「自然はなぜこのように動くのか？」──この根源的な問いに対して、物理学は18世紀に驚くべき答えを見出しました。
それが「最小作用の原理」です。
ボールの放物運動、惑星の軌道、光の進路、さらには量子世界の粒子の振る舞いまで、自然界のあらゆる現象は「作用」と呼ばれる量を最小化（厳密には停留化）するように動いています。
この原理は、ニュートンの運動方程式を導き出すだけでなく、相対性理論や量子力学にまで拡張される、物理学の最も基本的で普遍的な原理のひとつです。
この記事では、最小作用の原理の基本概念から数学的定式化、歴史的背景、そして現代物理学への応用まで、中学3年生でも理解できるように段階的に解説していきます。
最小作用の原理とは何か
最小作用の原理の基本的な考え方を理解しましょう。
基本的な概念
最小作用の原理（Principle of Least Action）とは、物体の運動が「作用」と呼ばれる物理量を最小化（正確には停留化）する経路に沿って実現されるという原理です。
自然は、ある意味で「最も効率的な」経路を選ぶように動くのです。
この原理は、ニュートン力学における運動方程式F=maと同等の情報を含みますが、より抽象的で本質的な視点を提供します。
日常的な例：最短距離の原理
最も身近な例は、光の直進です。
光は真空中で2点間を結ぶ最短経路（直線）を通ります。
これはフェルマーの原理（Fermat’s Principle、1662年）として知られており、「光は最短時間で到達する経路を選ぶ」と定式化されます。
レンズを通過する光の屈折も、この原理で説明できます。
作用とは何か
「作用」という物理量について詳しく見ていきましょう。
作用の定義
作用（Action）Sは、ラグランジアンLの時間積分として定義されます。
S = ∫[t₁からt₂まで] L dt
ここで、Lはラグランジアン（Lagrangian）、t₁とt₂は始点と終点の時刻です。
作用は「エネルギー×時間」の次元を持ち、物理学では「角作用」とも呼ばれます。
ラグランジアンとは
ラグランジアンLは、系のエネルギーを表す関数です。
保存力（ポテンシャルで表される力）の下で運動する質点系の場合、ラグランジアンは運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUの差として定義されます。
L = T – U
例えば、重力下で運動する質点の場合：
- 運動エネルギー：T = (1/2)mv²
- ポテンシャルエネルギー：U = mgh
- ラグランジアン：L = (1/2)mv² – mgh
ラグランジアンは座標q、速度q̇（qの時間微分）、時間tの関数として表されます。
L = L(q, q̇, t)
一般化座標
ラグランジアンの大きな利点は、デカルト座標(x, y, z)だけでなく、任意の座標系（一般化座標）で表現できることです。
例えば、振り子の運動を記述する場合、直交座標(x, y)ではなく角度θを一般化座標として使う方が自然です。
一般化座標を使うことで、拘束条件（例：振り子の糸の長さが一定）を自動的に満たす形で運動方程式を立てることができます。
最小作用の原理の数学的定式化
原理を数学的に厳密に表現しましょう。
ハミルトンの原理
最小作用の原理は、ハミルトンの原理（Hamilton’s Principle）としても知られています。
ハミルトンの原理：時刻t₁において座標q(t₁) = q₁、時刻t₂において座標q(t₂) = q₂が固定されているとき、実際に実現される運動経路は作用Sを停留させる経路である。
数学的には、作用の変分がゼロになる条件です。
δS = 0
ここで、δは変分記号で、経路の微小な変化を表します。
オイラー・ラグランジュ方程式
作用の停留条件δS = 0を具体的に計算すると、オイラー・ラグランジュ方程式（Euler-Lagrange equation）が導かれます。
d/dt(∂L/∂q̇) – ∂L/∂q = 0
この方程式は、変分法（Calculus of variations）を用いて導出されます。
オイラー・ラグランジュ方程式は、ニュートンの運動方程式F=maと同等の情報を含みますが、より一般的な形式です。
導出の概略
変分法による導出の流れを簡単に説明します。
- 実際の経路q(t)に対して、微小な変化δq(t)を加えた経路q(t) + δq(t)を考える
- 境界条件：δq(t₁) = δq(t₂) = 0（両端は固定）
- 作用の変化δSを計算する：δS = ∫[t₁からt₂まで] δL dt
- ラグランジアンの変化をテイラー展開：δL = (∂L/∂q)δq + (∂L/∂q̇)δq̇
- 部分積分を使って変形する
- δS = 0がすべてのδq(t)に対して成り立つ条件を求める
- オイラー・ラグランジュ方程式が得られる
具体例：自由落下
重力下で自由落下する質点を考えましょう。
ラグランジアン：L = (1/2)m(dy/dt)² – mgy
オイラー・ラグランジュ方程式に代入：
∂L/∂y = -mg
∂L/∂ẏ = mẏ
d/dt(∂L/∂ẏ) = m(d²y/dt²)
したがって：m(d²y/dt²) – (-mg) = 0
結果：d²y/dt² = -g
これは、ニュートンの運動方程式ma = -mgと一致します。
最小作用の原理の歴史
この原理がどのように発見され、発展してきたかを見ていきましょう。
フェルマーの原理（1662年）
最小作用の原理の起源は、ピエール・ド・フェルマー（Pierre de Fermat）による光学の研究にさかのぼります。
フェルマーは「光は2点間を最短時間で到達する経路を選ぶ」という原理を提唱しました。
この原理から、光の反射の法則（入射角=反射角）と屈折の法則（スネルの法則）を導くことができます。
最速降下線問題（1696年）
ヨハン・ベルヌーイ（Johann Bernoulli）が提起した「最速降下線（Brachistochrone）問題」は、変分法の発展に大きく貢献しました。
問題：重力下で、2点間を摩擦なしに最短時間で滑り降りる曲線は何か？
答えは直線ではなく、サイクロイド曲線です。
この問題は、ニュートン、ライプニッツ、ベルヌーイ兄弟、ロピタルなど当時の一流数学者たちによって解かれました。
モーペルテュイの原理（1744年）
ピエール・ルイ・モーペルテュイ（Pierre Louis Maupertuis）は、力学における「最小作用の原理」を初めて提唱しました。
モーペルテュイは「自然は作用が最小となる経路を選ぶ。これが万物の運命を決める普遍的な原理である」という哲学的・形而上学的な主張を行いました。
ただし、モーペルテュイの定式化は曖昧で、作用の定義も現代のものとは異なっていました。
オイラーとラグランジュによる発展（1744-1788年）
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）は、モーペルテュイの着想を数学的に厳密化し、変分法として定式化しました（1744年）。
若きジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（Joseph-Louis Lagrange）は、オイラーに手紙（1755年）を送り、より洗練された変分法を提示しました。
オイラーはラグランジュの方法を採用し、『変分法の原理』（1766年）を出版しました。
その後、ラグランジュは『解析力学（Mécanique Analytique）』（1788年）を出版し、力学を幾何学的な図形を一切使わずに純粋に解析的に定式化しました。
これが現代の「解析力学」の基礎となりました。
ハミルトンによる完成（1834年）
ウィリアム・ローワン・ハミルトン（William Rowan Hamilton）は、1834年にラグランジュ形式をさらに洗練させ、現在知られている「ハミルトンの原理」として完成させました。
ハミルトンは、ラグランジアンをルジャンドル変換してハミルトニアン（Hamiltonian）を導入し、正準方程式（Hamilton’s canonical equations）を定式化しました。
ハミルトン形式は、後の量子力学の発展に決定的な役割を果たしました。
最小作用の原理の物理的意味
なぜ自然は「作用を最小化」するのでしょうか？
自然の経済性
最小作用の原理は、自然が「最も効率的な」振る舞いをするという思想を反映しています。
ただし、「効率的」の意味は注意が必要です。
自然は、作用という特定の物理量を停留させるように動くのであって、エネルギーを最小にするわけではありません。
厳密には「停留作用の原理」
実は、作用が常に「最小」になるとは限りません。
厳密には、作用が停留値（Stationary value）をとる、つまり作用の1次の変分がゼロになる経路が実現されます。
停留値には、最小値、最大値、鞍点（saddle point）が含まれます。
十分短い時間区間では作用は最小値をとることが多いですが、長い時間では必ずしも最小ではありません。
そのため、正確には「最小作用の原理」ではなく「停留作用の原理（Principle of Stationary Action）」または「ハミルトンの原理」と呼ぶべきです。
因果律との関係
最小作用の原理は、目的論的（teleological）に見えます。
つまり、物体が「終点を知っていて、そこに到達するための最適経路を選ぶ」かのように思えます。
しかし、これは誤解です。
実際には、微分方程式（オイラー・ラグランジュ方程式）が局所的な因果関係を記述しており、積分形式（最小作用の原理）と微分形式（運動方程式）は数学的に同等です。
物体は「未来を見て」経路を選ぶのではなく、各瞬間の物理法則に従って動いているだけです。
最小作用の原理とニュートン力学の関係
ニュートンの運動方程式と最小作用の原理の関係を明確にしましょう。
同等性
最小作用の原理（オイラー・ラグランジュ方程式）とニュートンの運動方程式は、数学的に同等です。
どちらか一方から、もう一方を導くことができます。
つまり、同じ物理現象を異なる視点から記述しているだけです。
ラグランジュ形式の利点
それでも、ラグランジュ形式（解析力学）には以下の利点があります。
座標系の自由度：任意の一般化座標を使える
拘束条件の扱い：拘束力を陽に考える必要がない
対称性と保存則：ネーターの定理により、対称性から保存則を導ける
理論の拡張性：相対性理論、電磁気学、量子力学に自然に拡張できる
数学的美しさ：変分原理という統一的視点を提供する
ニュートン形式との比較
ニュートン形式（F=ma）は直感的で具体的ですが、座標系に依存し、拘束力を明示的に扱う必要があります。
ラグランジュ形式は抽象的ですが、座標系に依らず、エネルギーの観点から力学を統一的に記述できます。
複雑な系（剛体の回転、多体系、場の理論など）では、ラグランジュ形式の方が圧倒的に扱いやすくなります。
最小作用の原理の応用範囲
この原理がいかに広範な物理学に適用されるかを見ていきましょう。
古典力学
質点系、剛体、連続体（弾性体、流体）すべてに適用できます。
振り子、惑星の運動、剛体の回転、弦の振動など、あらゆる古典的な力学問題が最小作用の原理から導けます。
相対性理論
アインシュタインの特殊相対性理論および一般相対性理論も、作用原理に基づいて定式化されています。
特殊相対性理論では、ローレンツ不変な作用積分から相対論的運動方程式が導かれます。
一般相対性理論では、アインシュタイン・ヒルベルト作用（Einstein-Hilbert action）から重力場の方程式（アインシュタイン方程式）が導かれます。
当ブログのローレンツ変換の記事も参照してください。
電磁気学
マクスウェルの電磁気学も、作用原理から導出できます。
電磁場のラグランジアン密度を定義し、作用の停留条件を求めると、マクスウェル方程式が得られます。
荷電粒子の電磁場中での運動も、最小作用の原理で記述されます。
量子力学
リチャード・ファインマン（Richard Feynman）は、1940年代に量子力学を経路積分（Path integral）の形式で再定式化しました。
ファインマンの経路積分：量子力学では、粒子はすべての可能な経路を「同時に」通り、各経路に exp(iS/ℏ) という位相因子が割り当てられる。
ここで、Sは古典的な作用、ℏはプランク定数です。
古典極限（ℏ→0）では、作用Sが大きく変化する経路は位相が激しく振動して打ち消し合い、作用が停留する経路（つまり古典的な軌道）のみが残ります。
これにより、量子力学から古典力学の最小作用の原理が導かれます。
場の量子論
素粒子物理学の標準模型（Standard Model）も、ラグランジアン密度に基づいて構築されています。
電弱統一理論、量子色力学（QCD）など、すべての基本的な相互作用が作用原理から導かれます。
当ブログの超対称性粒子の記事や重力の量子化の記事も参照してください。
宇宙論
初期宇宙のインフレーション理論も、スカラー場（インフラトン場）のラグランジアンから導かれます。
当ブログのインフレーション理論の記事で詳しく解説しています。
その他の分野
最小作用の原理は、純粋な物理学を超えて、以下の分野にも応用されています。
光学（フェルマーの原理）
経済学（最適化理論）
制御理論
画像処理
機械学習（最適化アルゴリズム）
ネーターの定理：対称性と保存則
最小作用の原理の最も美しい帰結のひとつを紹介しましょう。
ネーターの定理とは
エミー・ネーター（Emmy Noether）は、1918年に画期的な定理を証明しました。
ネーターの定理（Noether’s Theorem）：ラグランジアンがある連続的な変換に対して不変（対称性を持つ）ならば、対応する保存量が存在する。
この定理により、物理学における対称性と保存則の深い関係が明らかになりました。
具体例
時間並進対称性 → エネルギー保存則
ラグランジアンが時間tに陽に依存しない（∂L/∂t = 0）ならば、エネルギーが保存される。
空間並進対称性 → 運動量保存則
ラグランジアンが空間座標の平行移動に対して不変ならば、運動量が保存される。
空間回転対称性 → 角運動量保存則
ラグランジアンが回転に対して不変ならば、角運動量が保存される。
物理学への影響
ネーターの定理は、保存則が単なる経験則ではなく、自然の対称性から論理的に導かれることを示しました。
この洞察は、現代素粒子物理学の基礎となっています。
解析力学の発展：ハミルトン形式
ラグランジュ形式をさらに発展させたハミルトン形式を簡単に紹介します。
正準変数
ハミルトン形式では、座標qと運動量p = ∂L/∂q̇を独立な変数として扱います。
これらを正準変数（Canonical variables）と呼びます。
ハミルトニアン
ラグランジアンLをルジャンドル変換してハミルトニアンHを定義します。
H(q, p, t) = pq̇ – L(q, q̇, t)
保存力の場合、ハミルトニアンは系の全エネルギーに等しくなります。
ハミルトンの正準方程式
ハミルトンの原理から、ハミルトンの正準方程式（Hamilton’s canonical equations）が導かれます。
dq/dt = ∂H/∂p
dp/dt = -∂H/∂q
これは、オイラー・ラグランジュ方程式（2階微分方程式）を2つの1階微分方程式に分解したものです。
位相空間
ハミルトン形式では、座標qと運動量pを軸とする「位相空間（Phase space）」で系の状態を記述します。
位相空間の軌跡は、系の時間発展を表します。
この視点は、統計力学や古典的なカオス理論で非常に重要です。
最小作用の原理の哲学的側面
この原理が持つ深い意味について考えてみましょう。
目的論と機械論
最小作用の原理は、一見すると目的論的（teleological）に見えます。
つまり、「自然は目的を持って最適な経路を選ぶ」かのようです。
しかし、現代物理学の解釈では、これは機械論的な局所的因果律と同等であり、目的論ではありません。
数学的美しさと自然の記述
最小作用の原理は、自然の法則を数学的に極めて簡潔かつ美しく表現します。
多くの物理学者は、この「美しさ」が自然の深い真実を反映していると考えています。
アインシュタインやディラックなど偉大な物理学者たちは、理論の数学的美しさを重要な指針としてきました。
普遍性
最小作用の原理が、古典力学から量子力学、相対性理論、場の理論に至るまで普遍的に適用できることは驚くべきことです。
この普遍性は、作用原理が単なる計算上の便利な道具ではなく、自然の本質的な性質を表していることを示唆しています。
最小作用の原理の限界
万能に見えるこの原理にも限界があります。
摩擦力など非保存力の扱い
最小作用の原理は、基本的には保存系（エネルギーが保存される系）に適用されます。
摩擦力のような散逸力（Dissipative force）が働く系では、通常のラグランジアン形式は直接適用できません。
ただし、散逸系を含むより大きな保存系を考えることで、一般化されたラグランジアンを構築することは可能です。
境界条件の必要性
最小作用の原理を適用するには、始点と終点の座標が固定されている必要があります。
自由境界問題や無限系では、別の定式化が必要です。
量子力学での修正
量子力学では、古典的な単一の軌道ではなく、すべての可能な経路の重ね合わせが実現されます。
したがって、古典的な最小作用の原理は、量子力学の極限として現れる近似的な原理と見なされます。
まとめ
最小作用の原理についての重要なポイントをまとめます。
基本概念
最小作用の原理：物体の運動は作用Sを停留させる経路に沿って実現される
作用：S = ∫L dt（ラグランジアンの時間積分）
ラグランジアン：L = T – U（運動エネルギー－ポテンシャルエネルギー）
停留条件：δS = 0から オイラー・ラグランジュ方程式 d/dt(∂L/∂q̇) – ∂L/∂q = 0 が導かれる
歴史的発展
フェルマーの原理（1662）：光学における最小時間原理
最速降下線問題（1696）：変分法の発展
モーペルテュイ（1744）：力学における最小作用の提唱
オイラー（1744）・ラグランジュ（1755-1788）：数学的厳密化
ハミルトン（1834）：ハミルトンの原理として完成
物理的意味
自然の「経済性」：作用という特定の量を停留させる
厳密には停留作用の原理（最小とは限らない）
目的論ではなく機械論的な因果律と同等
ニュートン力学と数学的に同等だが、より普遍的な視点
利点
座標系に依らない（一般化座標を使える）
拘束条件を自動的に満たす
対称性と保存則の関係が明確（ネーターの定理）
相対性理論、電磁気学、量子力学に拡張可能
数学的に美しく統一的
応用範囲
古典力学（質点、剛体、連続体）
特殊相対性理論・一般相対性理論
電磁気学（マクスウェル方程式）
量子力学（ファインマンの経路積分）
場の量子論（標準模型）
宇宙論（インフレーション理論）
ネーターの定理
対称性から保存則が導かれる
時間並進対称性→エネルギー保存則
空間並進対称性→運動量保存則
空間回転対称性→角運動量保存則
ハミルトン形式
正準変数：座標qと運動量p
ハミルトニアン：H = pq̇ – L
正準方程式：dq/dt = ∂H/∂p、dp/dt = -∂H/∂q
位相空間での記述
限界
非保存力（摩擦など）の直接的な扱いが困難
境界条件の必要性
量子力学では古典極限として現れる
最小作用の原理は、18世紀の力学から始まり、現代物理学のあらゆる分野に浸透している、最も基本的で美しい原理のひとつです。
ニュートンの運動方程式F=maが「力を受けた物体がどう加速するか」という局所的・因果的な視点を提供するのに対し、最小作用の原理は「全体としての運動経路がどのような性質を持つか」という大域的・変分的な視点を提供します。
この2つの視点は数学的に同等ですが、最小作用の原理の方が、より抽象的で、より多くの物理現象に適用でき、自然の深い対称性を明らかにします。
量子力学における経路積分、一般相対性理論における時空の幾何学、素粒子物理学における場の量子論、すべてが最小作用の原理という統一的な枠組みの中で理解されます。
自然が「なぜこのように動くのか」という問いに対して、最小作用の原理は「作用を停留させるように」という驚くべき答えを提供しているのです。
参考情報
本記事は以下の信頼できる情報源に基づいて作成されました。
- Principle of least action – Scholarpedia
- The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action
- 11.2: Principle of Least Action – Engineering LibreTexts
- オイラー・ラグランジュ方程式 – Wikipedia
- MIT 8.033: Classical Mechanics Lecture Notes
- 京都産業大学 解析力学講義ノート
記事最終更新日:2026年2月11日
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