図形の重要な定理を一覧で紹介！数学をもっと理解するために

「図形の問題って、いろんな定理があって覚えきれない…」
「何をどう使えばいいか分からない」
そんな悩みを持っていませんか？

数学の図形問題では、定理を知っているだけで解ける問題がぐっと増えます。

逆に知らないと、どこから手を付けていいか分からなくなりがちです。

この記事では、中学〜高校でよく使う図形の定理を一覧で紹介します。

あわせて簡単な使い方やポイントもまとめたので、ぜひ理解を深めてみてください。

三角形に関する重要な定理

三角形は図形問題の基本です。ここで紹介する定理は、高校入試や大学入試でもよく出題されます。

正弦定理（サイン定理）

定理の内容

任意の三角形ABCにおいて、

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

（Rは外接円の半径）

使うタイミング

• 角度と辺の長さが混在している問題
• 外接円の半径を求める問題
• 角度がわかっていて、対応する辺を求めたい場合

覚え方のコツ

「辺の長さ ÷ 向かい合う角のサイン = 一定」と覚えましょう。

余弦定理（コサイン定理）

定理の内容

c² = a² + b² - 2ab cos C

使うタイミング

• 三辺の長さがすべてわかっている場合
• 二辺とその間の角がわかっている場合
• 角度が鋭角か鈍角かを調べたい場合

ピタゴラスの定理との関係

角Cが90度のとき、cos C = 0になるので、c² = a² + b² となります。つまり、ピタゴラスの定理は余弦定理の特別な場合なんです。

三角形の面積公式

定理の内容

面積 = (1/2) × a × b × sin C

使うタイミング

• 高さがわからないとき
• 二辺とその間の角がわかっている場合
• 座標平面上での三角形の面積を求める場合

従来の公式との違い

「底辺 × 高さ ÷ 2」では高さを求める必要がありますが、この公式なら直接計算できます。

円に関する重要な定理

円の問題は図形問題の中でも特に重要です。パターンを覚えておくと、確実に得点できる分野でもあります。

円周角の定理

定理の内容

円の同じ弧に対する円周角は、どこから見ても等しい角度になります。また、円周角は中心角の半分になります。

使うタイミング

• 円の問題で角度を求める場合
• 四角形が円に内接することを証明する場合
• 角度の等しさを示したい場合

よくあるパターン

• 半円に内接する角は必ず90度
• 同じ弧を見る円周角はすべて等しい

接弦定理

定理の内容

接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角に等しくなります。

使うタイミング

• 問題文に「接線」という言葉が出てきた場合
• 円の外部の点から引いた接線に関する問題
• 角度の関係を調べる問題

見分け方

図に接線が描かれていたら、この定理を疑ってみましょう。

方べきの定理

定理の内容

円の外部（または内部）の一点から円に引いた二本の直線について、交点までの距離の積は一定になります。

PA × PB = PC × PD

使うタイミング

• 円と直線の交点に関する問題
• 線分の長さの関係を調べる問題
• 比例関係を見つける問題

応用例

この定理を使うと、一つの長さがわからなくても、他の三つがわかれば計算で求められます。

四角形と多角形に関する定理

四角形や多角形の問題では、内角の性質や特別な条件を使った問題がよく出題されます。

多角形の内角の和

定理の内容

n角形の内角の和は 180° × (n - 2) で計算できます。

• 三角形（3角形）：180° × (3-2) = 180°
• 四角形：180° × (4-2) = 360°
• 五角形：180° × (5-2) = 540°
• 六角形：180° × (6-2) = 720°

覚え方のコツ

「角の数から2を引いて、180をかける」と覚えましょう。

円に内接する四角形の条件

定理の内容

四角形が円に内接するための条件は、向かい合う角（対角）の和が180°になることです。

使うタイミング

• 四角形が円に内接することを証明する問題
• 円に内接する四角形の角度を求める問題
• 逆に、対角の和から円に内接するかどうかを判定する問題

実用例

対角の和が180°でない四角形は、円に内接できません。

知っておくと便利なその他の定理

基本的な定理以外にも、覚えておくと役立つ定理があります。

ヘロンの公式

定理の内容

三角形の三辺の長さ a、b、c がわかっているときの面積を求める公式です。

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

ここで、s = (a+b+c)/2（半周の長さ）

使うタイミング

• 三辺の長さだけがわかっている場合
• 角度が全くわからない三角形の面積を求める場合
• 座標が与えられていない図形問題

計算のコツ

sを先に計算してから、(s-a)、(s-b)、(s-c)を順番に計算すると間違いにくいです。

ピタゴラスの定理

定理の内容

直角三角形において、斜辺の二乗は他の二辺の二乗の和に等しくなります。

c² = a² + b²

使うタイミング

• 直角三角形の一辺を求める場合
• 三辺の長さから直角三角形かどうかを判定する場合
• 座標平面上での距離を求める場合

逆の使い方

三辺がピタゴラスの定理を満たすなら、その三角形は直角三角形です。これは「ピタゴラスの定理の逆」と呼ばれます。

まとめ

図形問題は「どの定理を使うか」がわかれば一気に楽になります。今回紹介したように、

分野別の重要定理

• 三角形 → 正弦定理・余弦定理・面積公式
• 円 → 円周角の定理、接弦定理、方べきの定理
• 四角形 → 内角の和、円に内接する条件
• その他 → ヘロンの公式、ピタゴラスの定理

定理を覚えるコツ

1. 公式の意味を理解する：丸暗記ではなく、なぜその式になるのかを考える
2. 問題パターンと対応させる：「この問題なら〇〇定理」という対応を覚える
3. 実際に使ってみる：練習問題を解いて、使い方に慣れる