共分散とは何か：統計学の重要概念を中学生でも分かるように解説

数学

共分散（covariance）は、2つの物事が一緒に変化するかどうかを測る統計の道具です。

例えば、こんなことが分かります：

  • 勉強時間が増えるとテストの点数も上がるか
  • 気温が上がるとアイスクリームの売上も増えるか

この概念は投資、ビジネス、科学研究など幅広い分野で活用されています。 データから意味のある関係性を見つけ出すために不可欠なツールなのです。

スポンサーリンク

共分散の基本的な定義：「一緒に変化する」を測る

共分散を理解する最も簡単な方法は、「2つのものが一緒に動くかどうか」を調べる道具として考えることです。

友達2人が似たような行動をとるかどうかを観察するようなものです。 一人が勉強時間を増やすとき、もう一人も増やす傾向があれば、これは正の共分散の関係といえます。

共分散の計算の仕組み

共分散は次のように計算されます：

  1. 2つの変数（測定する項目）がそれぞれの平均値からどれだけ離れているかを調べる
  2. それらを掛け合わせる
  3. その平均を取る

結果の意味：

  • 両方が平均より高い、または両方が平均より低い → 正の値
  • 片方が高くて片方が低い → 負の値

身近な例で理解する

クラスの生徒の身長と体重の関係を考えてみましょう。

背の高い生徒は体重も重い傾向があります。 これは身長が平均より高い生徒は、体重も平均より重いことが多いという意味です。 つまり、正の共分散を示すのです。

正・負・ゼロの共分散が意味すること

正の共分散：一緒に増減する関係

正の共分散は、2つの変数が同じ方向に動く傾向があることを示します。

勉強時間とテストの点数

勉強時間が増えるほどテストの点数も上がる傾向があります：

  • 1日1時間勉強 → 平均70点
  • 1日2時間勉強 → 平均80点
  • 1日3時間勉強 → 平均85点

気温とアイスクリーム売上

夏の暑い日と涼しい日の違い：

  • 30℃以上の日 → 1日1000個売れる
  • 20℃の日 → 300個しか売れない

ゲームでの例

League of Legendsのデータでは、1日の練習時間とランク上昇に+0.79という強い正の共分散があります。

つまり、練習すればするほど、ランクも上がりやすいということです。

負の共分散：反対に動く関係

負の共分散は、一方が増えると他方が減る関係を表します。

睡眠時間と昼間の疲労感

典型的な負の共分散の例です：

  • 8時間睡眠 → 疲労度2（10段階）
  • 4時間睡眠 → 疲労度8

車の速度と移動時間

速度を上げると時間が短くなります：

  • 時速40km → 30分かかる
  • 時速80km → 15分で着く

投資での例

石油会社の株価と航空会社の株価は負の共分散（-0.00066）を示すことがあります。

理由：

  • 石油価格が上がる → 石油会社は儲かる
  • 同時に → 航空会社は燃料費が増えて利益が減る

ゼロの共分散：関係がない

共分散がゼロということは、2つの変数の間に直線的な関係がないことを意味します。

関係がない例

コーヒーの消費量と知能指数（IQ）

  • コーヒーを1日5杯飲む人も、全く飲まない人も、IQは様々

靴のサイズと睡眠時間

  • 足が大きい人が特別よく眠るわけではない

注意点

ゼロの共分散は「全く関係がない」という意味ではありません。

曲線的な関係や複雑な関係は存在するかもしれません。 共分散では検出できないだけなのです。

分散との違い：1つの変数 vs 2つの変数

分散と共分散の違いを理解することは重要です。

分散：1つの変数のばらつき

分散は「1つの変数のばらつき」を測ります。

例：クラスの数学のテスト

  • 平均70点
  • ある生徒は90点、別の生徒は50点
  • どれくらい点数がばらついているかを表す

分散の大きさ：

  • 小さい：全員が68点から72点の間
  • 大きい：30点から100点までばらついている

共分散：2つの変数の関係

共分散は「2つの変数が一緒に変化するか」を測ります。

例：数学と理科の点数

  • 数学が得意な生徒は理科も得意か？
  • この関係を数値で表す

簡単な例え

  • 分散：クラスの生徒の家から学校までの距離のばらつき
  • 共分散：家が遠い生徒ほど遅刻しやすいかという関係

相関係数との関係：共分散を使いやすくしたもの

相関係数は共分散を標準化したもので、より解釈しやすい指標です。

共分散の問題点

測定単位によって値が変わってしまいます。

身長をセンチメートルで測るかインチで測るかで、体重との共分散の値が全く変わります。

相関係数の利点

共分散を両方の変数の標準偏差で割ることで計算されます。

特徴：

  • 必ず**-1から+1の間の値**になる
  • 異なるデータセット間での比較が可能

値の解釈

身長と体重の共分散が120という値だけでは、関係が強いのか弱いのか判断できません。

しかし、相関係数なら：

  • 0.85：1に近いので強い正の関係
  • 0.3程度：弱い関係
  • 0.7以上：強い関係

実際のデータ分析での活用例

ビジネスでの活用

マーケティング分野

広告費と売上の共分散を分析します。

コカ・コーラの研究：

  • 広告費を100万円増やす
  • 売上が予測可能な量だけ増加

Amazonの推薦システム

「この商品を買った人はこんな商品も買っています」機能も共分散分析に基づいています。

例：ポテトチップスとコーラ

  • 共分散が+0.72という高い値
  • だから一緒に推薦される

投資での活用

ポートフォリオの分散投資は共分散の概念が中心です。

組み合わせる株式：

  1. テスラ株（ハイテク）
  2. コカ・コーラ株（安定した消費財）
  3. ゴールドETF（安全資産）

効果：

  • それぞれの共分散が負または小さい
  • 個別のリスクが平均3.7%
  • 組み合わせると2.9%まで下げられる

研究での活用

医学研究

運動時間と体格指数（BMI）

  • 共分散：-0.89（強い負の値）
  • 運動が肥満予防に効果的であることを数値で証明

環境科学

NASAの研究：

  • 気温が1℃上昇
  • トウモロコシの収穫量が7.4%減少
  • 共分散：-0.83

スポーツとゲームでの活用

eスポーツの分析

Twitchの視聴者数とゲームのアクティブプレイヤー数

Final Fantasy XIVの場合：

  • 共分散：+0.91（非常に強い正の関係）

Counter-Strikeの場合：

  • 練習時間とヘッドショット率
  • 共分散：+0.84
  • 練習の重要性を数値で示す

エクセルとPythonでの計算方法

エクセルでの計算

エクセルには2つの共分散関数があります。

COVARIANCE.S（標本共分散）

データが全体の一部（サンプル）の場合に使用：

=COVARIANCE.S(A2:A10, B2:B10)

COVARIANCE.P（母集団共分散）

データが全体を表す場合に使用：

=COVARIANCE.P(A2:A10, B2:B10)

実際の手順

  1. データを2列に入力
    • A列：数学の点数
    • B列：理科の点数
  2. 空いているセルを選択
  3. =COVARIANCE.S(A2:A10,B2:B10) と入力
  4. Enterキーを押すと共分散が計算される

Pythonでの計算

NumPyを使った基本的な計算

import numpy as np

# データの準備
math_scores = [84, 82, 81, 89, 73]
science_scores = [85, 82, 72, 77, 75]

# 共分散行列の計算
cov_matrix = np.cov(math_scores, science_scores)

# 共分散の値を取得
covariance = cov_matrix[0, 1]
print(f"共分散: {covariance}")

Pandasを使った方法

import pandas as pd

# データフレームの作成
data = {
    'Math': [84, 82, 81, 89, 73],
    'Science': [85, 82, 72, 77, 75]
}
df = pd.DataFrame(data)

# 共分散の計算
covariance = df['Math'].cov(df['Science'])
print(f"数学と理科の共分散: {covariance}")

共分散の限界と注意すべき点

単位依存性の問題

共分散の最大の弱点は、測定単位に依存することです。

身長の測定単位による違い：

  • センチメートルで測る
  • メートルで測る
  • 共分散の値が100倍も変わってしまう

結果として：

  • 異なるデータセット間での比較が困難
  • 値の大きさだけでは関係の強さを判断できない

線形関係のみを捉える

共分散は直線的な関係しか検出できません。

例：運動量と健康の関係

  • 適度な運動 → 健康に良い
  • 過度な運動 → 逆に健康を害する
  • 山型の関係

このような曲線的な関係は、共分散では検出できません。 ゼロに近い値が出る可能性があります。

サンプルサイズの重要性

信頼できる共分散を得るには、少なくとも200以上のデータポイントが必要とされています。

少ないデータの問題：

  • 偶然の影響を受けやすい
  • 実際には存在しない関係を示してしまう可能性

シンプソンのパラドックス

全体で見ると正の関係があるように見えても、グループごとに分けると逆の関係が現れることがあります。

有名な例：1973年のカリフォルニア大学バークレー校の入学データ

  • 全体では男性の方が合格率が高く見えた
  • 学部ごとに見ると女性の方が合格率が高い学部が多かった

共分散行列とその応用

共分散行列は、複数の変数間の全ての共分散を一つの表にまとめたものです。

3つ以上の変数を同時に分析する際に使用されます。

具体例：3科目の成績

生徒の「数学」「理科」「英語」の点数の関係を調べる場合：

  • 3×3の共分散行列ができる
  • 対角線上：各科目の分散
  • それ以外：科目間の共分散

特徴：必ず対称になる （数学と理科の共分散 = 理科と数学の共分散）

主成分分析（PCA）での活用

共分散行列を使ってデータの最も重要な特徴を見つけ出します。

顔認識システム

  • 何千もの顔の特徴から
  • 最も個人を識別しやすい特徴の組み合わせ
  • 共分散行列から導き出す

画像圧縮

  • 元の画像の95%の情報を保つ
  • ファイルサイズを大幅に削減
  • 共分散行列を活用

よくある誤解と間違い

共分散は因果関係を示さない

最も危険な誤解は、共分散があることを因果関係と混同することです。

例：アイスクリームの売上と犯罪率

  • 正の共分散がある
  • でも、アイスクリームが犯罪を引き起こすわけではない
  • 両方とも気温という第3の要因の影響を受けているだけ

ゼロの共分散は独立を意味しない

共分散がゼロでも、変数が完全に独立とは限りません。

例：X と Y=X² の関係

  • Xが正規分布に従う場合、共分散はゼロ
  • でも、Xが決まればYは完全に決まる
  • 実際には強い依存関係がある

円形やX字型にデータが分布している場合も：

  • 明確な関係があるのに
  • 共分散はゼロになる

負の共分散を「悪い」と解釈する誤り

負の共分散は単に逆の関係を示すだけです。

それ自体が良いか悪いかは文脈によります：

投資での例

  • 負の共分散を持つ資産を組み合わせる
  • リスクを減らせる
  • むしろ望ましいこと

医療での例

  • 薬の投与量と症状の重さが負の共分散
  • 薬が効いている証拠
  • 良いこと

データの可視化を怠る危険性

数値だけを見て判断することは危険です。

アンスコムの四重奏という有名な例：

  • 4つの全く異なるデータセット
  • 同じ共分散と相関係数を示す

4つの内容：

  1. 完璧な直線関係
  2. 曲線関係
  3. 外れ値を含む直線
  4. 1点の外れ値だけが関係を作っている

必ず散布図を描いて、実際のデータのパターンを確認することが重要です。

まとめ：共分散を正しく理解し活用するために

共分散は「2つのものが一緒に変化するか」を測る重要な統計ツールです。

基本的な意味

  • 正の値：同じ方向に動く傾向
  • 負の値：逆方向に動く傾向

理解しておくべき限界

  • 単位に依存する
  • 線形関係しか捉えられない
  • 因果関係を示さない

実際の活用での注意点

正しく活用するために：

  1. 相関係数と併用する
  2. 必ずデータを可視化する
  3. 文脈を考慮する

様々な分野での活用

  • ビジネス
  • 投資
  • 研究
  • スポーツ

これらの分野で共分散を正しく理解することで、データから意味のある洞察を得ることができます。

最も重要なこと

共分散はあくまでも関係性を示す一つの指標に過ぎません。

それだけで全てを判断してはいけません。

複数の視点からデータを分析し、常に「なぜそのような関係があるのか」を考えることが大切です。

これが統計を正しく活用する鍵となります。

Youtube

神話・歴史・伝承の解説チャンネル

スポンサーリンク

コメント

タイトルとURLをコピーしました