統計の「期待値」とは？求め方と基本の考え方をわかりやすく解説

「統計学の期待値って、なんだか難しそう…」
「数学の授業で出てきたけど、いったい何に使うの？」

統計学や確率論で非常に重要な「期待値」という概念。

高校の数学や大学の授業で習ったものの、「結局何のことかよくわからない」という方も多いのではないでしょうか。

この記事では、期待値の意味と基本的な求め方を、数学が苦手な方でも理解できるように丁寧に解説します。

身近な例を使いながら、「なぜ期待値が大切なのか」「どんなときに使うのか」も一緒に学んでいきましょう。

期待値とは何か？

簡単な言葉で説明すると

期待値とは、「長い間やり続けたら、だいたいこのくらいの値になるよ」という平均的な結果のことです。

たとえば、宝くじを何回も何回も買い続けたとき、「平均的にはどのくらい当たるのか」を計算したものが期待値です。

正確な定義

統計学的には、期待値は確率変数の平均的な値や「長期的に期待される結果の平均」を表します。

もう少し詳しく言うと：

• 「確率的にどのくらいの値が出るかの平均値」
• 「それぞれの結果に、その結果が出る確率をかけて足し合わせた値」
• 「理論上の平均値」

なぜ「期待値」という名前なの？

「期待」という言葉がついているので、「希望する値」と思いがちですが、実際は違います。

「期待値」の「期待」は、「予想される」「見込まれる」という意味です。

つまり、「この値が出ることが予想される」という意味で「期待値」と呼ばれています。

身近な例で理解しよう

例① コイン投げゲーム

まずは簡単な例から見てみましょう。

ゲームのルール

• コインを投げて表が出たら100円もらえる
• 裏が出たら0円
• 参加費は無料

このゲームを何回もやったら、平均でいくらもらえるでしょうか？

計算方法

• 表が出る確率：2分の1（0.5）
• 裏が出る確率：2分の1（0.5）
• 表が出たときのもらえる金額：100円
• 裏が出たときのもらえる金額：0円

期待値 = 100円 × 0.5 + 0円 × 0.5 = 50円

つまり、このゲームを長期間やり続けると、平均して1回につき50円もらえるということになります。

例② くじ引きの期待値

もう少し複雑な例を見てみましょう。

くじの内容

• 1等（1000円）：10分の1の確率
• 2等（500円）：10分の2の確率
• 3等（100円）：10分の3の確率
• はずれ（0円）：10分の4の確率

計算

期待値 = 1000円 × 0.1 + 500円 × 0.2 + 100円 × 0.3 + 0円 × 0.4 = 100円 + 100円 + 30円 + 0円 = 230円

このくじを引き続けると、平均して1回につき230円の価値があるということです。

もしこのくじ1枚の値段が300円だったら？
230円 – 300円 = -70円となり、平均して70円の損になることがわかります。

期待値の求め方（計算方法）

離散型確率変数の場合

「離散型」とは、取りうる値が決まっている場合のことです（サイコロの目、くじの等級など）。

公式

E(X) = Σ(xi × pi)

説明

• E(X)：期待値
• xi：i番目の値
• pi：xi が起こる確率
• Σ：すべての i について足し合わせる

具体的な手順

1. 起こりうるすべての結果を列挙する
2. それぞれの結果の確率を求める
3. 「結果の値 × その確率」を計算する
4. すべての結果について計算したものを足し合わせる

一言で言えば、それぞれの値と確率を掛け算した積の合計値を求めるんです。

実践例：サイコロの期待値

普通の6面サイコロを振ったときの出る目の期待値を計算してみましょう。

情報整理

• 出る目：1, 2, 3, 4, 5, 6
• それぞれの確率：6分の1ずつ（約0.167）

計算過程

E(X) = 1 × (1/6) + 2 × (1/6) + 3 × (1/6) + 4 × (1/6) + 5 × (1/6) + 6 × (1/6)
     = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × (1/6)
     = 21 × (1/6)
     = 3.5

結果の意味

サイコロを振り続けると、平均して3.5の目が出ることになります。
実際には3.5という目は存在しませんが、これが理論上の平均値です。

連続型確率変数の場合

「連続型」とは、取りうる値が連続している場合のことです（身長、体重、時間など）。

公式

E(X) = ∫ x × f(x) dx

説明

• f(x)：確率密度関数
• ∫：積分記号（連続型では積分を使う）

この計算は高校数学の積分の知識が必要になるため、詳細は大学レベルの統計学で学習します。
基本的な考え方は離散型と同じで、「値 × その値が起こる確率」を全範囲にわたって足し合わせる（積分する）ことです。

期待値の重要な性質

線形性（足し算と掛け算のルール）

期待値には便利な性質があります。

定数倍の性質 E(aX) = a × E(X)

例：サイコロの目を2倍したゲームの期待値 サイコロの期待値が3.5なので、2倍すると3.5 × 2 = 7

足し算の性質 E(X + Y) = E(X) + E(Y)

例：2つのサイコロを振って合計する場合 それぞれの期待値が3.5なので、合計の期待値は3.5 + 3.5 = 7

定数を足す場合 E(X + c) = E(X) + c

例：サイコロの目に10を足すゲームの場合 期待値は3.5 + 10 = 13.5

期待値と実際の結果の違い

大切なことは、期待値は「平均的な値」であって、「必ず出る値」ではないということです。

サイコロの例で考えると

• 期待値は3.5
• でも実際に3.5の目が出ることはない
• 1回だけ振ったら、1から6のどれかが出る
• 何百回、何千回と振り続けると、平均が3.5に近づいていく

この性質を「大数の法則」といいます。

期待値の使い道と応用例

ゲームや賭け事の分析

パチンコ・スロットの期待値

• お店側は期待値をマイナスに設定している
• プレイヤーは長期的には損をする仕組み
• 「勝てるかどうか」を数学的に判断できる

宝くじの期待値

• 多くの宝くじは期待値が購入価格を下回る
• 例：300円の宝くじの期待値が150円など
• エンターテイメントとして楽しむもの

ビジネスでの活用

投資の期待収益率

• 株式投資や債券投資の期待リターンを計算
• リスクとリターンのバランスを判断
• ポートフォリオ最適化に使用

保険業界

• 保険金の支払い期待値を計算
• 保険料の設定に使用
• リスク管理の基本ツール

マーケティング

• キャンペーンの期待効果を計算
• 広告費用対効果の予測
• 新商品の売上予測

日常生活での判断

交通手段の選択

• 電車とバスの到着時間の期待値を比較
• 遅延リスクを含めた判断

買い物の判断

• セール期間を待つかどうか
• まとめ買いの期待メリット

進路選択

• 大学や専攻の期待収入
• 資格取得の期待メリット

よくある間違いと注意点

間違い① 期待値＝必ず起こる結果

間違った考え方 「サイコロの期待値が3.5だから、平均的に3.5の目が出る」

正しい考え方 「たくさん振ったときの平均値が3.5に近づく」

間違い② 期待値が高い＝必ず得

間違った考え方 「期待値がプラスのゲームは必ず勝てる」

正しい考え方 「長期的には利益が期待できるが、短期的には損する可能性もある」

間違い③ 確率の理解不足

よくある間違い

• 確率の合計が1にならない
• 条件付き確率を考慮していない
• 独立性を間違って仮定している

注意点：分散とリスク

期待値だけでは、結果のばらつき（リスク）がわかりません。

例：2つの投資商品

• 商品A：期待収益率5%、リスクが小さい
• 商品B：期待収益率5%、リスクが大きい

期待値は同じでも、商品Bの方が大きく損する可能性があります。
このようなばらつき（リスク）を表すのが「分散」や「標準偏差」です。

練習問題で理解を深めよう

問題① 簡単なくじ引き

以下のくじの期待値を計算してください。

• 当たり（500円）：確率20分の1
• はずれ（0円）：確率20分の19

問題② ゲームの損益分析

参加費100円のゲームがあります。

• 1等（1000円）：確率100分の1
• 2等（200円）：確率100分の9
• はずれ（0円）：確率100分の90

このゲームの期待値は？参加した方がいい？

問題③ 実生活での応用

傘を持参するかどうかの判断：

• 雨が降る確率：30%
• 傘を忘れて雨に濡れたときの損失：1000円相当
• 傘を持参するコスト：50円相当（重さ、荷物）

傘を持参すべき？

まとめ

期待値について覚えておくべきポイント

基本概念

• 期待値は「長期的な平均値」を表す
• 「値 × 確率」をすべて足し合わせて計算
• 短期的な結果とは異なる場合がある

計算方法

• 離散型：E(X) = Σ(xi × pi)
• 連続型：積分を使用（大学レベル）
• 線形性の性質を活用できる

実用性

• ゲームや投資の判断に役立つ
• ビジネスでのリスク管理に使用
• 日常生活の合理的判断にも応用可能

期待値を理解することの意義

期待値を理解することで、感情に左右されない合理的な判断ができるようになります。

例えば

• 宝くじを「夢を買う」として楽しむのか、「投資」として考えるのかを区別できる
• ギャンブルの仕組みを数学的に理解できる
• ビジネスや投資での意思決定に活用できる