数学の「連続」とは？関数が途切れない性質を分かりやすく解説

数学で「この関数は連続である」「ここで不連続になる」といった表現を聞いたことはありませんか？

「連続」という言葉は日常でもよく使いますが、数学では非常に厳密で重要な意味を持つ概念なんです。簡単に言えば、「グラフが途切れずにつながっている」ということですが、実はもっと深い意味があります。

この記事では、連続性の直感的な理解から数学的に厳密な定義まで、具体例をたっぷり使いながら丁寧に解説していきます。

難しそうに聞こえるかもしれませんが、身近な例で考えれば、とても自然な概念だと分かってもらえるはずですよ。

それでは、まず「連続」の直感的なイメージから見ていきましょう！

連続の直感的なイメージ：鉛筆を離さずに描ける

連続（れんぞく） という概念を理解する最も簡単な方法は、グラフを描くときのイメージです。英語では “continuous” といいます。

鉛筆を離さずに描けるかどうか

関数のグラフが連続であるとは、鉛筆を紙から離さずに一筆書きで描ける ということです。

説明：
グラフに穴や飛び、切れ目がなく、スムーズにつながっている状態を「連続」といいます。逆に、どこかで途切れていたり、ジャンプしていたりする場合は「不連続」です。

連続な関数の例

実例1：y = x

これは原点を通る直線です。どこにも切れ目や飛びがなく、ずっとつながっています。完全に連続な関数です。

実例2：y = x²

放物線のグラフです。これもどこにも途切れがなく、滑らかにつながっています。連続な関数ですね。

実例3：y = sin x

サインのグラフは波のように上下しますが、どこにも切れ目はありません。これも連続な関数です。

不連続な関数の例

実例1：階段関数

郵便料金のグラフを考えてみましょう。重さが50gまでは84円、50gを超えると94円のように、ある重さを境に急に値段がジャンプします。このような関数は不連続です。

説明：
グラフを描こうとすると、50gのところで鉛筆を離さないと描けません。これが不連続の直感的なイメージです。

実例2：y = 1/x

この関数はx = 0で定義されていません。x = 0の前後でグラフが完全に分離していて、つながっていません。x = 0では不連続です。

点における連続性：一点で連続かどうか

関数が連続かどうかは、各点ごとに考えることができます。

点x = aで連続であるための条件

関数f(x)が点x = aで 連続である とは、以下の3つの条件をすべて満たすことです。

条件1：f(a)が定義されている

説明：
その点での関数の値が存在していなければなりません。

実例：
y = 1/xの場合、x = 0では値が定義されていないので、連続ではありません。

条件2：極限値 lim(x→a) f(x) が存在する

説明：
xがaに近づくとき、f(x)がある値に近づいていく必要があります。この値を 極限値（きょくげんち） といいます。

実例：
y = xの場合、xが3に近づくとき、yも3に近づきます。極限値が存在します。

条件3：lim(x→a) f(x) = f(a)

説明：
極限値と、その点での実際の関数の値が一致している必要があります。これが最も重要な条件です。

実例：
階段関数では、50gに近づくときの極限値（84円）と、50gでの実際の値（94円）が違います。だから不連続なのです。

簡単に言うと

「近くから見た値」と「その点での実際の値」が一致していれば連続、ということですね。

極限を使った厳密な定義

高校数学や大学数学では、極限（きょくげん） という概念を使って連続性を厳密に定義します。

極限とは何か

極限 とは、「限りなく近づいていく」という概念です。英語では “limit” といいます。

説明：
xがaに限りなく近づくとき、f(x)がある値Lに限りなく近づくなら、「xがaに近づくときのf(x)の極限はL」といい、記号で次のように書きます。

lim(x→a) f(x) = L

（「リミット、xがaに近づくときのf(x)はL」と読みます）

極限を使った連続の定義

関数f(x)が点x = aで連続であるとは：

lim(x→a) f(x) = f(a)

説明：
「xがaに近づくときのf(x)の極限値」が「x = aでの関数の値」と等しいということです。

具体例で理解しよう

実例1：y = 2x + 1がx = 3で連続であることを確認

• f(3) = 2×3 + 1 = 7
• lim(x→3) (2x + 1) = 2×3 + 1 = 7
• f(3) = lim(x→3) f(x) なので、x = 3で連続

実例2：不連続な例

次のような関数を考えます：

• f(x) = x (x ≠ 2のとき)
• f(2) = 5

この場合：

• f(2) = 5
• lim(x→2) f(x) = 2
• f(2) ≠ lim(x→2) f(x) なので、x = 2で不連続

連続の種類：左側・右側からの連続

連続性には、より細かい分類があります。

右側連続と左側連続

関数が点aで連続かどうかを、右側から近づく場合 と 左側から近づく場合 に分けて考えることができます。

右側連続（みぎがわれんぞく）：
xがaより大きい値からaに近づくとき連続である状態です。

記号：lim(x→a+) f(x) = f(a)

（x→a+は「xがaに右側（大きい側）から近づく」という意味）

左側連続（ひだりがわれんぞく）：
xがaより小さい値からaに近づくとき連続である状態です。

記号：lim(x→a-) f(x) = f(a)

（x→a-は「xがaに左側（小さい側）から近づく」という意味）

連続であるための条件

関数がx = aで連続であるためには、右側連続かつ左側連続 である必要があります。

つまり：lim(x→a+) f(x) = lim(x→a-) f(x) = f(a)

階段関数の例

郵便料金の階段関数を考えます。

x = 50で：

• 左側から近づく極限（50g未満）：84円
• 右側から近づく極限（50g超）：94円
• 実際の値 f(50)：94円

左側の極限と実際の値が一致しないので、x = 50では不連続です。

区間での連続性：範囲全体で途切れない

点での連続性が理解できたら、次は 区間での連続性 です。

区間で連続であるとは

関数f(x)が区間Iで連続であるとは、その区間に含まれるすべての点で連続である ということです。

実例：

• y = x² は実数全体（-∞ < x < ∞）で連続
• y = 1/x は x ≠ 0 の範囲で連続（x = 0は定義されていないので除く）

閉区間での連続性

閉区間 [a, b] で連続 とは：

• 区間内のすべての点で連続
• x = a では右側連続
• x = b では左側連続

説明：
端点では片側からしか近づけないので、片側連続であればOKです。

不連続の種類：どのように途切れるか

連続でない場合（不連続）にも、いくつかのタイプがあります。

除去可能な不連続（じょきょかのうなふれんぞく）

関数の定義を変えれば連続にできる不連続です。

実例：

f(x) = (x² - 4)/(x - 2) (x ≠ 2)
f(2) = 5

この関数は：

• lim(x→2) (x² – 4)/(x – 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4
• f(2) = 5
• 極限値と実際の値が違うので不連続

でも、f(2)を4に定義し直せば連続になります。これを 除去可能な不連続 といいます。

跳躍不連続（ちょうやくふれんぞく）

左側の極限と右側の極限が異なる不連続です。

実例：
階段関数がこのタイプです。左右から近づく値が違うため、「ジャンプ」が発生します。

説明：
このタイプの不連続は、定義を変えても取り除けません。

無限不連続（むげんふれんぞく）

極限値が無限大になる不連続です。

実例：

• y = 1/x の x = 0 での不連続
• xが0に近づくと、yは限りなく大きく（または小さく）なります
• グラフが垂直な線（漸近線）に近づいていきます

振動不連続（しんどうふれんぞく）

極限値が定まらず、振動し続ける不連続です。

実例：

• y = sin(1/x) の x = 0 での不連続
• xが0に近づくと、関数が激しく振動して極限値が定まりません

連続関数の重要な性質

連続な関数には、いくつかの重要な性質があります。

中間値の定理（ちゅうかんちのていり）

定理：
関数f(x)が閉区間[a, b]で連続で、f(a) ≠ f(b)のとき、f(a)とf(b)の間のどんな値kに対しても、f(c) = kとなるcが[a, b]の中に存在する。

説明：
グラフが途切れずにつながっているなら、始点と終点の間のすべての高さを必ず通過する、ということです。

実例：
気温を考えてみましょう。午前0時が10℃で、正午が25℃だったとします。気温は連続的に変化するので、その間に必ず20℃になる時刻が存在します。

最大値・最小値の定理

定理：
関数f(x)が閉区間[a, b]で連続ならば、その区間で最大値と最小値を持つ。

説明：
連続な関数を有限の閉区間で見れば、必ず一番高い点と一番低い点が存在するということです。

実例：
y = x² を区間[-2, 3]で考えると：

• 最小値：f(0) = 0
• 最大値：f(3) = 9
  これらは必ず存在します。

連続関数の四則演算

定理：
f(x)とg(x)がともに連続ならば、次の関数も連続：

• f(x) + g(x)（和）
• f(x) – g(x)（差）
• f(x) × g(x)（積）
• f(x) / g(x)（商、ただしg(x) ≠ 0）

説明：
連続な関数同士を足したり掛けたりしても、結果は連続になります。

合成関数の連続性

定理：
g(x)がx = aで連続で、f(u)がu = g(a)で連続ならば、合成関数f(g(x))はx = aで連続。

説明：
連続な関数の中に連続な関数を入れても、結果は連続です。

実例：

• g(x) = x² は連続
• f(u) = sin u は連続
• よって f(g(x)) = sin(x²) も連続

微分可能と連続の関係

微分可能（びぶんかのう） と連続性には密接な関係があります。

微分可能ならば連続

定理：
関数f(x)がx = aで微分可能ならば、f(x)はx = aで連続である。

説明：
微分可能（滑らかで接線が引ける）という条件は、連続（つながっている）という条件より強いのです。

実例：

• y = x² は微分可能なので、当然連続です
• 接線が引けるなら、グラフは必ずつながっています

連続でも微分可能とは限らない

逆は成り立ちません。連続だけど微分可能でない関数もあります。

実例：y = |x|（絶対値関数）

この関数は：

• すべての点で連続（グラフは途切れていない）
• x = 0では微分不可能（尖っているので接線が引けない）

説明：
「つながっている」けど「滑らかでない」点が存在するのです。

一様連続：連続性の強いバージョン

大学数学では、一様連続（いちようれんぞく） という概念も登場します。

一様連続とは

一様連続 とは、連続性が区間全体で「均等に」成り立つという強い条件です。英語では “uniformly continuous” といいます。

説明：
普通の連続性は各点ごとに成り立てばよいのですが、一様連続は区間全体で同じ基準で連続性が保証されます。

普通の連続との違い

実例：y = 1/x を区間(0, 1]で考える

この関数は：

• (0, 1]のすべての点で連続
• しかし一様連続ではない

理由：
x = 0に近づくほど、関数の変化が激しくなります。区間全体で「均等に」連続とは言えないのです。

実生活での連続性の応用

連続性の概念は、数学だけでなく実生活でも重要です。

物理量の連続性

温度、圧力、速度 などの物理量は、通常連続的に変化します。

実例：

• 気温は急に10℃から30℃にジャンプしません
• 車の速度も連続的に変化します（瞬間移動はできません）

説明：
物理法則の多くは、量が連続的に変化することを前提にしています。

デジタルとアナログ

アナログ信号： 連続的な値を取る信号
デジタル信号： 離散的な値を取る信号（不連続）

実例：

• アナログ時計の秒針：連続的に動く
• デジタル時計の表示：1秒ごとに飛ぶ（不連続）

経済学での応用

価格、需要、供給などを連続関数として扱うことで、微分などの数学的手法が使えるようになります。

実例：
需要関数が連続であれば、価格をわずかに変えたときの需要の変化（弾力性）を計算できます。

コンピュータグラフィックス

滑らかな曲線や曲面を描くには、連続関数が必要です。

実例：

• ベジェ曲線は連続な曲線
• 3Dモデルの表面も連続的に滑らか

説明：
不連続な点があると、画像に「カクカク」した部分ができてしまいます。

連続性の確認方法

実際に関数が連続かどうかを確認する方法を見ていきましょう。

ステップ1：定義域を確認

まず、関数がどこで定義されているか確認します。

実例：

• y = √x は x ≥ 0 でのみ定義
• y = 1/x は x ≠ 0 でのみ定義

ステップ2：基本的な連続関数を識別

以下の関数は、定義域全体で連続です：

• 多項式関数（x²、x³ + 2x – 1など）
• 三角関数（sin x、cos xなど）
• 指数関数（eˣなど）
• 対数関数（ln x、定義域内で）

ステップ3：四則演算や合成を確認

連続な関数同士の四則演算や合成は連続なので、複雑な関数も連続性を判断できます。

実例：

• f(x) = sin(x²) + eˣ
• sin(x²)は連続な関数の合成で連続
• eˣは連続
• よって和も連続

ステップ4：不連続の可能性がある点を調べる

次のような点では不連続の可能性があります：

• 分母が0になる点
• 関数の定義が変わる点（場合分けがある関数）
• 絶対値記号の中身が0になる点

ε-δ論法：連続性の厳密な定義

大学数学では、ε-δ論法（イプシロン・デルタろんぽう） という非常に厳密な方法で連続性を定義します。

ε-δ論法とは

関数f(x)が点x = aで連続であるとは：

任意のε > 0に対して、あるδ > 0が存在して、|x – a| < δ ならば |f(x) – f(a)| < ε

説明：

• εは「どれくらい近ければよいか」の許容誤差
• δは「xをどれくらいaに近づければよいか」の範囲

どんなに小さなε（許容誤差）を要求されても、適切なδを選べば、xをaから離れてδ以内に抑えればf(x)がf(a)からε以内に収まる、ということです。

直感的な理解

「どれだけ近い値が欲しいか」を決めたら、「そのためにはどれだけxをaに近づければよいか」が決まる、という意味です。

これが数学的に厳密な連続の定義ですが、高校数学では極限を使った定義で十分です。

まとめ：連続性は数学の基本概念

連続性は、数学のあらゆる分野で重要な役割を果たす基本的な概念です。

連続の基本的な理解：

• グラフが途切れずにつながっている状態
• 鉛筆を離さずに一筆書きできる
• 近くから見た値と実際の値が一致している

点での連続の条件：

• f(a)が定義されている
• 極限値 lim(x→a) f(x) が存在する
• lim(x→a) f(x) = f(a)

連続性の種類：

• 点での連続性と区間での連続性
• 左側連続と右側連続
• 一様連続（より強い条件）

不連続の種類：

• 除去可能な不連続
• 跳躍不連続
• 無限不連続
• 振動不連続

連続関数の重要な性質：

• 中間値の定理
• 最大値・最小値の定理
• 四則演算で連続性が保たれる
• 合成関数の連続性

微分可能との関係：

• 微分可能ならば連続
• 連続でも微分可能とは限らない

実生活での応用：

• 物理量は通常連続的に変化
• アナログとデジタルの違い
• 経済学やコンピュータグラフィックスで活用

理解のコツ：

• まず直感的なイメージを持つ
• 具体的な関数のグラフで確認
• 基本的な連続関数を押さえる
• 不連続な例も見て違いを理解

連続性の概念をしっかり理解すると、微分積分や高度な数学の理解がグッと深まります。

まずは「グラフが途切れない」という直感から始めて、徐々に厳密な理解へと進んでいってくださいね！