ず円周率πが登場する
- 公式を覚えるより、図を描いて理解することが大切
これらの公式をしっかり身につければ、テストや入試でも自信を持って問題に取り組めます。最初は公式表を見ながらでOKなので、たくさん問題を解いて慣れていきましょう!
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