数学の「結合法則」とは？計算が楽になる基本ルールを徹底解説

「3 + 5 + 2」という計算、どの順番で足しても答えは同じですよね。

これって当たり前だと思っていませんか？

実は、この「当たり前」を支えているのが「結合法則」という数学の重要なルールなんです。

この記事では、結合法則の意味から使い方、そして計算を楽にする活用法まで、分かりやすく解説していきます。

数学が苦手な人も、この法則を理解すれば計算がもっとスムーズになりますよ。

結合法則とは何か？基本を理解しよう

結合法則の定義

結合法則（けつごうほうそく）とは、計算する順番を変えても答えが同じになるという法則です。

3つ以上の数を足したり掛けたりするとき、どの数から先に計算しても結果は変わりません。

別名「結合律」や「結合則」とも呼ばれます。

英語では「Associative Law」や「Associative Property」と言います。

結合法則の公式

結合法則は、足し算（加法）と掛け算（乗法）で成り立ちます。

加法の結合法則

(a + b) + c = a + (b + c)

乗法の結合法則

(a × b) × c = a × (b × c)

括弧の位置を変えても、答えは同じになるということですね。

結合法則が意味すること

この法則は、「どこから計算を始めてもOK」ということを教えてくれます。

例えば、3 + 5 + 2 という計算では、

• 先に 3 + 5 = 8 を計算してから 8 + 2 = 10
• 先に 5 + 2 = 7 を計算してから 3 + 7 = 10

どちらでも答えは10で同じです。

足し算（加法）の結合法則

具体例で理解しよう

例題1：(2 + 3) + 4 と 2 + (3 + 4) を計算

左側の計算：(2 + 3) + 4

ステップ1：括弧の中を先に計算

2 + 3 = 5

ステップ2：結果に4を足す

5 + 4 = 9

右側の計算：2 + (3 + 4)

ステップ1：括弧の中を先に計算

3 + 4 = 7

ステップ2：2と結果を足す

2 + 7 = 9

どちらも答えは9になりました。

マイナスの数でも成立する

例題2：(-1 + 4) + 6 と -1 + (4 + 6)

左側：(-1 + 4) + 6

-1 + 4 = 3

3 + 6 = 9

右側：-1 + (4 + 6)

4 + 6 = 10

-1 + 10 = 9

マイナスの数が含まれていても、結合法則は成り立ちます。

4つ以上の数でも成立

結合法則は、4つ以上の数の足し算でも使えます。

1 + 2 + 3 + 4 = 10

この場合、どの順番で計算しても答えは10です。

• (1 + 2) + 3 + 4 = 3 + 3 + 4 = 10
• 1 + (2 + 3) + 4 = 1 + 5 + 4 = 10
• 1 + 2 + (3 + 4) = 1 + 2 + 7 = 10

全て同じ答えになりますね。

掛け算（乗法）の結合法則

具体例で理解しよう

例題3：(2 × 3) × 4 と 2 × (3 × 4) を計算

左側の計算：(2 × 3) × 4

ステップ1：括弧の中を先に計算

2 × 3 = 6

ステップ2：結果に4を掛ける

6 × 4 = 24

右側の計算：2 × (3 × 4)

ステップ1：括弧の中を先に計算

3 × 4 = 12

ステップ2：2と結果を掛ける

2 × 12 = 24

どちらも答えは24になりました。

計算を楽にする活用法

結合法則を使うと、計算がぐっと簡単になることがあります。

例題4：11 × 35 × 2

普通に左から計算すると、

11 × 35 = 385

385 × 2 = 770

でも、結合法則を使って計算順序を変えると、

11 × (35 × 2) = 11 × 70 = 770

35 × 2 = 70 と計算しやすい数になるので、暗算でもできますね。

例題5：5 × 47 × 2

左から計算：5 × 47 = 235、235 × 2 = 470

結合法則を使って：5 × (47 × 2) = 5 × 94 = 470

または：(5 × 2) × 47 = 10 × 47 = 470

このように、5 × 2 = 10 を先に計算すれば、暗算が簡単になります。

引き算（減法）では成り立たない

なぜ引き算では成り立たないのか

結合法則は、引き算では成り立ちません。

これは非常に重要なポイントなので、しっかり理解しましょう。

例で確認：(10 – 3) – 2 と 10 – (3 – 2)

左側の計算：(10 – 3) – 2

10 – 3 = 7

7 – 2 = 5

右側の計算：10 – (3 – 2)

3 – 2 = 1

10 – 1 = 9

答えが違いますね。5 ≠ 9 なので、結合法則は成り立ちません。

もう一つの例

例：(5 – 2) – 1 と 5 – (2 – 1)

左側：(5 – 2) – 1

5 – 2 = 3

3 – 1 = 2

右側：5 – (2 – 1)

2 – 1 = 1

5 – 1 = 4

やはり答えが違います。2 ≠ 4

なぜ違うのか

引き算は「引く」という操作なので、順番が変わると結果も変わってしまいます。

括弧の位置を変えると、どの数からどの数を引くのかが変わってしまうんです。

割り算（除法）でも成り立たない

割り算での検証

引き算と同じように、割り算でも結合法則は成り立ちません。

例：(12 ÷ 6) ÷ 2 と 12 ÷ (6 ÷ 2)

左側の計算：(12 ÷ 6) ÷ 2

12 ÷ 6 = 2

2 ÷ 2 = 1

右側の計算：12 ÷ (6 ÷ 2)

6 ÷ 2 = 3

12 ÷ 3 = 4

答えが違いますね。1 ≠ 4

もう一つの例

例：(8 ÷ 4) ÷ 2 と 8 ÷ (4 ÷ 2)

左側：(8 ÷ 4) ÷ 2

8 ÷ 4 = 2

2 ÷ 2 = 1

右側：8 ÷ (4 ÷ 2)

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 2 = 4

またしても答えが違います。1 ≠ 4

まとめ：結合法則が成り立つ演算

結合法則が成り立つ：足し算と掛け算のみ

結合法則が成り立たない：引き算と割り算

この違いをしっかり覚えておきましょう。

交換法則との違い

結合法則と似ている法則に「交換法則」があります。

この2つの違いを理解しておきましょう。

交換法則とは

交換法則は、数の順番を入れ替えても答えが同じになる法則です。

足し算の交換法則

a + b = b + a

例：3 + 5 = 5 + 3 = 8

掛け算の交換法則

a × b = b × a

例：4 × 7 = 7 × 4 = 28

結合法則との違い

結合法則：括弧の位置を変える

(a + b) + c = a + (b + c)

計算する順番を変えても答えは同じ

交換法則：数の順番を変える

a + b = b + a

数の並び順を変えても答えは同じ

両方使える場合

足し算と掛け算では、結合法則と交換法則の両方が使えます。

例：2 + 3 + 5

• 結合法則で：(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10
• 交換法則で：2 + 3 + 5 = 5 + 3 + 2 = 10
• 両方使って：(5 + 2) + 3 = 3 + (2 + 5) = 10

どれでも答えは10になります。

結合法則の実用例

結合法則は、日常生活や実際の問題でも役立ちます。

買い物の計算

りんご100円、みかん150円、バナナ250円を買うとき、

100 + 150 + 250 = ?

結合法則を使えば、

(100 + 150) + 250 = 250 + 250 = 500円

または

100 + (150 + 250) = 100 + 400 = 500円

どちらで計算しても500円です。

貯金の計算

1週目に1,000円、2週目に2,000円、3週目に3,000円貯金したとき、

1,000 + 2,000 + 3,000 = ?

(1,000 + 2,000) + 3,000 = 3,000 + 3,000 = 6,000円

1,000 + (2,000 + 3,000) = 1,000 + 5,000 = 6,000円

どちらでも合計6,000円です。

距離の計算

A地点からB地点まで3km、B地点からC地点まで4km、C地点からD地点まで5kmのとき、

(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12km

3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12km

総距離はどちらでも12kmです。

面積の計算

長方形の面積を求めるとき、

2 × 3 × 4 という形があれば、

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

どちらで計算しても面積は24です。

覚えておきたいポイント

結合法則が使える場面

1. 足し算だけの式
2. 掛け算だけの式
3. 計算の順序を変えたい場合
4. 暗算しやすい組み合わせを作りたい場合

結合法則が使えない場面

1. 引き算が含まれる式
2. 割り算が含まれる式
3. 足し算と掛け算が混ざった式（分配法則を使う）

計算を楽にするコツ

結合法則を使って、計算しやすい数の組み合わせを作りましょう。

例：25 × 13 × 4

(25 × 4) × 13 = 100 × 13 = 1,300

25 × 4 = 100 になることを利用すると、計算が簡単になります。

例：8 + 7 + 2

(8 + 2) + 7 = 10 + 7 = 17

8 + 2 = 10 になるように組み合わせると、暗算しやすくなります。

よくある間違いと注意点

間違い1：引き算で結合法則を使う

間違い例：(10 – 3) – 2 = 10 – (3 – 2)

これは成り立ちません。

正しくは：(10 – 3) – 2 = 5、10 – (3 – 2) = 9

間違い2：足し算と掛け算が混ざった式

間違い例：2 + 3 × 4 で、(2 + 3) × 4 = 2 + (3 × 4) と考える

これは結合法則ではありません。

掛け算を先に計算する「計算の順序」のルールが適用されます。

正しくは：2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14

間違い3：数の順番も変える

結合法則は括弧の位置を変えるだけで、数の順番は変えません。

(a + b) + c = a + (b + c) ← 正しい（括弧だけ変える）

(a + b) + c = (c + a) + b ← これは交換法則も使っている

正しい使い方

結合法則を使うときは、

1. 数の順番は変えない
2. 括弧の位置だけを変える
3. 足し算か掛け算のみ

この3点を守りましょう。

練習問題

理解を深めるために、いくつか練習してみましょう。

問題1

次の計算で、結合法則を使って計算しやすい形にしなさい。

25 × 17 × 4 = ?

解答

(25 × 4) × 17 = 100 × 17 = 1,700

問題2

次の式が正しいかどうか答えなさい。

(15 – 8) – 3 = 15 – (8 – 3)

解答

間違い。

左辺：(15 – 8) – 3 = 7 – 3 = 4

右辺：15 – (8 – 3) = 15 – 5 = 10

4 ≠ 10 なので、引き算では結合法則は成り立ちません。

問題3

結合法則を使って、次の計算を暗算しやすくしなさい。

6 + 8 + 4 = ?

解答

6 + (8 + 4) = 6 + 12 = 18

または

(6 + 4) + 8 = 10 + 8 = 18

まとめ

結合法則は、足し算と掛け算において、括弧の位置を変えても答えが同じになるという法則です。

結合法則の公式

• 加法：(a + b) + c = a + (b + c)
• 乗法：(a × b) × c = a × (b × c)

重要なポイント

1. 結合法則が成り立つのは、足し算と掛け算だけ
2. 引き算と割り算では成り立たない
3. 計算の順序を変えることで、計算を楽にできる
4. 交換法則とは違う（結合法則は括弧、交換法則は順番）

実用的な使い方

• 暗算しやすい数の組み合わせを作る
• 10の倍数を作ると計算が楽になる
• 大きな数の計算でも活用できる

結合法則を理解すれば、複雑な計算も効率よく解けるようになります。

特に暗算では、この法則を使って計算しやすい形に変えることが大切です。

日常生活での買い物や、数学の問題を解くときにも、積極的に活用してみてください。

計算がもっと速く、もっと楽しくなるはずですよ。