複素数の累乗を計算する時、「(1+i)^10なんて計算できない…」と思ったことはありませんか?
実は、ド・モアブルの定理を使えば、どんなに大きな累乗でも簡単に計算できるんです。
この定理は、複素数平面における最も美しく、そして実用的な定理の一つです。
今回は、ド・モアブルの定理の意味から証明、そして具体的な応用例まで、しっかり理解できるように解説していきます。
ド・モアブルの定理とは？
まず、定理の内容を確認しましょう。
定理の内容
ド・モアブルの定理
整数nに対して、次の等式が成り立つ。
(cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ)
この定理は、複素数の累乗を計算する際に非常に強力です。
定理の意味を理解しよう
この定理が何を言っているのか、分かりやすく説明します。
絶対値が1の複素数をn乗すると、偏角がn倍になる
これだけです！シンプルですよね。
複素数平面上で考えると、回転を表しています。
角度θの複素数をn回掛け合わせると、角度がnθになるということです。
一般形
絶対値がrの複素数z = r(cosθ + isinθ)の場合は：
z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
絶対値はn乗、偏角はn倍になります。
複素数の極形式を復習
ド・モアブルの定理を使うには、複素数の極形式を理解しておく必要があります。
極形式とは
複素数 z = a + bi を、以下の形で表したものを極形式といいます。
z = r(cosθ + isinθ)
ここで：
- r：絶対値（または大きさ）
- θ：偏角（または角度）
絶対値と偏角の求め方
絶対値r
r = √(a² + b²)
複素数平面上で原点からの距離です。
偏角θ
tan θ = b/a から求めます。
ただし、複素数がどの象限にあるかを考慮する必要があります。
極形式への変換例
例：z = 1 + i を極形式に変換
絶対値：r = √(1² + 1²) = √2
偏角：tan θ = 1/1 = 1 なので、θ = π/4（第1象限）
したがって：z = √2(cos(π/4) + isin(π/4))
ド・モアブルの定理の証明
定理がなぜ成り立つのか、数学的帰納法で証明します。
証明の準備
証明したい命題：P(n) = (cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ)
これがすべての整数nで成り立つことを示します。
n ≥ 1 の場合（数学的帰納法）
ステップ1：n = 1 の場合
(cosθ + isinθ)^1 = cosθ + isinθ = cos(1・θ) + isin(1・θ)
明らかに成立します。
ステップ2：n = k で成立すると仮定
(cosθ + isinθ)^k = cos(kθ) + isin(kθ) が成り立つと仮定します。
ステップ3：n = k+1 でも成立することを示す
(cosθ + isinθ)^(k+1) を計算します。
(cosθ + isinθ)^(k+1)
= (cosθ + isinθ)^k × (cosθ + isinθ)
仮定より：
= (cos(kθ) + isin(kθ)) × (cosθ + isinθ)
展開すると：
= cos(kθ)cosθ – sin(kθ)sinθ + i(sin(kθ)cosθ + cos(kθ)sinθ)
ここで三角関数の加法定理を使います：
- cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB
- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
したがって：
= cos(kθ + θ) + isin(kθ + θ)
= cos((k+1)θ) + isin((k+1)θ)
これで n = k+1 でも成立することが示されました。
結論
n = 1 で成立し、n = k で成立すれば n = k+1 でも成立するので、すべての自然数nで成立します。
n = 0 の場合
(cosθ + isinθ)^0 = 1 = cos(0) + isin(0)
これも成立します。
n < 0 の場合
n = -m（mは自然数）とすると：
(cosθ + isinθ)^(-m) = 1/(cosθ + isinθ)^m
分母を有理化すると：
= 1/(cos(mθ) + isin(mθ))
= (cos(mθ) – isin(mθ))/(cos²(mθ) + sin²(mθ))
= cos(mθ) – isin(mθ)
= cos(-mθ) + isin(-mθ)
したがって、負の整数でも成立します。
ド・モアブルの定理の使い方
実際に定理を使って問題を解いてみましょう。
例題1：複素数の累乗を計算
(1 + i)^6 を計算せよ。
解答
まず、1 + i を極形式に変換します。
絶対値：r = √(1² + 1²) = √2
偏角：θ = π/4（第1象限）
したがって：1 + i = √2(cos(π/4) + isin(π/4))
ド・モアブルの定理を適用：
(1 + i)^6 = (√2)^6(cos(6・π/4) + isin(6・π/4))
= 8(cos(3π/2) + isin(3π/2))
= 8(0 + i(-1))
= -8i
答え：-8i
例題2：複雑な累乗
(√3 + i)^5 を計算せよ。
解答
極形式に変換：
r = √((√3)² + 1²) = √(3 + 1) = 2
θ = π/6（第1象限、tan θ = 1/√3）
したがって：√3 + i = 2(cos(π/6) + isin(π/6))
ド・モアブルの定理を適用：
(√3 + i)^5 = 2^5(cos(5π/6) + isin(5π/6))
= 32(cos(5π/6) + isin(5π/6))
= 32(-√3/2 + i・1/2)
= -16√3 + 16i
答え：-16√3 + 16i
例題3：負の累乗
(1 – i)^(-4) を計算せよ。
解答
極形式に変換：
r = √2
θ = -π/4（第4象限）
1 – i = √2(cos(-π/4) + isin(-π/4))
ド・モアブルの定理を適用：
(1 – i)^(-4) = (√2)^(-4)(cos(-4・(-π/4)) + isin(-4・(-π/4)))
= 1/4(cos(π) + isin(π))
= 1/4(-1 + i・0)
= -1/4
答え：-1/4
三角関数のn倍角公式への応用
ド・モアブルの定理は、三角関数の倍角公式を導くのにも使えます。
3倍角の公式を導出
sin3θ と cos3θ を求める
ド・モアブルの定理で n = 3 とすると：
(cosθ + isinθ)^3 = cos3θ + isin3θ
左辺を展開します（二項定理を使用）：
(cosθ + isinθ)^3
= cos³θ + 3cos²θ(isinθ) + 3cosθ(isinθ)² + (isinθ)³
i² = -1 なので：
= cos³θ + 3icos²θsinθ – 3cosθsin²θ – isin³θ
実部と虚部に分けます：
実部：cos³θ – 3cosθsin²θ
虚部：3cos²θsinθ – sin³θ
これが cos3θ + isin3θ と等しいので：
cos3θ = cos³θ – 3cosθsin²θ
sin²θ = 1 – cos²θ を使うと：
= cos³θ – 3cosθ(1 – cos²θ)
= 4cos³θ – 3cosθ
sin3θ = 3cos²θsinθ – sin³θ
cos²θ = 1 – sin²θ を使うと：
= 3(1 – sin²θ)sinθ – sin³θ
= 3sinθ – 4sin³θ
これが3倍角の公式です！
複素数のn乗根の計算
ド・モアブルの定理は、方程式 z^n = w を解くのにも使えます。
1のn乗根
x^3 = 1 を満たす複素数xをすべて求めよ。
解答
解を z = cosθ + isinθ（絶対値1）とします。
ド・モアブルの定理より：
z^3 = cos3θ + isin3θ = 1 = cos0 + isin0
したがって：
3θ = 0 + 2πk（kは整数）
θ = 2πk/3
0 ≤ θ < 2π の範囲で考えると：
- k = 0：θ = 0
- k = 1：θ = 2π/3
- k = 2：θ = 4π/3
したがって、3つの解は：
x₁ = cos0 + isin0 = 1
x₂ = cos(2π/3) + isin(2π/3) = -1/2 + i√3/2
x₃ = cos(4π/3) + isin(4π/3) = -1/2 – i√3/2
これらは複素数平面上で正三角形を形成します。
一般のn乗根
方程式 z^n = w を解く手順：
- w を極形式 w = r(cosα + isinα) で表す
- z = r^(1/n)(cos((α+2πk)/n) + isin((α+2πk)/n))
- k = 0, 1, 2, …, n-1 でn個の解を得る
オイラーの公式との関係
ド・モアブルの定理は、オイラーの公式とも深く関係しています。
オイラーの公式
e^(iθ) = cosθ + isinθ
この公式を使うと、ド・モアブルの定理は指数法則から直ちに導けます。
(e^(iθ))^n = e^(inθ)
つまり：
(cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ)
この視点から見ると、ド・モアブルの定理は指数法則の一種とも言えます。
cis記法
cosθ + isinθ を簡潔に書くため、cis θ という記法もあります。
cis θ = cosθ + isinθ
この記法を使うと、ド・モアブルの定理は：
(cis θ)^n = cis(nθ)
とシンプルに書けます。
よくある間違いと注意点
ド・モアブルの定理を使う際の注意点をまとめます。
nは整数に限る
ド・モアブルの定理は、nが整数の場合のみ成立します。
n = 1/2 のような分数では、一般には成り立ちません。
これは、複素数の累乗が多価関数になるためです。
極形式に変換すること
定理を使う前に、必ず複素数を極形式に変換してください。
a + bi の形のまま定理は使えません。
偏角の範囲に注意
偏角は通常 0 ≤ θ < 2π の範囲で考えます。
計算結果が2πを超えたら、2πで割った余りを求めましょう。
例：5π/2 = π/2（2πを引く）
象限の判定
極形式に変換する際、複素数がどの象限にあるか正しく判定してください。
tan θ だけでなく、実部と虚部の符号も確認しましょう。
まとめ：ド・モアブルの定理で複素数計算を簡単に
ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を驚くほど簡単に計算できる強力な道具です。
定理の要点
整数nに対して：
(cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ)
一般形：
z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
証明方法
数学的帰納法と三角関数の加法定理を使用します。
主な応用
- 複素数の累乗計算
- 複素数のn乗根の計算
- 三角関数のn倍角公式の導出
- 複素数方程式の解法
使い方のコツ
- まず複素数を極形式に変換
- ド・モアブルの定理を適用
- 必要に応じて直交形式に戻す
最初は難しく感じるかもしれませんが、何度も練習すれば自然と使えるようになります。
極形式への変換さえできれば、あとは定理を当てはめるだけです。
複素数の世界がぐっと広がる美しい定理、ぜひマスターしてくださいね！
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