「順列と組み合わせって何が違うの？」「PとCの使い分けが分からない…」
高校数学Aで習う順列と組み合わせ。この2つの違いで悩む人は本当に多いんです。でも実は、違いはとてもシンプル。一度理解すれば、問題を見ただけでどちらを使うべきか分かるようになります。
今回は、順列と組み合わせの基本的な考え方から計算方法、見分け方のコツまで、すべて分かりやすく解説します。
順列と組み合わせ、何が違う？
まずは、順列と組み合わせの違いをはっきりさせましょう。
順列は「並べ方」を数える
順列（じゅんれつ）とは、いくつかのものを順序をつけて1列に並べる並べ方のことです。
英語では「Permutation（パーミュテーション）」といい、頭文字を取ってPで表します。
順列のポイント：順番が大事
順列では、ABとBAは別のものとして数えます。なぜなら、並び順が違うからです。
例えば、A、B、Cの3人を1列に並べる並べ方を考えてみましょう。ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りあります。この6つは全て違う並び方として数えられるんです。
組み合わせは「選び方」を数える
組み合わせ（くみあわせ）とは、いくつかのものから順序を考えずに選ぶ選び方のことです。
英語では「Combination（コンビネーション）」といい、頭文字を取ってCで表します。
組み合わせのポイント：順番は関係ない
組み合わせでは、ABとBAは同じものとして数えます。なぜなら、選ばれているメンバーが同じだからです。
同じくA、B、Cの3人から2人を選ぶ選び方を考えてみましょう。AB、AC、BCの3通りです。ABとBAは同じ組み合わせなので、1通りとして数えます。
簡単に覚える方法
順列と組み合わせの違いを覚える簡単な方法があります。
順列のPermutationは言いにくい、複雑そうな単語ですよね。だから順列も複雑で、細かいことまで気にします。並び順という細かい違いまで区別するんです。
組み合わせのCombinationは言いやすい単語ですよね。だから組み合わせはおおらかで、細かいことは気にしません。並び順なんて気にせず、メンバーが同じなら同じ組み合わせとして扱います。
これを覚えておくと、忘れにくいですよ。
順列の計算方法
では、順列の計算方法を見ていきましょう。
基本的な考え方
5枚のカード（A、B、C、D、E）から3枚を選んで並べる並べ方は何通りあるでしょうか。
まず1枚目のカードを選びます。5枚から選ぶので、5通りの選び方があります。
次に2枚目のカードを選びます。すでに1枚使っているので、残りは4枚。だから4通りの選び方があります。
最後に3枚目のカードを選びます。すでに2枚使っているので、残りは3枚。だから3通りの選び方があります。
全部合わせると、5 × 4 × 3 = 60通りになります。
順列の公式
このように、n個のものからr個を選んで並べる並べ方の総数を、記号を使って「nPr」と表します。
nPrの計算式は次のようになります。
nPr = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1)
つまり、nから始めて、r個の数を掛け算するということです。
具体例で計算してみよう
実際に計算してみましょう。
例題1：5人の中から3人を選んで1列に並べる並べ方は何通りか
これは5P3を計算すればいいですね。
5P3 = 5 × 4 × 3 = 60通り
例題2：10人の中から会長、副会長、書記を選ぶ選び方は何通りか
これも順列です。なぜなら、会長と副会長では役職が違うので、順番が重要だからです。
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720通り
全部を並べる場合
n個のものを全部並べる場合は、どうなるでしょうか。
例えば5人全員を1列に並べる場合、5P5を計算します。
5P5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120通り
このように、1まで掛け算する場合を「階乗（かいじょう）」といい、「5!」（ご階乗）と表します。
つまり、nPn = n! ということです。
組み合わせの計算方法
次は組み合わせの計算方法です。
順列との関係
実は、組み合わせは順列を使って計算できるんです。
5枚のカードから3枚を選ぶ選び方を考えてみましょう。
まず、5枚から3枚を選んで並べる並べ方（順列）は、5P3 = 60通りでしたね。
でも、組み合わせでは順番は関係ありません。ABCもACBもBACも、全部同じ組み合わせです。
3枚のカードを並べる並べ方は何通りあるでしょうか。3P3 = 3 × 2 × 1 = 6通りです。
ということは、順列の60通りの中には、同じ組み合わせが6通りずつ含まれているということ。
だから、60 ÷ 6 = 10通りが、組み合わせの答えになります。
組み合わせの公式
n個のものからr個を選ぶ選び方の総数を、記号を使って「nCr」と表します。
nCrの計算式は次のようになります。
nCr = nPr ÷ r!
つまり、順列を計算して、選んだものを並べる並べ方の数で割るということです。
式で書くと、nCr = n! ÷ (r! × (n-r)!) となります。
具体例で計算してみよう
実際に計算してみましょう。
例題3：10人の中から3人の委員を選ぶ選び方は何通りか
委員に順番や役職の違いはないので、組み合わせを使います。
10C3 = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6 = 120通り
例題4：5つの果物から3つを選んで買う選び方は何通りか
これも組み合わせです。りんご、みかん、バナナを買うのと、バナナ、みかん、りんごを買うのは同じですからね。
5C3 = (5 × 4 × 3) ÷ (3 × 2 × 1) = 60 ÷ 6 = 10通り
計算のコツ
組み合わせの計算には、便利な性質があります。
nCr = nC(n-r)
つまり、10個から3個を選ぶのと、10個から7個を選ぶのは、同じ数になるんです。
10C3 = 10C7 = 120通り
これは考えてみると当たり前で、3個選ぶということは、残りの7個を選ばないということ。つまり、選ぶものと選ばないものは表裏一体なんですね。
この性質を使うと、計算が楽になることがあります。例えば10C8を計算するとき、10C2と同じなので、(10 × 9) ÷ (2 × 1) = 45と簡単に計算できます。
順列と組み合わせの見分け方
問題を見て、順列を使うべきか組み合わせを使うべきか、どうやって見分ければいいのでしょうか。
キーワードで見分ける
問題文のキーワードに注目しましょう。
順列を使う場合のキーワード
「並べる」「1列に並べる」「順番をつける」「配列」「暗証番号」「パスワード」などの言葉が出てきたら、順列を使います。
また、「会長と副会長」「金メダル、銀メダル、銅メダル」のように、選ばれた人やものに違いがある場合も順列です。
組み合わせを使う場合のキーワード
「選ぶ」「取り出す」「委員を選ぶ」「チームを作る」などの言葉が出てきたら、組み合わせを使います。
選ばれたメンバーに役職や順番の違いがない場合は、組み合わせです。
質問を変えて考える
迷ったときは、こう考えてみましょう。
「AさんとBさん」と「BさんとAさん」は違いますか？
もし違うなら順列、同じなら組み合わせです。
例えば、「5人の中から2人を選んで、前と後ろに並べる」なら、前に立つAさんと後ろに立つAさんでは違うので順列。
「5人の中から2人を選んで、一緒に掃除当番をする」なら、誰が先に選ばれても同じ掃除当番なので組み合わせです。
実際の問題で練習
いくつか例題を見てみましょう。
問題1：7人の中から部長1人、副部長1人を選ぶ方法は何通りか
部長と副部長は役職が違うので、AさんBさんとBさんAさんでは違います。これは順列です。
答え：7P2 = 7 × 6 = 42通り
問題2：7人の中からマネージャー2人を選ぶ方法は何通りか
マネージャーは2人とも同じ役職なので、選ぶ順番は関係ありません。これは組み合わせです。
答え：7C2 = (7 × 6) ÷ (2 × 1) = 21通り
問題3：5枚のカードから3枚を選んで3桁の数を作る方法は何通りか
3桁の数なので、百の位、十の位、一の位があります。123と321は違う数なので、これは順列です。
答え：5P3 = 5 × 4 × 3 = 60通り
問題4：10種類のメニューから3品を選んで注文する方法は何通りか
料理を食べる順番は関係ないので、これは組み合わせです。
答え：10C3 = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 120通り
実生活での順列と組み合わせ
順列と組み合わせは、実際の生活でもよく使われています。
順列の例
パスワードや暗証番号
4桁の暗証番号を作るとき、0から9の10個の数字から4個を選んで並べます。同じ数字を何度も使えるなら、10 × 10 × 10 × 10 = 10,000通りの組み合わせがあります。
ちなみに、よく「組み合わせロック」と言いますが、実際には「順列ロック」が正しいんです。だって、1234と4321では開かないですからね。
座席の並び方
5人の友達を5つの座席に座らせる方法は、5! = 120通りあります。映画館や飛行機の座席指定も、順列の考え方が使われています。
ランキングやレース
10人が参加するレースで、1位、2位、3位を決める方法は、10P3 = 720通りあります。スポーツの順位や、人気投票のランキングも順列ですね。
組み合わせの例
チーム分け
20人のクラスから5人のグループを作る方法は、20C5通りあります。計算すると15,504通りにもなります。
宝くじ
ロトやビンゴのような宝くじは、組み合わせの問題です。例えば、43個の数字から6個を選ぶロト6の組み合わせは、43C6 = 6,096,454通りもあります。だから当たりにくいんですね。
料理の組み合わせ
定食屋さんで、10種類のおかずから3品を選ぶ場合、10C3 = 120通りの組み合わせがあります。選ぶ順番は関係ないので、組み合わせです。
よくある間違いと注意点
順列と組み合わせを学ぶとき、よくある間違いをまとめておきます。
順列と組み合わせを逆に使う
一番多い間違いは、順列を使うべき問題で組み合わせを使ってしまうこと、あるいはその逆です。
必ず「順番が大事かどうか」を確認しましょう。迷ったら、具体例を2、3個書き出してみるのがおすすめです。
計算ミス
順列や組み合わせの計算は、掛け算や割り算が多いので、計算ミスをしやすいです。
特に組み合わせの計算では、分子と分母で約分できる場合が多いので、最初に約分してから計算すると楽になります。
例えば、10C3を計算するとき、(10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1)を計算する前に、8 ÷ 2 = 4、9 ÷ 3 = 3と約分すると、10 × 3 × 4 = 120と簡単になります。
特殊な場合を忘れる
0個を選ぶ場合や、全部を選ぶ場合も定義されています。
nC0 = 1（何も選ばない方法は1通り）
nCn = 1（全部選ぶ方法は1通り）
また、nC1 = n（1個だけ選ぶ方法はn通り）も覚えておくと便利です。
順列と組み合わせの公式まとめ
最後に、順列と組み合わせの公式をまとめておきます。
順列の公式
異なるn個のものから、異なるr個を選んで並べる順列の総数。
nPr = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-r+1)
または、階乗を使って、nPr = n! ÷ (n-r)!
組み合わせの公式
異なるn個のものから、異なるr個を選ぶ組み合わせの総数。
nCr = nPr ÷ r!
または、nCr = n! ÷ (r! × (n-r)!)
階乗の定義
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
特別に、0! = 1 と定義されています。
覚えておくと便利な性質
nCr = nC(n-r)
これは、n個からr個を選ぶのと、n個から(n-r)個を選ぶのが同じ数になるという性質です。
まとめ：順列と組み合わせの違い
最後に、順列と組み合わせの違いをもう一度まとめておきましょう。
順列は「順番が大事」な場合に使います。ABCとCBAは違うものとして数えます。記号はnPrで、並べ方の総数を計算します。
組み合わせは「順番は関係ない」場合に使います。ABCもCBAも同じ組み合わせとして数えます。記号はnCrで、選び方の総数を計算します。
見分け方のコツは、問題文のキーワードに注目すること。「並べる」「順番」とあれば順列、「選ぶ」「取り出す」とあれば組み合わせです。迷ったら、「順番を入れ替えたら違うものになるか」を考えてみましょう。
計算方法は、順列は上から順番に掛け算、組み合わせは順列を計算してから並べ方の数で割る、と覚えておけば大丈夫です。
順列と組み合わせは、確率の計算でも頻繁に使います。しっかり理解しておくと、数学の他の分野でも役立ちますよ。練習問題をたくさん解いて、感覚をつかんでくださいね。
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