複素共役とは？定義から性質・計算方法まで完全解説【初心者向け】

「複素共役（ふくそきょうやく）」という言葉を聞いて、難しそうだと感じていませんか？

実は、複素共役は複素数を扱う上で欠かせない、とても便利な概念です。分数の分母を実数化したり、複素数の方程式を解いたり、工学や物理学の様々な場面で活躍します。

この記事では、複素共役の基本的な定義から計算方法、重要な性質、そして実際の応用例まで、初心者にもわかりやすく解説していきます。

複素共役とは？基本的な定義

複素数のおさらい

まず、複素数について簡単におさらいしましょう。

複素数とは、以下の形で表される数のことです。

z = a + bi

ここで：

• a：実部（実数の部分）
• b：虚部の係数（実数）
• i：虚数単位（i² = -1）

例

• 3 + 4i
• 2 – 5i
• -1 + 7i
• 6（6 + 0i と考えられます）
• 3i（0 + 3i と考えられます）

複素共役の定義

複素数 z = a + bi に対して、虚部の符号だけを反転させた複素数を、元の複素数 z の複素共役（ふくそきょうやく）と呼びます。

定義

複素数 z = a + bi の複素共役は：

z̄ = a - bi

重要なポイント

• 実部（a）はそのまま
• 虚部の符号だけが反転（+bi → -bi）

具体例

例1

z = 3 + 4i
z̄ = 3 - 4i

例2

z = 2 - 5i
z̄ = 2 + 5i

例3（純虚数の場合）

z = 7i（= 0 + 7i）
z̄ = -7i（= 0 - 7i）

例4（実数の場合）

z = 5（= 5 + 0i）
z̄ = 5（= 5 - 0i = 5）

実数の場合、虚部が0なので、複素共役は元の数と同じになります。

複素共役の呼び方と表記

読み方

• 日本語：「ふくそきょうやく」または「きょうやくふくそすう」
• 英語：complex conjugate（コンプレックス・コンジュゲート）

表記方法

複素数 z の複素共役は、以下のように表記されます。

1. z̄（ zバー）← 最も一般的
2. z*（zアスタリスク）← 物理学や工学でよく使われる
3. z†（zダガー）← 行列の共役転置と区別が必要な場合

この記事では、最も一般的な z̄（バー表記）を使用します。

複素共役の幾何学的意味

複素共役を複素平面（複素数平面、アルガン図）上で見ると、非常にわかりやすい幾何学的な意味があります。

複素平面とは

複素平面は、複素数を座標平面上の点として表現したものです。

• 横軸（実軸）：実部を表す
• 縦軸（虚軸）：虚部を表す

複素数 z = a + bi は、点 (a, b) として表されます。

複素共役の幾何学的意味

複素数 z = a + bi とその複素共役 z̄ = a – bi を複素平面上にプロットすると：

• z は点 (a, b)
• z̄ は点 (a, -b)

つまり、複素共役は、複素平面上で実軸（横軸）に関して対称な位置にある点を表します。

言い換えると

• 複素共役を取る = 複素平面上で実軸に関して鏡映変換（反転）する

例

z = 2 + 3i の場合：

• z は点 (2, 3) に対応
• z̄ = 2 – 3i は点 (2, -3) に対応

これらは実軸（横軸）に関して対称です。

2回共役を取ると元に戻る

複素共役を2回取ると、元の複素数に戻ります。

z̄̄ = z

理由

z = a + bi の共役は z̄ = a – bi
z̄ の共役は z̄̄ = a – (-b)i = a + bi = z

幾何学的には、実軸に関して2回反転すると、元の位置に戻るということです。

複素共役の重要な性質

複素共役には、計算を簡単にする便利な性質がたくさんあります。

性質1：和の複素共役は複素共役の和

2つの複素数 z と w の和の複素共役は、それぞれの複素共役の和に等しいです。

z + w の複素共役 = z̄ + w̄

記号で表すと

z + w = z̄ + w̄

例

z = 3 + 4i、w = 1 + 2i のとき：

左辺

z + w = (3 + 4i) + (1 + 2i) = 4 + 6i
z + w の複素共役 = 4 - 6i

右辺

z̄ = 3 - 4i
w̄ = 1 - 2i
z̄ + w̄ = (3 - 4i) + (1 - 2i) = 4 - 6i

確かに一致します！

性質2：差の複素共役は複素共役の差

z - w = z̄ - w̄

性質3：積の複素共役は複素共役の積

2つの複素数の積の複素共役は、それぞれの複素共役の積に等しいです。

(z × w) の複素共役 = z̄ × w̄

記号で表すと

zw = z̄ · w̄

例

z = 1 + 2i、w = 3 + 4i のとき：

左辺

z × w = (1 + 2i)(3 + 4i)
     = 3 + 4i + 6i + 8i²
     = 3 + 10i - 8（i² = -1 なので）
     = -5 + 10i

zw = -5 - 10i

右辺

z̄ = 1 - 2i
w̄ = 3 - 4i
z̄ · w̄ = (1 - 2i)(3 - 4i)
      = 3 - 4i - 6i + 8i²
      = 3 - 10i - 8
      = -5 - 10i

一致します！

性質4：商の複素共役は複素共役の商

(z ÷ w) の複素共役 = z̄ ÷ w̄

記号で表すと

(z/w)̄ = z̄ / w̄　（w ≠ 0）

性質5：累乗の複素共役

(z^n)̄ = (z̄)^n　（nは整数）

例

z = 1 + i のとき、z² の複素共役を求めます。

方法1：先に計算してから共役を取る

z² = (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i
z²̄ = -2i

方法2：先に共役を取ってから計算する

z̄ = 1 - i
(z̄)² = (1 - i)² = 1 - 2i + i² = 1 - 2i - 1 = -2i

どちらの方法でも同じ結果になります！

性質6：複素数と共役複素数の和は実数

z + z̄ = 2a（実数）

証明

z = a + bi とすると：

z + z̄ = (a + bi) + (a - bi)
      = a + a + bi - bi
      = 2a

虚部が相殺されて、実部の2倍の実数になります。

具体例

z = 3 + 4i
z̄ = 3 - 4i
z + z̄ = 6（実数）

応用

この性質を使うと、複素数の実部を簡単に取り出せます。

実部 a = (z + z̄) / 2

性質7：複素数と共役複素数の積は実数

これは最も重要な性質の一つです！

z × z̄ = a² + b²（実数）

証明

z = a + bi とすると：

z × z̄ = (a + bi)(a - bi)
      = a² - abi + abi - b²i²
      = a² - b²(-1)
      = a² + b²

これは実数です！

具体例

z = 3 + 4i
z̄ = 3 - 4i
z × z̄ = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 16i² = 9 + 16 = 25

性質8：複素数の絶対値との関係

複素数 z の絶対値（大きさ）を |z| と表すと：

|z|² = z × z̄

証明

z = a + bi のとき、絶対値は：

|z| = √(a² + b²)

したがって：
|z|² = a² + b²

一方、性質7より：

z × z̄ = a² + b²

よって、|z|² = z × z̄ が成り立ちます。

重要性

この性質は、複素数の逆数を求める際に非常に便利です（後述）。

複素共役の計算例

例題1：基本的な複素共役

問題
次の複素数の複素共役を求めなさい。

(1) z = 5 + 3i
(2) w = -2 – 7i
(3) u = 4i
(4) v = -6

解答

(1) z̄ = 5 – 3i（虚部の符号を反転）

(2) w̄ = -2 + 7i（-7i の符号を反転して +7i）

(3) u = 0 + 4i と考えて、ū = 0 – 4i = -4i

(4) v = -6 + 0i と考えて、v̄ = -6 – 0i = -6
実数の複素共役は元の実数と同じです。

例題2：和と差の複素共役

問題
z = 2 + 3i、w = 1 – 4i のとき、以下を求めなさい。

(1) z + w
(2) z – w

解答

(1)

z + w = (2 + 3i) + (1 - 4i) = 3 - i
z + w̄ = 3 + i

または、性質を使って：

z + w̄ = z̄ + w̄ = (2 - 3i) + (1 + 4i) = 3 + i

(2)

z - w = (2 + 3i) - (1 - 4i) = 1 + 7i
z - w̄ = 1 - 7i

例題3：積の複素共役

問題
z = 1 + i、w = 2 – i のとき、zw を求めなさい。

解答

方法1：先に積を計算

zw = (1 + i)(2 - i)
   = 2 - i + 2i - i²
   = 2 + i + 1
   = 3 + i

zw̄ = 3 - i

方法2：性質を使う

z̄ = 1 - i
w̄ = 2 + i
z̄ · w̄ = (1 - i)(2 + i)
      = 2 + i - 2i - i²
      = 2 - i + 1
      = 3 - i

どちらの方法でも同じ結果です！

例題4：複素数の割り算（分母の有理化）

これは複素共役の最も重要な応用の一つです。

問題
以下の複素数を a + bi の形に直しなさい。

z = (3 + 2i) / (1 + i)

解答

分母の複素共役をかけて、分母を実数化します。

分母 1 + i の複素共役は 1 – i です。

z = (3 + 2i) / (1 + i)
  = (3 + 2i) / (1 + i) × (1 - i) / (1 - i)
  = (3 + 2i)(1 - i) / (1 + i)(1 - i)

分子を計算

(3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i²
                = 3 - i + 2
                = 5 - i

分母を計算

(1 + i)(1 - i) = 1 - i²
               = 1 + 1
               = 2

よって

z = (5 - i) / 2 = 5/2 - (1/2)i

例題5：実数条件・純虚数条件

問題
複素数 z = (2 + 3i)w が実数となるような複素数 w を求めなさい。

解答

z が実数となる条件は：

z = z̄

したがって：

(2 + 3i)w = (2 + 3i)w̄
(2 + 3i)w = (2 - 3i)w̄

これより：

(2 + 3i)w = (2 - 3i)w̄

w = a + bi とおくと、この条件から w を求めることができます。

（詳細な計算は省略しますが、このように複素共役を使って実数・純虚数の条件を表現できます）

複素共役の応用

応用1：分母の実数化（有理化）

複素数の割り算では、分母を実数にする必要があります。このとき、分母と分子に分母の複素共役をかけることで、分母を実数化できます。

これは、z × z̄ = |z|²（実数）という性質を利用しています。

一般的な手順

(a + bi) / (c + di) を計算する場合：

1. 分母の複素共役 c - di を用意
2. 分母と分子の両方に c - di をかける
3. 分母は (c + di)(c - di) = c² + d²（実数）になる
4. 分子を展開して整理する

応用2：複素数の逆数

複素数 z の逆数 1/z を求める際も、複素共役を使います。

1/z = z̄ / |z|²

例

z = 3 + 4i の逆数を求めます。

z̄ = 3 - 4i
|z|² = 3² + 4² = 25

1/z = (3 - 4i) / 25 = 3/25 - 4i/25

応用3：方程式の解（複素共役根の定理）

重要な定理

実数係数の方程式が複素数解 α を持つとき、その複素共役 ᾱ も必ず解になります。

例

方程式 x² – 2x + 5 = 0 を解くと：

x = (2 ± √(4 - 20)) / 2
  = (2 ± √(-16)) / 2
  = (2 ± 4i) / 2
  = 1 ± 2i

解は：

• x₁ = 1 + 2i
• x₂ = 1 – 2i

確かに、x₁ と x₂ は複素共役の関係にあります！

なぜこうなるのか

実数係数の方程式では、虚数部分がペアで現れるため、解も必ずペアになります。

応用

この性質により、複素数解の一つがわかれば、もう一つの解も自動的にわかります。

応用4：物理学・工学での利用

複素共役は、物理学や工学の様々な分野で活躍します。

電気工学

• 交流回路の計算
• インピーダンスの計算
• 電力の計算（P = V × I、I は電流の複素共役）

量子力学

• 波動関数の確率密度：|ψ|² = ψ × ψ*
• 期待値の計算

信号処理

• フーリエ変換
• フィルタ設計
• 周波数解析

制御工学

• 伝達関数
• 安定性解析

よくある質問（FAQ）

Q1: 複素共役はなぜ必要なのですか？

A: 複素共役には主に以下の役割があります。

1. 分母の実数化：複素数の割り算を簡単にする
2. 実数・虚数の抽出：複素数から実部や虚部を取り出す
3. 絶対値の計算：|z|² = z × z̄ を利用
4. 方程式の解：実数係数の方程式では複素数解が共役ペアで現れる
5. 物理・工学の計算：様々な実用的な計算で使用

Q2: 複素共役を2回取るとどうなりますか？

A: 元の複素数に戻ります。

z̄̄ = z

例

z = 3 + 4i
z̄ = 3 - 4i
z̄̄ = 3 + 4i = z

幾何学的には、複素平面上で実軸に関して2回反転すると、元の位置に戻ります。

Q3: 実数の複素共役はどうなりますか？

A: 実数の複素共役は、元の実数と同じです。

理由

実数 a は、a = a + 0i と表せます。
その複素共役は：ā = a – 0i = a

例

5̄ = 5
-3̄ = -3

Q4: 純虚数の複素共役はどうなりますか？

A: 純虚数の複素共役は、符号が反転した純虚数になります。

例

(3i)̄ = -3i
(-5i)̄ = 5i

Q5: z × z̄ はなぜ実数になるのですか？

A: 計算すると虚部が相殺されるからです。

z × z̄ = (a + bi)(a - bi)
      = a² - abi + abi - b²i²
      = a² + b²（虚部が相殺）

これは (a + b)(a – b) = a² – b² の公式に似ていますが、i² = -1 により符号が変わります。

Q6: 複素共役の表記 z̄、z*、z† の違いは何ですか？

A: どれも同じ複素共役を表しますが、使われる分野が異なります。

• z̄（バー）：数学で最も一般的
• z*（アスタリスク）：物理学、工学でよく使われる
• z†（ダガー）：量子力学、行列の共役転置と区別が必要な場合

Q7: 複素共役と共役転置の違いは何ですか？

A:

• 複素共役：複素数の虚部の符号を反転
• 共役転置（エルミート転置）：行列の転置＋各要素の複素共役

複素数: z* = 複素共役
行列: A† = 転置 ＋ 各要素の複素共役

Q8: |z|² = z × z̄ はどう応用されますか？

A: この関係は、複素数の大きさ（絶対値）を計算するのに使います。

例

z = 3 + 4i の絶対値を求める：

方法1：公式を使う

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5

方法2：複素共役を使う

z × z̄ = (3 + 4i)(3 - 4i) = 25
|z|² = 25
|z| = 5

どちらの方法でも同じ結果になります。

まとめ

複素共役は、複素数を扱う上で欠かせない重要な概念です。この記事のポイントをまとめます。

定義

• 複素数 z = a + bi の複素共役は z̄ = a – bi
• 実部はそのまま、虚部の符号だけ反転

表記

• z̄（バー）：数学で一般的
• z*（アスタリスク）：物理・工学
• z†（ダガー）：量子力学など

幾何学的意味

• 複素平面上で実軸に関する対称移動
• 2回共役を取ると元に戻る（z̄̄ = z）

重要な性質

1. 和の共役：z + w = z̄ + w̄
2. 差の共役：z – w = z̄ – w̄
3. 積の共役：zw = z̄ · w̄
4. 商の共役：(z/w)̄ = z̄ / w̄
5. 累乗の共役：(z^n)̄ = (z̄)^n
6. z + z̄ = 2a（実数）
7. z × z̄ = a² + b²（実数）
8. |z|² = z × z̄

主な応用

• 分母の有理化（実数化）
• 複素数の逆数計算
• 方程式の複素数解（共役ペアで現れる）
• 物理・工学の計算（電気回路、量子力学、信号処理など）

計算のコツ

• 分数の分母は必ず複素共役をかけて実数化
• z × z̄ は常に実数（|z|²）になることを覚えておく
• 性質を活用すれば計算が簡単になる