「部分集合って何？」「真部分集合とどう違うの？」
集合論を学ぶとき、必ず出てくるのが「部分集合」という概念です。
この記事では、部分集合の基本的な意味から、真部分集合との違い、記号の使い方、部分集合の個数の求め方まで、具体例を豊富に使って分かりやすく解説していきます。
記号の流儀が複数あって混乱しやすい部分もありますが、一つ一つ丁寧に見ていきましょう。
部分集合とは何か
部分集合（ぶぶんしゅうごう）とは、ある集合の要素が、別の集合の要素にすべて含まれているとき、その関係を表す概念です。
英語では「subset（サブセット）」と言います。
基本的な定義
集合Aのすべての要素が集合Bの要素でもあるとき、「AはBの部分集合である」と言います。
記号では A ⊆ B と表します（読み方：「AはBに含まれる」）。
簡単な例で理解しよう
例1：
- 集合A = {1, 2}
- 集合B = {1, 2, 3, 4}
Aのすべての要素（1と2）は、Bにも含まれています。
だから、AはBの部分集合です。
例2：
- 集合C = {犬、猫}
- 集合D = {犬、猫、うさぎ、ハムスター}
Cのすべての要素は、Dにも含まれています。
だから、CはDの部分集合です。
部分集合の条件
AがBの部分集合であるための条件は：
「Aの要素xのどれを取っても、必ずBの要素である」
言い換えると：
- Aに入っている要素は、全部Bにも入っている
- Bに入っているけどAには入っていない要素があっても良い
部分集合の記号と読み方
部分集合を表す記号にはいくつかの流儀があるので、注意が必要です。
基本的な記号
A ⊆ B
- 読み方：「AはBの部分集合である」「AはBに含まれる」
- 意味：Aのすべての要素がBに含まれる
B ⊇ A
- 読み方：「BはAを含む」「BはAの上位集合である」
- 意味：A ⊆ B と同じ（向きが逆）
記号の注意点
教科書や参考書によって、記号の使い方が異なることがあります。
流儀1：
- 部分集合：A ⊆ B
- 真部分集合：A ⊂ B
流儀2：
- 部分集合：A ⊂ B
- 真部分集合：A ⊊ B（または A ⊂ B かつ A ≠ B）
この記事では主に流儀1を使いますが、どちらの流儀も存在することを覚えておいてください。
真部分集合とは
真部分集合（しんぶぶんしゅうごう）とは、部分集合であって、元の集合とは一致しないもののことです。
英語では「proper subset（プロパーサブセット）」と言います。
真部分集合の定義
集合AがBの部分集合であり、かつA ≠ B（AとBが等しくない）とき、
「AはBの真部分集合である」と言います。
記号では A ⊂ B（または A ⊊ B）と表します。
部分集合と真部分集合の違い
部分集合：
- AのすべてがBに含まれる
- A = B でもOK（同じ集合でもOK）
真部分集合：
- AのすべてがBに含まれる
- A ≠ B でなければならない（Bには、Aにない要素が少なくとも1つある）
例で比較
集合B = {1, 2, 3} に対して：
Bの部分集合：
- { }（空集合）
- {1}
- {2}
- {3}
- {1, 2}
- {1, 3}
- {2, 3}
- {1, 2, 3} ← これも部分集合
Bの真部分集合：
- { }（空集合）
- {1}
- {2}
- {3}
- {1, 2}
- {1, 3}
- {2, 3}
- {1, 2, 3} ← これは真部分集合ではない
つまり、集合自身は部分集合だが、真部分集合ではないのです。
部分集合の具体例
実際の例で理解を深めましょう。
例1：数の集合
自然数と整数：
- N = {1, 2, 3, 4, 5, …}（自然数）
- Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}（整数）
自然数はすべて整数なので、N ⊆ Z（自然数は整数の部分集合）
しかし、整数には0や負の数があるので、N ≠ Z
よって、N ⊂ Z（自然数は整数の真部分集合）
例2：偶数と整数
偶数の集合：
- E = {2, 4, 6, 8, 10, …}（偶数）
- Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}（整数）
偶数はすべて整数なので、E ⊆ Z
しかし、整数には奇数もあるので、E ≠ Z
よって、E ⊂ Z（偶数は整数の真部分集合）
例3：地域の包含関係
- A = {東京都}
- B = {関東地方の都県}
- C = {日本の都道府県}
このとき：
- A ⊂ B（東京都は関東地方の都県の真部分集合）
- B ⊂ C（関東地方の都県は日本の都道府県の真部分集合）
- A ⊂ C（東京都は日本の都道府県の真部分集合）
このように、部分集合の関係は連鎖します。
空集合と部分集合
空集合（くうしゅうごう）は、すべての集合の部分集合です。
空集合とは
空集合とは、要素を1つも持たない集合のことです。
記号では ∅ または { } と表します。
空集合は常に部分集合
重要な性質：空集合は、どんな集合Aに対しても、Aの部分集合である
つまり：
- ∅ ⊆ A（どんなAに対しても成り立つ）
例：
- 集合B = {1, 2, 3} に対して、∅ ⊆ B
- 集合C = {犬、猫} に対して、∅ ⊆ C
- 集合D = {赤、青、黄} に対して、∅ ⊆ D
なぜ空集合はすべての集合の部分集合なのか
部分集合の定義を思い出しましょう：
「Aのすべての要素がBに含まれる」
空集合には要素が1つもありません。
だから、「空集合のすべての要素がBに含まれる」は、何もチェックすることがなく、自動的に真になります。
空集合と真部分集合
空集合∅は：
- 空集合以外のすべての集合の真部分集合です
- 空集合自身の真部分集合ではありません（∅ = ∅なので）
集合自身と部分集合
どんな集合Aも、自分自身の部分集合です。
集合自身は部分集合
重要な性質：A ⊆ A（どんな集合Aも自分自身の部分集合）
なぜなら、「Aのすべての要素がAに含まれる」は明らかに真だからです。
例：
- {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
- {犬、猫} ⊆ {犬、猫}
- ∅ ⊆ ∅
集合自身は真部分集合ではない
しかし、集合自身は真部分集合ではありません。
真部分集合の定義は「部分集合であって、等しくない」だからです。
例：
- {1, 2, 3}は{1, 2, 3}の部分集合 ○
- {1, 2, 3}は{1, 2, 3}の真部分集合 ✕
部分集合の個数
n個の要素を持つ集合の部分集合は、全部で何個あるでしょうか？
部分集合の個数の公式
n個の要素を持つ集合Aの部分集合の個数は 2^n 個
なぜ2^nになるのか
各要素について、「部分集合に入れる」か「入れない」かの2通りの選択があります。
n個の要素それぞれに2通りの選択があるので：
2 × 2 × 2 × … × 2（n回）= 2^n
例：3個の要素を持つ集合
集合A = {a, b, c} の部分集合をすべて書き出すと：
- { }（何も選ばない）
- {a}（aだけ選ぶ）
- {b}（bだけ選ぶ）
- {c}（cだけ選ぶ）
- {a, b}（aとbを選ぶ）
- {a, c}（aとcを選ぶ）
- {b, c}（bとcを選ぶ）
- {a, b, c}（すべて選ぶ）
全部で8個 = 2^3
真部分集合の個数の公式
n個の要素を持つ集合Aの真部分集合の個数は 2^n – 1 個
部分集合から、集合自身（A自身）を除くので、2^n – 1 になります。
例：真部分集合の個数
集合A = {a, b, c} の真部分集合は：
{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}
全部で7個 = 2^3 – 1
（{a, b, c}は除外される）
部分集合の判定方法
2つの集合が与えられたとき、部分集合かどうかをどう判定すればいいでしょうか？
判定の手順
AがBの部分集合かどうかを判定する：
- Aの要素を1つずつチェックする
- その要素がBに含まれているか確認する
- すべての要素がBに含まれていれば、A ⊆ B
- 1つでもBに含まれない要素があれば、A ⊆ B ではない
例題1：部分集合の判定
次のうち、AがBの部分集合であるものを選べ。
(1) A = {1, 3}, B = {1, 2, 3, 4}
(2) A = {2, 5}, B = {1, 2, 3, 4}
(3) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}
解答：
(1) 1∈B、3∈B なので、A ⊆ B ○
(2) 2∈B だが、5∉B なので、A ⊆ B ✕
(3) すべての要素が共通なので、A ⊆ B ○（A = B でもある）
例題2：真部分集合の判定
次のうち、AがBの真部分集合であるものを選べ。
(1) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
(2) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}
(3) A = { }, B = {1, 2}
解答：
(1) A ⊆ B であり、かつ A ≠ B（Bには3がある）なので、A ⊂ B ○
(2) A = B なので、真部分集合ではない ✕
(3) A ⊆ B であり、かつ A ≠ B なので、A ⊂ B ○
ベン図で理解する部分集合
ベン図を使うと、部分集合の関係が視覚的に分かりやすくなります。
ベン図とは
ベン図とは、集合を円や楕円で表し、集合間の関係を図示したものです。
部分集合のベン図
A ⊆ B のとき：
- 集合Aを表す円が、集合Bを表す円の内側に完全に入っている
┌─────────────┐
│ B │
│ ┌─────┐ │
│ │ A │ │
│ └─────┘ │
└─────────────┘真部分集合のベン図
A ⊂ B のとき：
- Aの円がBの円の内側に入っている
- Bには、Aの外側の部分がある
┌─────────────┐
│ B │
│ ┌─────┐ │
│ │ A │ │
│ └─────┘ │
│ │
└─────────────┘部分集合でない場合
A ⊄ B のとき（AがBの部分集合でない）：
- 2つの円が重なっているが、Aが完全にBに入っていない
- または、まったく重なっていない
┌─────┐ ┌─────┐
│ A │ │ B │
└─────┘ └─────┘部分集合の性質
部分集合にはいくつかの重要な性質があります。
性質1：反射律（はんしゃりつ）
どんな集合Aも、自分自身の部分集合である
A ⊆ A
性質2：推移律（すいいりつ）
A ⊆ B かつ B ⊆ C ならば、A ⊆ C
部分集合の関係は「連鎖」します。
例：
- 偶数 ⊆ 整数
- 整数 ⊆ 有理数
- よって、偶数 ⊆ 有理数
性質3：反対称律（はんたいしょうりつ）
A ⊆ B かつ B ⊆ A ならば、A = B
2つの集合が互いに部分集合なら、それらは等しい。
これは、2つの集合が等しいことを証明するときによく使われます。
性質4：空集合の性質
∅ ⊆ A（すべての集合Aに対して）
空集合は、すべての集合の部分集合です。
部分集合の応用例
部分集合の概念は、数学のさまざまな場面で使われます。
例1：条件を満たす要素の集合
全体集合U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
条件「3の倍数」を満たす要素の集合A = {3, 6, 9}
このとき、A ⊂ U（Aはレの真部分集合）
例2：データベースの検索結果
- 全体：すべての商品
- 検索結果：条件に合う商品
検索結果は、全商品の部分集合です。
例3：プログラミングでの配列
元の配列から、条件に合うものだけを抽出した配列は、元の配列の部分集合と考えられます。
例：
元の配列 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
偶数のみ = [2, 4, 6, 8, 10] ← 部分集合よくある間違いと注意点
部分集合を学ぶとき、注意したいポイントがあります。
間違い1：要素と部分集合の混同
間違った例：
1 ⊆ {1, 2, 3}
正しい例：
1 ∈ {1, 2, 3}（1は要素）
{1} ⊆ {1, 2, 3}（{1}は部分集合）
重要：
- 要素を表すときは ∈（エレメント）
- 部分集合を表すときは ⊆（サブセット）
間違い2：空集合の扱い
間違った考え：
「空集合は部分集合ではない」
正しい理解：
空集合は、すべての集合の部分集合です。
間違い3：記号の混同
⊂ と ⊆ の使い分けは、教科書によって異なります。
必ず確認：
使っている教科書や参考書で、どちらの流儀を使っているか確認しましょう。
間違い4：集合自身を忘れる
「集合Aの部分集合をすべて書け」という問題では、A自身も含めるのを忘れないように。
例：
{1, 2}の部分集合：
{ }, {1}, {2}, {1, 2} ← {1, 2}を忘れずに
部分集合の練習問題
実際に問題を解いて、理解を深めましょう。
問題1：部分集合の個数
集合A = {a, b, c, d} の部分集合は全部で何個あるか？
解答：
要素が4個なので、2^4 = 16個
問題2：真部分集合の個数
集合B = {1, 2, 3, 4, 5} の真部分集合は全部で何個あるか？
解答：
要素が5個なので、2^5 – 1 = 32 – 1 = 31個
問題3：部分集合の列挙
集合C = {x, y} のすべての部分集合を書け。
解答：
- { }
- {x}
- {y}
- {x, y}
全部で4個（= 2^2）
問題4：部分集合の判定
次のうち正しいものを選べ。
(a) {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
(b) {1, 4} ⊆ {1, 2, 3}
(c) { } ⊆ {1, 2}
(d) {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3}
解答：
(a) ○（1も2も含まれている）
(b) ✕（4が含まれていない）
(c) ○（空集合はすべての集合の部分集合）
(d) ✕（等しいので真部分集合ではない）
問題5：真部分集合の判定
A = {2, 4, 6, 8, …}（偶数全体）
B = {1, 2, 3, 4, 5, …}（自然数全体）
AはBの真部分集合か？
解答：
すべての偶数は自然数なので、A ⊆ B
しかし、Bには奇数（1, 3, 5, …）も含まれるので、A ≠ B
よって、A ⊂ B（AはBの真部分集合）○
まとめ
部分集合は、集合論の基礎となる重要な概念です。
この記事のポイント：
- 部分集合とは、ある集合のすべての要素が別の集合に含まれている関係
- A ⊆ B は「AはBの部分集合」
- 真部分集合とは、部分集合であって元の集合と等しくないもの
- A ⊂ B（または A ⊊ B）は「AはBの真部分集合」
- 空集合∅は、すべての集合の部分集合
- どんな集合も、自分自身の部分集合
- n個の要素を持つ集合の部分集合の個数は 2^n 個
- n個の要素を持つ集合の真部分集合の個数は 2^n – 1 個
- 記号の使い方は流儀によって異なるので注意
- 要素（∈）と部分集合（⊆）を混同しない
部分集合の理解で重要なのは：
- 「すべて」の要素が含まれていること
- 集合自身も部分集合に含まれること
- 空集合が特別な部分集合であること
これらの基本をしっかり押さえることで、集合の演算（和集合、積集合、補集合など）の理解もスムーズになります。
まずは小さな集合で部分集合をすべて書き出す練習をして、徐々に抽象的な集合にも対応できるようになっていきましょう！
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