統計学を勉強していると、かならず出てくるのが「中心極限定理」です。
でも、多くの人がこんなふうに感じています：
- 名前が難しそう
- 何を言っているのかわからない
- 数式が出てきて頭がこんがらがる
しかし、この定理はとても大切で、次のような場面で活やくしています：
- データ分析
- 検定や推定
- ビジネスの意思決定
- 品質管理
この記事では、中心極限定理をやさしく解説し、どんなときに役立つのか、実際の例まで紹介します。
中心極限定理ってなに？
一言でいうと
どんな分布のデータでも、平均をとったら正規分布に近づくという定理です。
もう少し正確にいうと
母集団の分布がどんな形でも、十分に大きいサンプルサイズで平均をとると、その平均値の分布は正規分布に近づく
これが中心極限定理の正体です。
図でイメージしてみよう
例えば、母集団がこんな偏った形（右肩下がり）だったとします：
データの数
|■■■■■■
|■■■■
|■■
|
+-----------
小さい値 → 大きい値
でも、この母集団から何度もサンプルを取って平均を計算し、その平均値をたくさん集めると、こんなきれいな山型（正規分布）になります：
平均値の数
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■■■
■■■■■
■■■■■■■
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平均値
これが中心極限定理のすごいところです！
なぜこんなことが起こるの？
平均の性質を考えてみよう
サンプルの平均を計算するとき、次のことが起こります：
- 極端に大きい値と極端に小さい値が混ざる
- それらが打ち消し合う
- 結果として真ん中あたりの値に落ち着きやすい
これを何度も繰り返すと、平均値は母集団の真の平均の周りに集まってきます。
具体例：サイコロで考えてみよう
6面のサイコロを例に考えてみましょう。
1回だけ振る場合
- 1、2、3、4、5、6のどれも同じ確率で出る
- 分布は平たい形（一様分布）
30回振って平均を計算する場合
- 極端に大きい値（6ばかり）が出ることは少ない
- 極端に小さい値（1ばかり）が出ることも少ない
- だいたい3.5前後の値になりやすい
これを1000セット繰り返すと
- 1000個の平均値ができる
- これらの平均値は3.5の周りに山型に集まる
- つまり正規分布っぽくなる！
どんなときに使われるの？
中心極限定理は、統計学のあらゆる場面で活やくしています。
品質管理での応用
- 製品の重さのばらつきを調べるとき
- 不良品の割合を推定するとき
- 製造ラインの平均性能を評価するとき
マーケティングでの応用
- アンケートの平均点を統計的に検定するとき
- 顧客満足度の平均値を推定するとき
- A/Bテストの結果を比較するとき
なぜこんなに使われるの？
中心極限定理があるおかげで、「母集団の分布を知らなくても、平均なら正規分布を使って計算できる」という強力な理屈が成り立つからです。
これがないと、統計学の多くの手法が使えなくなってしまいます。
実際の例で理解を深めよう
例1：コンビニの売上データ
あるコンビニチェーンの1日の売上を考えてみましょう。
元のデータの特徴
- 平日は低め、週末は高め
- セールの日は極端に高い
- 分布は右に偏っている（一部の店舗が非常に高い売上）
10店舗の平均売上を計算してみる
- 極端に高い店舗と低い店舗が混ざる
- 平均値は真ん中あたりに落ち着く
これを100回繰り返すと
- 100個の平均売上ができる
- これらは正規分布っぽく集まる
- 全体の平均売上を推定できる
例2：学校のテストの点数
元のデータの特徴
- できる生徒は90点以上
- 苦手な生徒は30点以下
- 分布は二つの山がある形（二峰性分布）
20人のクラス平均を計算してみる
- 高得点者と低得点者が混ざる
- クラス平均は60点前後になりやすい
50クラスの平均を集めると
- 50個のクラス平均ができる
- これらは60点の周りに正規分布っぽく集まる
中心極限定理の重要なポイント
ポイント1：母集団の形は関係ない
| 母集団の分布 | 中心極限定理は成り立つ？ |
|---|---|
| 正規分布 | ○ |
| 一様分布 | ○ |
| 右に偏った分布 | ○ |
| 左に偏った分布 | ○ |
| 二峰性分布 | ○ |
| どんな形でも | ○ |
ポイント2：サンプルサイズが重要
- サンプルサイズが大きいほど、正規分布に近づく
- 小さすぎると正規分布にならない
- 一般的には30以上が目安
ポイント3：平均の分布だけの話
中心極限定理が言っているのは「平均の分布」についてだけです。
- 元のデータそのものが正規分布になるわけではない
- 個々のデータ点は元の分布のまま
- 平均を計算した結果だけが正規分布に近づく
中心極限定理が使えない場合もある？
注意が必要なケース
実は、中心極限定理が成り立たない場合もあります：
母集団の分散が無限大の場合
- コーシー分布など特殊な分布
- 実際のデータではほとんど起こらない
データに強い相関がある場合
- 時系列データで強いトレンドがある
- 季節性が非常に強い
外れ値が多すぎる場合
- 平均が安定しない
- ロバスト統計を使う必要がある
まとめ
中心極限定理の重要性
中心極限定理は、統計学のルールの一つです。
この定理があるおかげで：
- 複雑な母集団でも安心して統計解析ができる
- 検定や推定が成り立つ
- データ分析の幅が大きく広がる
覚えておきたいポイント
- どんな分布でも、平均をとると正規分布に近づく
- 平均の分布についての定理（元データではない）
- 統計学の多くの手法の基盤
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