数学の授業で「微分しなさい」と言われたとき、「どの公式を使えばいいの?」と迷った経験はありませんか?
f(x) = x³を微分すると3x²、sin xを微分するとcos xといった公式は、覚えることがたくさんあって大変ですよね。
でも安心してください。微分公式には規則性があり、基本パターンを押さえれば自然に使えるようになります。この記事では、微分の基本公式から計算のコツまで、分かりやすく解説していきます!
微分とは?【基本的な意味】
微分の定義
微分とは、関数の変化の割合を求めることです。英語では「differentiation」や「derivative」といいます。
グラフで考えると、ある点での接線の傾きを求める作業が微分です。
微分の記号
関数f(x)を微分したものを表す記号はいくつかあります:
よく使う記号:
- f'(x)(エフダッシュエックス)
- dy/dx(ディーワイディーエックス)
- df/dx
すべて同じ意味で、「f(x)をxで微分したもの」を表します。
微分係数と導関数
微分係数: ある特定の点での接線の傾き
導関数: すべての点での傾きを表す関数
例えば、f(x) = x²の導関数はf'(x) = 2xです。
基本的な微分公式【これだけは覚えよう】
定数の微分
公式:
(c)' = 0c:定数(数字)
意味: 定数を微分すると0になります。
例:
(5)' = 0
(100)' = 0
(-3)' = 0定数のグラフは水平な直線で、傾きが0だからです。
xの微分
公式:
(x)' = 1意味: xを微分すると1になります。
例:
f(x) = x
f'(x) = 1y = xのグラフは傾き1の直線です。
べき乗の微分(基本中の基本)
公式:
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹n:任意の実数
覚え方: 「指数を前に出して、指数を1減らす」
例:
(x²)’ を求める
(x²)' = 2x²⁻¹ = 2x(x³)’ を求める
(x³)' = 3x³⁻¹ = 3x²(x⁴)’ を求める
(x⁴)' = 4x⁴⁻¹ = 4x³(x⁵)’ を求める
(x⁵)' = 5x⁵⁻¹ = 5x⁴定数倍の微分
公式:
(cf(x))' = cf'(x)c:定数
意味: 定数は微分の外に出せます。
例:
(3x²)’ を求める
(3x²)' = 3(x²)' = 3 × 2x = 6x(5x³)’ を求める
(5x³)' = 5(x³)' = 5 × 3x² = 15x²和・差の微分
公式:
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)意味: 足し算・引き算はそれぞれ別々に微分できます。
例:
(x³ + 2x²)’ を求める
(x³ + 2x²)' = (x³)' + (2x²)' = 3x² + 4x(5x² – 3x + 7)’ を求める
(5x² - 3x + 7)' = (5x²)' - (3x)' + (7)'
= 10x - 3 + 0
= 10x - 3特殊な関数の微分公式
平方根の微分
公式:
(√x)' = 1/(2√x)これは、√x = x^(1/2)としてべき乗の公式を使っても求められます。
導出:
(x^(1/2))' = (1/2)x^(1/2 - 1) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)分数関数の微分
公式:
(1/x)' = -1/x²これは、1/x = x⁻¹として考えます。
導出:
(x⁻¹)' = -1 × x⁻² = -1/x²一般形:
(1/xⁿ)' = -n/xⁿ⁺¹三角関数の微分公式
三角関数の微分は、パターンで覚えましょう。
基本の三角関数
sin xの微分
(sin x)' = cos xcos xの微分
(cos x)' = -sin xtan xの微分
(tan x)' = 1/cos²x = sec²x覚え方のコツ
sin xの微分はcos xになり、cos xの微分は-sin xになります。
「sin → cos → -sin → -cos → sin…」という循環を覚えると便利です。
例題
(3sin x)’ を求める
(3sin x)' = 3(sin x)' = 3cos x(sin x + cos x)’ を求める
(sin x + cos x)' = cos x - sin x指数関数の微分公式
eを底とする指数関数
公式:
(eˣ)' = eˣ意味: eˣを微分しても、eˣのまま変わりません。
この性質が、eが自然対数の底として重要な理由の一つです。
一般の指数関数
公式:
(aˣ)' = aˣ log aa:正の定数、log:自然対数
例:
(2ˣ)’ を求める
(2ˣ)' = 2ˣ log 2定数倍を含む場合
(3eˣ)’ を求める
(3eˣ)' = 3(eˣ)' = 3eˣ対数関数の微分公式
自然対数
公式:
(log x)' = 1/xここでのlogは自然対数(底がe)を表します。ln xと書くこともあります。
常用対数
公式:
(log₁₀ x)' = 1/(x log 10)一般の対数
公式:
(logₐ x)' = 1/(x log a)a:底、log:自然対数
例題
(2log x)’ を求める
(2log x)' = 2(log x)' = 2/x積の微分法(積の法則)
2つの関数の掛け算を微分するときの公式です。
公式
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)覚え方: 「前微分×後ろ + 前×後ろ微分」
例題1
(x²sin x)’ を求める
f(x) = x²、g(x) = sin xとすると:
(x²sin x)' = (x²)'sin x + x²(sin x)'
= 2x sin x + x² cos x例題2
(x³eˣ)’ を求める
(x³eˣ)' = (x³)'eˣ + x³(eˣ)'
= 3x²eˣ + x³eˣ
= (3x² + x³)eˣ商の微分法(商の法則)
2つの関数の割り算を微分するときの公式です。
公式
(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]²覚え方: 「分母微分×分子 – 分子×分母微分」を「分母の2乗」で割る
例題1
(x/sin x)’ を求める
f(x) = x、g(x) = sin xとすると:
(x/sin x)' = ((x)'sin x - x(sin x)')/sin²x
= (1 × sin x - x cos x)/sin²x
= (sin x - x cos x)/sin²x例題2
(eˣ/x²)’ を求める
(eˣ/x²)' = ((eˣ)'x² - eˣ(x²)')/x⁴
= (eˣ × x² - eˣ × 2x)/x⁴
= eˣ(x² - 2x)/x⁴
= eˣ(x - 2)/x³合成関数の微分法(チェーンルール)
関数の中に関数が入っている形を微分するときの公式です。
公式
(f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x)覚え方: 「外側を微分 × 内側を微分」
別の記号で書くと:
dy/dx = dy/du × du/dx例題1
((2x + 1)³)’ を求める
外側:u³、内側:u = 2x + 1として:
((2x + 1)³)' = 3(2x + 1)² × (2x + 1)'
= 3(2x + 1)² × 2
= 6(2x + 1)²例題2
(sin(3x))’ を求める
外側:sin u、内側:u = 3xとして:
(sin(3x))' = cos(3x) × (3x)'
= cos(3x) × 3
= 3cos(3x)例題3
(e^(x²))’ を求める
(e^(x²))' = e^(x²) × (x²)'
= e^(x²) × 2x
= 2xe^(x²)例題4
(log(x² + 1))’ を求める
(log(x² + 1))' = 1/(x² + 1) × (x² + 1)'
= 1/(x² + 1) × 2x
= 2x/(x² + 1)よく使う微分公式一覧表
べき乗・多項式
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| c(定数) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | -1/x² |
三角関数
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | 1/cos²x |
指数・対数関数
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ log a |
| log x | 1/x |
高次導関数
関数を2回、3回と繰り返し微分したものです。
記号
2階導関数: f”(x)、d²y/dx²
3階導関数: f”'(x)、d³y/dx³
n階導関数: f⁽ⁿ⁾(x)、dⁿy/dxⁿ
例題
f(x) = x⁴の2階導関数を求める
1階導関数:
f'(x) = 4x³2階導関数:
f''(x) = (4x³)' = 12x²物理での意味
物理では、高次導関数は重要な意味を持ちます:
- 位置の1階導関数:速度
- 位置の2階導関数:加速度
微分の計算テクニック
テクニック1:因数分解してから微分
複雑な式は、先に展開や因数分解をすると簡単になることがあります。
例: ((x + 1)(x + 2))’ を求める
方法1:積の微分を使う
((x + 1)(x + 2))' = (x + 1)'(x + 2) + (x + 1)(x + 2)'
= 1(x + 2) + (x + 1) × 1
= x + 2 + x + 1
= 2x + 3方法2:先に展開する
(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2
(x² + 3x + 2)' = 2x + 3方法2の方が簡単ですね。
テクニック2:共通因数でくくる
答えは因数分解した形にまとめると、見やすくなります。
例: (x³eˣ)’ = 3x²eˣ + x³eˣ = eˣ(3x² + x³)
テクニック3:複雑な合成関数は分解
複雑な合成関数は、段階的に考えます。
例: (sin²(3x))’ を求める
これは、(sin(3x))²と考えて:
- 外側:(u²)’ = 2u
- 中間:(sin v)’ = cos v
- 内側:(3x)’ = 3
(sin²(3x))' = 2sin(3x) × cos(3x) × 3 = 6sin(3x)cos(3x)実践問題で理解度チェック
問題1:基本的な微分
次の関数を微分しなさい。
(1) f(x) = x⁵
(2) f(x) = 4x³ – 2x² + 5x – 3
(3) f(x) = 1/x³
解答:
(1) f'(x) = 5x⁴
(2) f'(x) = 12x² – 4x + 5
(3) f(x) = x⁻³なので、f'(x) = -3x⁻⁴ = -3/x⁴
問題2:三角関数・指数関数
次の関数を微分しなさい。
(1) f(x) = 3sin x – 2cos x
(2) f(x) = 5eˣ
(3) f(x) = 2log x
解答:
(1) f'(x) = 3cos x + 2sin x
(2) f'(x) = 5eˣ
(3) f'(x) = 2/x
問題3:積の微分
次の関数を微分しなさい。
(1) f(x) = x²cos x
(2) f(x) = xeˣ
解答:
(1) f'(x) = 2x cos x + x²(-sin x) = 2x cos x – x² sin x
(2) f'(x) = 1 × eˣ + x × eˣ = eˣ(1 + x)
問題4:商の微分
次の関数を微分しなさい。
(1) f(x) = x²/eˣ
解答:
(1) f'(x) = (2x × eˣ – x² × eˣ)/e²ˣ
= eˣ(2x – x²)/e²ˣ
= (2x – x²)/eˣ
問題5:合成関数
次の関数を微分しなさい。
(1) f(x) = (x² + 1)⁵
(2) f(x) = sin(2x)
(3) f(x) = e^(3x)
解答:
(1) f'(x) = 5(x² + 1)⁴ × 2x = 10x(x² + 1)⁴
(2) f'(x) = cos(2x) × 2 = 2cos(2x)
(3) f'(x) = e^(3x) × 3 = 3e^(3x)
微分公式の覚え方
基本はべき乗の公式
まずは(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹を完璧にマスターしましょう。これが微分の土台です。
三角関数は循環で覚える
sin → cos → -sin → -cosと循環します。微分するたびに90度回転するイメージです。
eˣは変わらない
(eˣ)’ = eˣという特別な性質を覚えておきましょう。
対数とべき乗は逆
(log x)’ = 1/xと(1/x)’ = -1/x²は対になっています。
積と商は語呂合わせ
積の微分:「前微分×後ろ + 前×後ろ微分」
商の微分:「分子微分×分母 – 分子×分母微分、すべて分母の2乗」
まとめ
微分公式は数学の中でも特に重要な道具です。
この記事のポイント
- 基本はべき乗の公式:(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹
- 定数を微分すると0、xを微分すると1
- 定数倍は外に出せる
- 和・差はそれぞれ別々に微分できる
- 三角関数:sin → cos、cos → -sin
- 指数関数:eˣを微分してもeˣ
- 対数関数:(log x)’ = 1/x
- 積の微分:前微分×後ろ + 前×後ろ微分
- 商の微分:商の法則を使う
- 合成関数:外側を微分 × 内側を微分
微分公式は丸暗記するより、実際に使って慣れることが大切です。最初は公式表を見ながらでOKなので、たくさんの問題を解いて、自然と使えるようになるまで練習しましょう!
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