「光速で移動する宇宙船の中では時間がゆっくり進む」「高速で運動する物体は縮んで見える」
こうした不思議な現象を数学的に記述するのが、ローレンツ変換です。
1905年、アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論を構築する際に中心的な役割を果たしたこの変換式は、ニュートン力学のガリレイ変換に代わる、異なる慣性系間の座標変換を与えます。
この記事では、ローレンツ変換の基礎から導出、物理的意味、さらに時間の遅れや長さの収縮などの相対論的効果まで、中学生でも理解できるように分かりやすく解説します。
ローレンツ変換とは
ローレンツ変換は、互いに等速直線運動をする2つの慣性系の間で、時間と空間の座標がどのように変換されるかを表す数式です。
基本的な定義
慣性系とは、加速度を持たず、等速直線運動（または静止）している観測者の立場を表す座標系のことです。
例えば、地上に立っている人の座標系と、一定の速度で走る電車の中の人の座標系は、それぞれ異なる慣性系です。
ローレンツ変換は、一方の慣性系での事象の座標（時刻と位置）から、もう一方の慣性系での座標を求める変換式です。
ガリレイ変換との違い
ニュートン力学では、異なる慣性系間の座標変換としてガリレイ変換が用いられていました。
ガリレイ変換では、時間はすべての慣性系で共通（絶対時間）と考えられていました。
空間座標のみが相対速度に応じて変換されます。
しかし、19世紀末のマイケルソン・モーリーの実験により、光速が観測者の運動状態によらず一定であることが示されました。
この実験結果は、ガリレイ変換と矛盾します。
ローレンツ変換は、光速度不変の原理と相対性原理を満たす新しい座標変換として導かれました。
時間と空間の両方が変換されます。
高速（光速に近い速度）では、時間の進み方や空間の長さが観測者によって異なります。
歴史的背景
ローレンツ変換は、19世紀末から20世紀初頭にかけての物理学の大転換期に誕生しました。
マイケルソン・モーリーの実験（1887年）
19世紀、光は波動であると考えられていました。
波動には伝わる媒質が必要なため、「エーテル」という仮想的な物質が宇宙に満ちていると仮定されていました。
1887年、アルバート・マイケルソンとエドワード・モーリーは、地球の公転運動によるエーテルの風（エーテルに対する地球の相対運動）を検出しようとしました。
しかし、実験結果は否定的でした。
光速は地球の運動方向によらず一定であることが示されました。
この結果は、当時の物理学者たちに大きな衝撃を与えました。
フィッツジェラルド・ローレンツ収縮仮説（1889年、1892年）
マイケルソン・モーリーの実験結果を説明するため、ジョージ・フィッツジェラルド（1889年）とヘンドリック・ローレンツ（1892年）は独立に同じ仮説を提案しました。
エーテルの中を運動する物体は、運動方向に長さが収縮する（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮）。
この収縮により、干渉計の腕の長さが変化し、エーテルの風が検出されなかったと説明しました。
ローレンツの座標変換（1904年）
ヘンドリック・ローレンツは、マクスウェル方程式（電磁気学の基本方程式）が形を変えずに保たれる座標変換を導きました（1904年）。
この変換には、時間座標の変換も含まれていました（「局所時間」と呼ばれました）。
しかし、ローレンツ自身は、この時間変換を数学的な便宜上のものと考え、物理的な実在とは考えていませんでした。
エーテル理論の枠組みの中で説明しようとしていました。
ポアンカレの貢献（1905年）
フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、1905年にローレンツの変換式を数学的に整備し、これらの変換が群の性質を持つことを示しました。
ポアンカレは、この変換に「ローレンツ変換」という名前を付けました。
アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）
1905年、アルベルト・アインシュタインは全く異なるアプローチでローレンツ変換を導きました。
アインシュタインは、2つの基本原理のみから出発しました。
- 相対性原理:すべての慣性系において、物理法則は同じ形をとる
- 光速度不変の原理:真空中の光速は、光源や観測者の運動状態によらず常に一定（約30万km/s）
エーテルの概念を完全に捨て去りました。
絶対静止系（絶対空間）や絶対時間の概念も放棄しました。
アインシュタインの解釈では、時間の進み方や空間の長さは、観測者の運動状態に依存する相対的なものです。
これにより、ローレンツ変換は単なる数学的な道具ではなく、時空の本質を表す物理法則となりました。
ローレンツ変換の数式
標準配置（x軸方向に相対速度vで運動する2つの慣性系）でのローレンツ変換を示します。
基本形
静止系Kの座標を (t, x, y, z)、速度vでx軸正方向に運動する系K’の座標を (t’, x’, y’, z’) とします。
t=0, t’=0 のとき、両系の原点は一致しているとします。
ローレンツ変換は以下の式で表されます。
t' = γ(t - vx/c²)
x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = zここで、γ（ガンマ）はローレンツ因子と呼ばれ、次の式で定義されます。
γ = 1 / √(1 - v²/c²)cは真空中の光速（約3.0×10^8 m/s）です。
ローレンツ逆変換
逆に、K’系の座標からK系の座標を求める逆変換は以下のようになります。
t = γ(t' + vx'/c²)
x = γ(x' + vt')
y = y'
z = z'速度vの符号が逆になっています。
ローレンツ因子の性質
ローレンツ因子γは、相対速度vによって以下のように変化します。
v = 0（静止）のとき:γ = 1（ガリレイ変換に一致）
v ≪ c（日常的な速度）のとき:γ ≈ 1（ガリレイ変換で近似可能）
v → c（光速に近づく）のとき:γ → ∞（相対論的効果が顕著になる）
例えば、v = 0.1c のとき γ ≈ 1.005、v = 0.5c のとき γ ≈ 1.155、v = 0.9c のとき γ ≈ 2.294 です。
ローレンツ変換の導出
光速度不変の原理からローレンツ変換を導出する方法を紹介します。
基本的な考え方
系Kの原点から時刻t=0に光が発射されたとします。
系Kでは、光は時刻tに半径ct の球面上に広がります:x² + y² + z² = (ct)²
光速度不変の原理により、系K’でも光速はcです。
系K’でも、光は時刻t’に半径ct’ の球面上に広がります:x’² + y’² + z’² = (ct’)²
これら2つの式が同時に成立するような座標変換を求めると、ローレンツ変換が導かれます。
線形性と一様性の仮定
時間と空間は一様（どこでも、いつでも同じ性質）です。
実験装置の大きさや時刻を変えても、結果は比例して変化するだけです。
したがって、座標変換は線形変換（1次式）でなければなりません。
変換式の構築
運動方向（x軸方向）に垂直な方向（y軸、z軸）は、相対性原理から変化しません:y’ = y, z’ = z
x軸方向の変換は、以下の形を持つと仮定できます（A, B, C, D は定数）。
x' = A(x - vt)
t' = B(t - Dx)これらの式を、光速度不変の条件（x² – (ct)² = x’² – (ct’)²）に代入して整理すると、A, B, C, D が決まります。
結果として、A = B = γ、D = v/c² が得られ、ローレンツ変換が導かれます。
時間の遅れ（時間膨張）
ローレンツ変換から導かれる最も重要な結果の一つが、時間の遅れです。
時間の遅れとは
運動している時計は、静止している時計に比べてゆっくり進みます。
例えば、ロケットに乗っている人の時計は、地上の人から見るとゆっくり進んでいるように見えます。
数式による表現
系K’で静止している時計を考えます（x’ = 一定）。
系K’で時間Δt’ が経過したとき、系Kではどれだけ時間が経過するでしょうか。
ローレンツ変換から:Δt = γΔt’
γ > 1 なので、Δt > Δt’ です。
つまり、運動している時計（K’系）の時間間隔Δt’ は、静止系（K系）の時間間隔Δtよりも短くなります。
これを「時間の遅れ」または「時間膨張」と呼びます。
実験的検証
時間の遅れは、実際に観測されています。
ミューオン（μ粒子）の寿命:宇宙線が大気中で生成するミューオンは、光速に近い速度で運動します。静止したミューオンの寿命は約2.2マイクロ秒ですが、高速で運動するミューオンは地表まで到達できます。これは、ミューオンの時計が遅れているためです。
原子時計の実験（1971年、ハフェレ・キーティング実験）:飛行機に原子時計を載せて世界を一周させたところ、地上の時計と比べてわずかな時間のずれが観測されました。これは特殊相対論的効果（速度による時間の遅れ）と一般相対論的効果（重力による時間の遅れ）の両方を含みます。
GPS衛星の時刻補正:GPS衛星は高速で地球の周りを回っているため、時間の遅れ効果を補正しないと、位置測定に大きな誤差が生じます。
双子のパラドックス
時間の遅れに関する有名な思考実験が「双子のパラドックス」です。
双子の一方が高速ロケットで宇宙旅行に出かけ、地球に戻ってきたとき、旅行に出かけた方が若いままです。
これは、運動していた双子の時計（体内時計）がゆっくり進んだためです。
一見すると、相対性原理から両者は対等なので、どちらが若くなるか決められないように思えます（パラドックス）。
しかし、実際には対等ではありません。
宇宙旅行に出かけた双子は、出発時と帰還時に加速度を経験します。
加速度を持つ系は慣性系ではないため、対称性が破れます。
詳細な計算により、加速度を考慮すると、宇宙旅行した双子が若いという結果が得られます。
長さの収縮（ローレンツ収縮）
ローレンツ変換から導かれるもう一つの重要な結果が、長さの収縮です。
長さの収縮とは
運動している物体は、運動方向に縮んで見えます。
例えば、光速に近い速度で飛ぶロケットは、地上の観測者から見ると進行方向に押しつぶされたように見えます。
数式による表現
系K’で静止している長さL₀の棒を考えます。
この棒の長さを系Kから測定すると、どうなるでしょうか。
系Kで棒の長さを測定するには、同時刻（Δt = 0）に棒の両端の位置を測定する必要があります。
ローレンツ変換を用いて計算すると:L = L₀ / γ = L₀√(1 – v²/c²)
γ > 1 なので、L < L₀ です。
つまり、運動している物体の長さは、静止時の長さL₀よりも短く観測されます。
これを「長さの収縮」または「ローレンツ収縮」と呼びます。
収縮の方向
重要な点は、長さの収縮は運動方向にのみ起こることです。
運動方向に垂直な方向（y軸、z軸方向）の長さは変化しません（y’ = y, z’ = z）。
マイケルソン・モーリーの実験との関係
ローレンツ収縮の概念は、もともとマイケルソン・モーリーの実験結果を説明するために提案されました。
干渉計の腕が運動方向に収縮することで、光の往復時間が等しくなり、干渉縞のずれが観測されないと説明されました。
特殊相対性理論では、この収縮は実際に起こる物理現象として説明されます。
同時性の相対性
ローレンツ変換から導かれるもう一つの驚くべき結果が、同時性の相対性です。
同時性の相対性とは
ある慣性系で同時に起こった2つの事象は、別の慣性系では同時ではありません。
日常生活では、「同時」という概念は絶対的なものと思われています。
しかし、特殊相対性理論では、同時性は観測者の運動状態に依存する相対的な概念です。
数式による表現
系Kで同時刻（Δt = 0）に起こった2つの事象を考えます。
これらの事象の空間座標の差をΔx とします。
ローレンツ変換により、系K’での時刻差は:Δt’ = -γvΔx/c²
Δx ≠ 0 ならば、Δt’ ≠ 0 です。
つまり、系K’では2つの事象は同時ではありません。
具体例:電車と稲妻
よく引用される思考実験を紹介します。
線路に沿って走る電車があり、電車の両端に同時に雷が落ちたとします（地上の観測者から見て）。
地上の観測者から見ると、2つの雷は同時です。
しかし、電車に乗っている観測者から見ると、電車の進行方向の雷が先に落ち、後方の雷は後で落ちたように見えます。
これは、光が電車に到達するまでの時間が、電車の運動により前後で異なるためです。
因果律との関係
同時性の相対性は、因果律（原因→結果の順序）とは矛盾しません。
時間的順序（因果関係）が逆転するのは、光速より速い信号が必要な場合のみです。
特殊相対性理論では、情報は光速を超えて伝わることはできません。
したがって、因果律は保たれます。
ローレンツ不変量と世界間隔
ローレンツ変換で変化しない量（不変量）が存在します。
世界間隔
2つの事象の時空間座標を (t₁, x₁, y₁, z₁) と (t₂, x₂, y₂, z₂) とします。
次の量sは、どの慣性系で測定しても同じ値になります。
s² = c²(Δt)² - (Δx)² - (Δy)² - (Δz)²ここで、Δt = t₂ – t₁、Δx = x₂ – x₁、Δy = y₂ – y₁、Δz = z₂ – z₁ です。
この量sを「世界間隔」または「時空間隔」と呼びます。
世界間隔の分類
世界間隔の符号により、2つの事象の関係を分類できます。
s² > 0（時間的間隔）:2つの事象は因果関係を持ち得ます。一方の事象が他方に影響を与えることが可能です。
s² < 0（空間的間隔）:2つの事象は因果関係を持ちません。どちらも他方に影響を与えることはできません。
s² = 0（光的間隔）:2つの事象は光信号で結ばれます。光速で移動すれば、一方の事象からもう一方に到達できます。
ミンコフスキー時空
ローレンツ変換は、4次元時空（ミンコフスキー時空）における回転変換として理解できます。
ミンコフスキー時空とは
1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、時間と空間を統合した4次元時空の概念を導入しました。
3次元空間座標 (x, y, z) に時間座標ct を加えた4次元空間です。
この時空では、事象は4次元座標 (ct, x, y, z) で表されます。
ローレンツ変換と回転
通常の3次元空間では、回転変換により座標は変わりますが、原点からの距離 r² = x² + y² + z² は不変です。
ミンコフスキー時空では、ローレンツ変換（ブースト）により座標は変わりますが、世界間隔 s² = (ct)² – x² – y² – z² は不変です。
これは、ミンコフスキー時空における「回転」に相当します。
ただし、通常の回転（ユークリッド空間）とは異なり、双曲線的な回転（擬ユークリッド空間）です。
ミンコフスキーダイアグラム
ミンコフスキーダイアグラムは、2次元（横軸x、縦軸ct）または3次元時空を図示したものです。
光の軌跡は、45度の直線（x = ±ct）で表されます。
異なる慣性系は、異なる座標軸の傾きで表されます。
このダイアグラムを用いると、時間の遅れ、長さの収縮、同時性の相対性を幾何学的に理解できます。
ローレンツ群
数学的には、すべてのローレンツ変換の集合は群（ローレンツ群）を構成します。
群の性質
ローレンツ群O(3,1)は、以下の性質を持ちます。
閉包性:2つのローレンツ変換を続けて行うと、また別のローレンツ変換になります。
結合法則が成り立ちます。
単位元（恒等変換）が存在します（v = 0 の場合）。
各変換には逆変換が存在します（速度の符号を逆にする）。
部分群
ローレンツ群には、いくつかの重要な部分群があります。
ローレンツブースト:時間と空間が混ざる変換（相対速度vによるブースト）
空間回転:空間座標のみの回転（時間は変化しない）
これらを組み合わせることで、一般のローレンツ変換を構成できます。
特殊相対性理論における役割
特殊相対性理論では、物理法則はローレンツ変換に対して不変でなければなりません。
これを「ローレンツ不変性」または「ローレンツ共変性」と呼びます。
4元ベクトルやテンソルなど、ローレンツ変換に対して決まった変換性を持つ量を用いて、物理法則を記述します。
応用と物理的意味
ローレンツ変換は、現代物理学の様々な分野で重要な役割を果たしています。
相対論的運動学
速度の合成則:ガリレイ変換では速度は単純に足し算されますが、ローレンツ変換では異なります。
2つの速度v₁とv₂を合成すると:v = (v₁ + v₂) / (1 + v₁v₂/c²)
この式により、どのように速度を合成しても光速を超えることはありません。
相対論的運動量:p = γmv（mは静止質量）
相対論的エネルギー:E = γmc²（静止エネルギー E₀ = mc² を含む）
電磁気学との関係
マクスウェル方程式は、ガリレイ変換では不変ではありませんが、ローレンツ変換では不変です。
このことが、アインシュタインが特殊相対性理論を構築する動機の一つでした。
電場と磁場は、ローレンツ変換により相互に変換されます。
ある慣性系で純粋に電場だけの場合でも、別の慣性系では磁場も現れます。
磁力は、電気力の相対論的効果として理解できます。
粒子物理学
高エネルギー加速器実験では、粒子は光速に近い速度で運動します。
粒子の運動、衝突、崩壊などを記述するには、ローレンツ変換（特殊相対性理論）が不可欠です。
不安定粒子の寿命が延びる現象（時間の遅れ）は、日常的に観測されています。
GPS衛星
GPS衛星は、地球の周りを高速で運動しています（速度による時間の遅れ）。
また、地上より弱い重力場にあります（重力による時間の進み、一般相対論の効果）。
これらの相対論的効果を補正しないと、1日で約10kmもの位置誤差が生じます。
GPS システムは、特殊相対性理論と一般相対性理論の両方の効果を考慮して設計されています。
まとめ
ローレンツ変換は、異なる慣性系間での時間と空間の座標を結びつける変換式です。
アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した特殊相対性理論の中核をなします。
光速度不変の原理と相対性原理という2つの基本原理から導かれます。
ローレンツ変換から、以下の相対論的効果が導かれます。
時間の遅れ:運動している時計はゆっくり進む（Δt = γΔt’）
長さの収縮:運動している物体は進行方向に縮む（L = L₀/γ）
同時性の相対性:ある慣性系で同時の事象は、別の慣性系では同時ではない
世界間隔の不変性:s² = c²(Δt)² – (Δx)² – (Δy)² – (Δz)² はすべての慣性系で同じ
ローレンツ変換は、ミンコフスキー時空における回転変換として幾何学的に理解できます。
ローレンツ群は、すべてのローレンツ変換の集合であり、群の構造を持ちます。
現代物理学における応用は広範囲に及びます。
相対論的運動学（速度の合成、運動量、エネルギー）
電磁気学（電場と磁場の変換、磁力の起源）
粒子物理学（高エネルギー実験、粒子の寿命）
GPS システム（時刻補正）
ローレンツ変換は、我々の時間と空間に対する理解を根本から変えました。
日常的な経験では気づかない相対論的効果ですが、高速の世界や精密な測定では無視できません。
現代科学技術の基盤となっています。
「時間と空間は絶対的ではなく、観測者の運動状態に依存する」という特殊相対性理論の革命的な洞察は、ローレンツ変換という数学的形式によって表現されています。
参考情報
本記事は以下の信頼できる情報源に基づいて作成されました。
- Lorentz transformation – Wikipedia
- Derivations of the Lorentz transformations – Wikipedia
- Length contraction – Wikipedia
- The Lorentz Transformation – Physics LibreTexts
- ローレンツ変換 – Wikipedia
- 長さの収縮 – Wikipedia
- ローレンツ変換の求め方 – EMANの相対性理論
- アインシュタインの発想と特殊相対性理論 – 和から株式会社
- 京都大学 相対性理論 講義ノート
記事最終更新日:2026年2月10日
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