ベルヌーイ分布とは？コイン投げで理解する確率の基本

「ベルヌーイ分布」という言葉を聞くと、なんだか難しそうって思いますよね。でも実は、私たちの日常生活のあちこちに隠れている、とてもシンプルな確率の考え方なんです。

コインを投げて表か裏か。試験に合格するか不合格か。明日雨が降るか降らないか。

こんな「2つの結果しかない」出来事を数学的に表現したものが、ベルヌーイ分布です。この記事を読み終わる頃には、「なんだ、そんなに簡単なことだったのか！」と思えるはずですよ。

そもそもベルヌーイ分布って何？
1. 一言で説明すると
2. 身近な例で考えてみよう
ベルヌーイ分布の3つの特徴
実際の活用場面
ベルヌーイ分布の重要な数値
1. 期待値（平均値）
2. 分散（ばらつき）
ベルヌーイ分布と二項分布の関係
よくある誤解と注意点
実際に計算してみよう
1. 簡単な計算例
2. 応用計算
プログラミングでの実装
まとめ：ベルヌーイ分布は確率の基本中の基本

そもそもベルヌーイ分布って何？

一言で説明すると

ベルヌーイ分布は、「成功」か「失敗」、「YES」か「NO」のように、結果が2つしかない試行（何かを試すこと）の確率を表す方法です。

スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイさんが考えたので、この名前がついています。でも、名前は覚えなくても大丈夫。大切なのは中身を理解することです。

身近な例で考えてみよう

コイン投げを例にしましょう。

普通のコインを投げたとき：

表が出る確率：50%（0.5）
裏が出る確率：50%（0.5）

これがベルヌーイ分布の最もシンプルな例です。

どちらか一方が必ず起きて、両方同時に起きることはありません。

ベルヌーイ分布の3つの特徴

特徴1：結果は必ず2つだけ

ベルヌーイ分布では、起こりうる結果は2つだけと決まっています。

3つ以上の結果がある場合は、ベルヌーイ分布とは呼びません。

良い例：

サイコロで「6が出る」か「6以外が出る」か
くじ引きで「当たり」か「はずれ」か
商品が「良品」か「不良品」か

ダメな例：

サイコロの目（1〜6の6種類ある）
じゃんけんの結果（グー・チョキ・パーの3種類）

特徴2：確率は変わらない

同じ条件で何回試しても、確率は一定です。コインを100回投げても、101回目に表が出る確率は変わらず50%のままです。

「さっき5回連続で表が出たから、次は裏が出やすいはず」こんな風に考えがちですが、コインに記憶はありません。

毎回、まっさらな気持ちで50%なんです。

特徴3：各試行は独立している

前の結果が次の結果に影響しないということです。

1回目の結果と2回目の結果は、完全に別物として扱います。

実際の活用場面

ビジネスでの活用例

品質管理

工場で製品を検査するとき、良品か不良品かを判定します。不良品が出る確率が分かれば、100個作ったときに何個くらい不良品が出るか予測できます。

例：不良品率が2%の場合

1個の製品が良品である確率：98%
1個の製品が不良品である確率：2%

マーケティング

広告を見た人が商品を買うか買わないか。クリック率やコンバージョン率の計算に使われています。

例：Web広告のクリック率が3%の場合

クリックする確率：3%
クリックしない確率：97%

医療・研究での活用例

新薬の効果を調べる臨床試験でも使われます。薬が「効く」か「効かない」かを確率で表現します。

ただし、実際の医療現場では、もっと複雑な統計手法と組み合わせて使うことがほとんどです。

スポーツでの活用例

野球選手の打率も、実はベルヌーイ分布の考え方が基本にあります。打席に立って「ヒット」か「アウト」か。

打率3割の選手なら：

ヒットを打つ確率：30%
アウトになる確率：70%

ベルヌーイ分布の重要な数値

期待値（平均値）

「期待値」というのは、たくさん試したときの平均的な結果のことです。

成功を1、失敗を0として数値化すると、期待値は成功確率と同じになります。

例：コイン投げで表を1点、裏を0点とした場合

期待値 = 0.5（つまり平均すると0.5点）

100回投げたら、だいたい50回くらい表が出る、という意味です。

分散（ばらつき）

結果がどれくらいばらつくかを表す数値です。成功確率が50%のときに最も大きくなります。

つまり、コイン投げのような五分五分の勝負が、一番予測しにくいということですね。

ベルヌーイ分布と二項分布の関係

ここで少し発展的な話をしましょう。

ベルヌーイ分布を何回も繰り返すと、「二項分布」という別の分布になります。

例えば：

ベルヌーイ分布：コインを1回投げて表か裏か
二項分布：コインを10回投げて表が何回出るか

ベルヌーイ分布は二項分布の特別な場合（1回だけの場合）と考えることもできます。親子関係みたいなものですね。

よくある誤解と注意点

誤解1：「確率50%なら、2回に1回は必ず起きる」

これは間違いです。確率50%でも、10回連続で同じ結果が出ることもあります。確率は「長い目で見たときの割合」であって、短期的な保証ではありません。

誤解2：「前の結果が次に影響する」

ギャンブラーの誤謬（ごびゅう）と呼ばれる有名な勘違いです。ルーレットで赤が5回続いたら、次は黒が出やすい？いいえ、確率は変わりません。

誤解3：「複雑な現象もベルヌーイ分布で表せる」

株価の上下や天気の変化など、複雑な要因が絡む現象は、単純なベルヌーイ分布では表現できません。あくまで「2つの結果」で「確率が一定」の場合だけです。

実際に計算してみよう

簡単な計算例

コインを投げて表が出る確率が0.6（60%）の少し偏ったコインがあるとします。

このコインを1回投げたとき：

表が出る確率：0.6
裏が出る確率：0.4（1 – 0.6 = 0.4）

期待値：0.6（平均的には0.6回表が出る）分散：0.6 × 0.4 = 0.24

応用計算

このコインを3回投げて、全部表が出る確率は？ 0.6 × 0.6 × 0.6 = 0.216（21.6%）

意外と低いと思いませんか？ 60%の確率でも、3回連続となると約20%まで下がってしまうんです。

プログラミングでの実装

プログラミングを学んでいる人のために、簡単な実装例も紹介します。

Pythonでのシンプルな例：

import random

def bernoulli_trial(p):
    """確率pで1を、確率(1-p)で0を返す"""
    if random.random() < p:
        return 1  # 成功
    else:
        return 0  # 失敗

# 確率0.7で成功する試行を10回実施
results = [bernoulli_trial(0.7) for _ in range(10)]
print(f"結果: {results}")
print(f"成功回数: {sum(results)}")

このように、実際にシミュレーションすることで、理論と実際の違いを体感できます。