組み合わせCがスラスラわかる！公式の意味から計算方法まで完全マスター

数学

「組み合わせのCって、Pとどう違うの？」 「₅C₃の計算方法がいつも混乱する…」 「なんで階乗（！）が出てくるの？」 「実生活でいつ使うの？宝くじの当選確率？」

数学の授業で突然現れるC（コンビネーション）。 見た目も計算も複雑そうで、多くの人が苦手意識を持っていますよね。

でも実は、組み合わせCは**「選ぶ」という日常的な行為を数式にしただけ**なんです。 5人から3人を選ぶ、10個のお菓子から3個選ぶ…これがまさに組み合わせ！

この記事では、小学生でも理解できる例え話から始めて、大学入試レベルまで段階的に解説。 さらに、電卓での計算方法やエクセルでの求め方まで、実用的な内容も満載です。

読み終わる頃には、「なんだ、組み合わせCってこんなに簡単だったのか！」と思えるはずです。

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組み合わせCとは？3分でわかる基本概念

一言で説明すると…

組み合わせC（Combination）は、「順番を考えずに選ぶ場合の数」を表す記号です。

身近な例で理解しよう

例1：友達とランチに行く

5人の友達（A、B、C、D、E）から3人を選んでランチに行く場合：

  • A、B、C を選ぶ
  • A、C、B を選ぶ

この2つは同じ組み合わせとして数えます。 誰が先に選ばれたかは関係ないからです。

これが ₅C₃（5人から3人を選ぶ組み合わせ）です！

順列Pとの決定的な違い

項目組み合わせ（C）順列（P）
順番考えない考える
例チーム選び並び順
ABC と BAC同じ（1通り）違う（2通り）
使用場面選ぶ、組を作る並べる、順位を決める
計算順列÷並べ替えn!/(n-r)!

覚え方：

  • Combination = Choose（選ぶ）
  • Permutation = Place（配置する）

組み合わせCの記号と読み方

正しい表記方法

組み合わせは以下のように書きます：

1. 標準的な表記

nCr
  • n：全体の数
  • r：選ぶ数
  • C：Combinationの頭文字

2. 実際の使用例

  • ₅C₃ = 5個から3個選ぶ組み合わせ
  • ₁₀C₄ = 10個から4個選ぶ組み合わせ
  • ₙCᵣ = n個からr個選ぶ組み合わせ

読み方のバリエーション

₅C₃ の読み方：

  1. 「ごシーさん」（最も一般的）
  2. 「5コンビネーション3」
  3. 「5個から3個選ぶ組み合わせ」

他の表記方法

数学の分野によって異なる表記も：

C(n,r)  （関数表記）
(n r)   （二項係数表記）
C_n^r   （上付き表記）

どれも同じ意味ですが、日本では nCr が主流です。

組み合わせCの公式と計算方法

基本公式：これだけ覚えればOK！

nCr = n! / (r! × (n-r)!)

階乗（！）って何？

階乗は、その数から1まで順番に掛け算することです。

  • 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 3! = 3 × 2 × 1 = 6
  • 0! = 1（定義）

実際に計算してみよう：₅C₃の場合

方法1：公式をそのまま使う

₅C₃ = 5! / (3! × 2!)
    = 120 / (6 × 2)
    = 120 / 12
    = 10

方法2：約分を使った簡単計算

₅C₃ = (5 × 4 × 3!) / (3! × 2 × 1)
    = (5 × 4) / (2 × 1)  ← 3!が約分で消える
    = 20 / 2
    = 10

💡 計算のコツ： 分子と分母で同じ階乗があれば、先に約分すると楽！

よく出る組み合わせの値（暗記推奨）

式値覚え方
₃C₁33つから1つ選ぶ
₄C₂6トランプのペア
₅C₂105人で握手する回数
₅C₃10₅C₂と同じ
₆C₃20
₇C₂21
₁₀C₂45

なぜこの公式になるの？直感的な理解

ステップで考える組み合わせ

₅C₃を例に、なぜ10通りになるか理解しましょう。

Step1：まず順列で考える

5人から3人を順番付きで選ぶと：

  • 1人目：5通り
  • 2人目：4通り
  • 3人目：3通り
  • 合計：5 × 4 × 3 = 60通り

Step2：重複を除く

でも組み合わせでは順番は関係ない！ ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA は全部同じ。

3人の並べ替えは 3! = 6通り

Step3：割り算で求める

組み合わせ = 順列 ÷ 並べ替え
₅C₃ = 60 ÷ 6 = 10

これが公式 n!/(r! × (n-r)!) の意味です！

図解で理解する

5人から3人選ぶ全パターン：

{A,B,C} {A,B,D} {A,B,E}
{A,C,D} {A,C,E} {A,D,E}
{B,C,D} {B,C,E} {B,D,E}
{C,D,E}

合計10通り！

実践！いろいろな組み合わせ問題

基本問題：クラスから委員を選ぶ

**問題：**30人のクラスから学級委員3人を選ぶ方法は何通り？

解答：

₃₀C₃ = 30! / (3! × 27!)
     = (30 × 29 × 28) / (3 × 2 × 1)
     = 24360 / 6
     = 4060通り

応用問題1：男女混合で選ぶ

**問題：**男子5人、女子4人から3人選ぶ。ただし男女とも最低1人は含む。

解き方：

  1. 全体から3人選ぶ：₉C₃
  2. 男子だけ3人：₅C₃
  3. 女子だけ3人：₄C₃（実際は不可能）

**答え：**₉C₃ – ₅C₃ = 84 – 10 = 74通り

応用問題2：条件付き選択

**問題：**10冊の本から3冊選ぶ。ただし、特定の2冊は必ず含める。

解き方：

  • 特定の2冊は確定
  • 残り8冊から1冊選ぶ

**答え：**₈C₁ = 8通り

実生活での応用例

宝くじ（ロト6）

43個の数字から6個選ぶ：

₄₃C₆ = 6,096,454通り

当選確率は約600万分の1！

トーナメントの試合数

8チームの総当たり戦：

₈C₂ = 28試合

ピザのトッピング

10種類から3種類選ぶ：

₁₀C₃ = 120通り

電卓・エクセル・プログラムでの計算方法

関数電卓での計算

CASIOの場合

  1. 数字を入力（例：5）
  2. 「nCr」ボタンを押す
  3. 選ぶ数を入力（例：3）
  4. 「=」を押す

スマホの電卓アプリ

  • iPhoneは横画面にすると科学電卓モードに
  • 「C」や「nCr」ボタンを探す

Excelでの計算方法

COMBIN関数を使う

=COMBIN(5,3)

結果：10

実用例：複数の組み合わせを一覧化

A列B列C列（数式）結果
n=5r=0=COMBIN(A1,B1)1
n=5r=1=COMBIN(A2,B2)5
n=5r=2=COMBIN(A3,B3)10
n=5r=3=COMBIN(A4,B4)10
n=5r=4=COMBIN(A5,B5)5
n=5r=5=COMBIN(A6,B6)1

プログラミングでの実装

Python

import math
result = math.comb(5, 3)  # 10

JavaScript

function combination(n, r) {
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r));
}

重要な性質と公式集

対称性：nCr = nC(n-r)

₅C₃ = ₅C₂ = 10
₁₀C₃ = ₁₀C₇ = 120

**意味：**5人から3人選ぶ ＝ 5人から2人を外す

パスカルの三角形との関係

        1           (₀C₀)
       1 1          (₁C₀ ₁C₁)
      1 2 1         (₂C₀ ₂C₁ ₂C₂)
     1 3 3 1        (₃C₀ ₃C₁ ₃C₂ ₃C₃)
    1 4 6 4 1       (₄C₀ ₄C₁ ₄C₂ ₄C₃ ₄C₄)

各数字が組み合わせの値になっています！

二項定理との関係

(a + b)ⁿ = Σ(nCr × aⁿ⁻ʳ × bʳ)

例：(a + b)³ = ₃C₀a³ + ₃C₁a²b + ₃C₂ab² + ₃C₃b³

よく使う公式まとめ

公式意味
nC0 = 1何も選ばない方法は1通り
nC1 = n1つ選ぶ方法はn通り
nCn = 1全部選ぶ方法は1通り
nCr = nC(n-r)対称性
nCr + nC(r+1) = (n+1)C(r+1)パスカルの法則

間違えやすいポイントと注意事項

よくある間違い1：順列と混同

❌ 間違い： 「5人から会長・副会長・書記を選ぶ」→ ₅C₃

✅ 正解： 役職が異なる → 順列 ₅P₃ = 60通り

よくある間違い2：0の扱い

**問題：**₅C₀ は？

答え：1（何も選ばない方法は1通り）

多くの人が「0」と答えてしまいますが、必ず1です！

よくある間違い3：重複組み合わせ

同じものを何度も選べる場合は、通常の組み合わせと違います。

**例：**3種類のアイスから重複を許して2個選ぶ → 重複組み合わせ ₃H₂ = ₄C₂ = 6通り

計算ミスを防ぐコツ

  1. 約分を先にする
    • 階乗をすべて計算せず、約分できる部分を探す
  2. 対称性を利用
    • ₁₀C₇ より ₁₀C₃ の方が計算しやすい
  3. 検算する
    • nCr ≤ nPr であることを確認
    • パスカルの三角形で確認

受験・資格試験での頻出パターン

大学入試での出題傾向

パターン1：単純な組み合わせ

  • 委員選出
  • グループ分け
  • 図形の選択

パターン2：条件付き組み合わせ

  • 「少なくとも1人は〜」
  • 「〜を除いて」
  • 「男女混合で」

パターン3：組み合わせ＋確率

  • くじ引き問題
  • カード選択
  • サイコロ問題

解法テクニック

「少なくとも」は余事象で

「少なくとも1個」= 全体 -「0個」

「ちょうど」は場合分け

「ちょうど2個」= その条件のみ計算

図を描いて整理

複雑な問題は視覚化が有効！

組み合わせCの実用例：身の回りの活用

スポーツ

サッカーのフォーメーション

23人から11人のスタメン選出：

₂₃C₁₁ = 1,352,078通り

料理・食事

定食の組み合わせ

主菜5種、副菜4種から各1種選ぶ：

₅C₁ × ₄C₁ = 20通り

ビジネス

プロジェクトチーム編成

10人から3人のチームを作る：

₁₀C₃ = 120通り

ゲーム・娯楽

ポーカーの役

52枚から5枚選ぶ：

₅₂C₅ = 2,598,960通り

麻雀の配牌

136枚から13枚選ぶ（実際はもっと複雑）

まとめ：組み合わせCはもう怖くない！

組み合わせCについて、基礎から応用まで完全にマスターできましたね！

絶対に覚えておくべきポイント：

✅ 組み合わせC = 順番を考えない選び方
✅ 公式：nCr = n!/(r! × (n-r)!)
✅ 順列との違い：順番の有無
✅ 対称性：nCr = nC(n-r)
✅ 計算のコツ：約分を先に

レベル別学習ガイド：

📗 初級者 → まず₅C₃までの計算をマスター
📘 中級者 → 条件付き問題にチャレンジ
📙 上級者 → 重複組み合わせや二項定理へ

実は組み合わせは…

日常生活で無意識に使っている考え方。 「今日のランチ何にしよう」「どの服を着よう」 これらすべてが組み合わせの思考なんです。

数式にすると難しく見えますが、本質はとてもシンプル。 「選ぶ」という行為を数値化しただけ。

この記事を何度も読み返して、組み合わせCを完全に自分のものにしてください！

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