ペル数列とは?【√2の近似から白銀比まで徹底解説】

数学には、フィボナッチ数列という有名な数列がありますが、それとよく似た「ペル数列」という数列をご存知でしょうか?

ペル数列は、√2(ルート2)を分数で近似する際に自然に現れる数列で、古代から知られています。フィボナッチ数列が黄金比と深い関係にあるように、ペル数列は「白銀比」という美しい比率と結びついています。

この記事では、ペル数列の定義から、√2との関係、ペル方程式、さらには実用的な応用まで、わかりやすく解説していきます。

ペル数列とは?

ペル数列(Pell numbers)は、次の漸化式で定義される整数の数列です。

定義

初期値:

• P₀ = 0
• P₁ = 1

漸化式:

• Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂ (n ≥ 2)

つまり、「各項は、直前の項を2倍した数と、2つ前の項を足した数」になります。

最初の数項

実際に計算してみましょう:

• P₀ = 0
• P₁ = 1
• P₂ = 2×1 + 0 = 2
• P₃ = 2×2 + 1 = 5
• P₄ = 2×5 + 2 = 12
• P₅ = 2×12 + 5 = 29
• P₆ = 2×29 + 12 = 70
• P₇ = 2×70 + 29 = 169
• P₈ = 2×169 + 70 = 408
• P₉ = 2×408 + 169 = 985
• P₁₀ = 2×985 + 408 = 2378

ペル数列の最初の項は:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, …

フィボナッチ数列との比較

比較のため、フィボナッチ数列も見てみましょう:

フィボナッチ数列:

• F₀ = 0, F₁ = 1
• Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂
• 数列: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

ペル数列:

• P₀ = 0, P₁ = 1
• Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂
• 数列: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, …

違いは、「直前の項を1倍するか2倍するか」だけです。この小さな違いが、数列の性質に大きな影響を与えます。

ペル数列の名前の由来

実は、「ペル数列」という名前には面白い歴史があります。

誤解から生まれた名前

18世紀の偉大な数学者オイラーが、ペル方程式(x² – Dy² = 1)を研究したのはイギリスの数学者ジョン・ペル(John Pell, 1611-1685)だと誤解して、この方程式を「ペル方程式」と名付けました。

実際には、ペルはこの方程式とほとんど関係がありませんでした。真の功績者は、インドのバースカラ2世(12世紀)や、イギリスのウィリアム・ブラウンカー(17世紀)です。

しかし、オイラーの影響力が大きかったため、「ペル方程式」という名前が広まり、その解に関係する数列も「ペル数列」と呼ばれるようになりました。

古代からの知識

ペル数列そのものは、古代から知られていました。

• 紀元前5世紀のギリシャ:哲学者プラトンが、√2の近似分数の分子を「rational diameters(有理的な直径)」と呼んでいました。
• 紀元2世紀:スミュルナのテオンが、これらの数を「side and diameter numbers(辺と直径の数)」と呼びました。
• 紀元前3-4世紀のインド:インドの数学者たちは、この数列を使った計算法を知っていました。

√2(ルート2)との深い関係

ペル数列の最も重要な応用は、√2を分数で近似することです。

√2の有理近似

√2 = 1.41421356…は無理数なので、分数では正確に表せません。しかし、できるだけ正確な分数で近似したいとき、ペル数列が役立ちます。

ペル数列を使うと、次のような近似分数が得られます:

近似分数の規則:

• 分母: Pₙ(ペル数)
• 分子: Pₙ₋₁ + Pₙ(2つのペル数の和)

実際の近似分数:

n	分子	分母	分数	小数値	誤差
1	1	1	1/1	1.000000	0.414214
2	3	2	3/2	1.500000	0.085786
3	7	5	7/5	1.400000	0.014214
4	17	12	17/12	1.416667	0.002453
5	41	29	41/29	1.413793	0.000421
6	99	70	99/70	1.414286	0.000072
7	239	169	239/169	1.414201	0.000012
8	577	408	577/408	1.414216	0.000002

√2の真の値: 1.41421356…

驚くべきことに、誤差が急速に小さくなっていきます!

なぜペル数列が√2の近似に現れるのか?

これは、√2の連分数展開と関係しています。

√2の連分数展開は:
√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, …]

この連分数の近似分数(収束項)を計算すると、自然にペル数列が現れるのです。

ペル方程式との関係

ペル数列は、「ペル方程式」という不定方程式の解と密接に関係しています。

ペル方程式とは

ペル方程式は次の形の方程式です:

x² – 2y² = 1

または

x² – 2y² = -1

ここで、x, yは整数です。

ペル数列による解

驚くべきことに、ペル数列を使ってペル方程式の解が簡単に求められます。

x² – 2y² = 1 の解:

(x, y) = (Pₙ₋₁ + Pₙ, Pₙ)

つまり:

• x = 前のペル数 + 現在のペル数
• y = 現在のペル数

具体例:

n	x = Pₙ₋₁ + Pₙ	y = Pₙ	x² – 2y²
1	0 + 1 = 1	1	1² – 2×1² = -1
2	1 + 2 = 3	2	3² – 2×2² = 1
3	2 + 5 = 7	5	7² – 2×5² = -1
4	5 + 12 = 17	12	17² – 2×12² = 1
5	12 + 29 = 41	29	41² – 2×29² = -1
6	29 + 70 = 99	70	99² – 2×70² = 1

偶数番目のnでは x² – 2y² = 1、奇数番目のnでは x² – 2y² = -1 になっています。

一般解の生成

最小解(x₁, y₁) = (3, 2)から、すべての解を生成できます:

(xₙ + yₙ√2) = (3 + 2√2)ⁿ

この式を展開すると、xₙ, yₙがペル数列で表されます。

白銀比との関係

フィボナッチ数列が黄金比φ = (1 + √5)/2に関係するように、ペル数列は白銀比に関係します。

白銀比とは

白銀比(Silver ratio):
δ = 1 + √2 = 2.41421356…

白銀比は、方程式 δ² = 2δ + 1 を満たす正の数です。

ペル数列と白銀比

隣接するペル数の比 Pₙ₊₁/Pₙ は、nが大きくなると白銀比に近づきます:

n	Pₙ₊₁/Pₙ	値
1	P₂/P₁ = 2/1	2.000000
2	P₃/P₂ = 5/2	2.500000
3	P₄/P₃ = 12/5	2.400000
4	P₅/P₄ = 29/12	2.416667
5	P₆/P₅ = 70/29	2.413793
6	P₇/P₆ = 169/70	2.414286
7	P₈/P₇ = 408/169	2.414201
8	P₉/P₈ = 985/408	2.414216

真の白銀比: 2.41421356…

ビネの公式(閉形式)

ペル数列には、一般項を直接計算できる公式(ビネの公式)があります:

Pₙ = [(1 + √2)ⁿ – (1 – √2)ⁿ] / (2√2)

ここで:

• (1 + √2) = δ(白銀比)
• (1 – √2) = -1/δ(白銀比の共役)

nが大きくなると、(1 – √2)ⁿの項は0に近づくので:

Pₙ ≈ (1 + √2)ⁿ / (2√2) = δⁿ / (2√2)

つまり、ペル数列は白銀比のべき乗に比例して成長します。

ペル・リュカ数(伴ペル数)

ペル数列に関連する数列として、ペル・リュカ数(Pell-Lucas numbers)または伴ペル数(companion Pell numbers)があります。

定義

初期値:

• Q₀ = 2
• Q₁ = 2

漸化式:

• Qₙ = 2Qₙ₋₁ + Qₙ₋₂ (n ≥ 2)

最初の数項

• Q₀ = 2
• Q₁ = 2
• Q₂ = 2×2 + 2 = 6
• Q₃ = 2×6 + 2 = 14
• Q₄ = 2×14 + 6 = 34
• Q₅ = 2×34 + 14 = 82
• Q₆ = 2×82 + 34 = 198
• Q₇ = 2×198 + 82 = 478
• Q₈ = 2×478 + 198 = 1154

ペル・リュカ数列:
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, …

√2の近似における役割

√2の近似分数の分子は、実はペル・リュカ数の半分です:

分子 = Qₙ/2 = Pₙ₋₁ + Pₙ

n	Qₙ/2	Pₙ	分数
1	2/2 = 1	1	1/1
2	6/2 = 3	2	3/2
3	14/2 = 7	5	7/5
4	34/2 = 17	12	17/12
5	82/2 = 41	29	41/29

ペル数列の重要な性質

ペル数列には、多くの興味深い性質があります。

1. カッシーニの恒等式(Cassini’s identity)

Pₙ₊₁·Pₙ₋₁ – Pₙ² = (-1)ⁿ

例(n=3):
P₄·P₂ – P₃² = 12×2 – 5² = 24 – 25 = -1 = (-1)³ ✓

2. 行列表現

ペル数列は次の行列のべき乗で表されます:

[Pₙ₊₁  Pₙ  ]   [2  1]ⁿ
[Pₙ    Pₙ₋₁] = [1  0]

3. 倍数公式

P₂ₙ = Pₙ·Qₙ

つまり、偶数番目のペル数は、対応するペル数とペル・リュカ数の積で表されます。

4. 和の公式

P₀ + P₁ + P₂ + … + Pₙ = (Pₙ₊₁ + Pₙ – 1) / 2

Newman-Shanks-Williams(NSW)数

ペル数列から派生する重要な数列として、NSW数があります。

定義

NSW数は次のように定義されます:

NWSₙ = P₂ₙ + P₂ₙ₊₁

または等価的に、連続するペル数の和の平方根として:

√(P₀ + P₁ + P₂ + … + P₂ₙ₊₁) = NWSₙ

最初の数項

• NWS₀ = P₀ + P₁ = 0 + 1 = 1
• NWS₁ = P₂ + P₃ = 2 + 5 = 7
• NWS₂ = P₄ + P₅ = 12 + 29 = 41
• NWS₃ = P₆ + P₇ = 70 + 169 = 239
• NWS₄ = P₈ + P₉ = 408 + 985 = 1393

NSW数列:
1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …

性質

P₀ + P₁ + P₂ + … + P₂ₙ₊₁ = (NWSₙ)²

例(n=1):
P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 0 + 1 + 2 + 5 = 8 ≠ 7²

正しい例(n=2):
P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ = 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 = 7² ✓

ペル素数

ペル数の中で素数であるものをペル素数(Pell primes)と呼びます。

最初のペル素数

• P₂ = 2(素数)
• P₃ = 5(素数)
• P₅ = 29(素数)
• P₁₁ = 5741(素数)
• P₁₃ = 33461(素数)
• P₁₇ = 1136689(素数)
• …

興味深い性質

ペル素数の添字nは、必ず素数か2のべき乗です。

つまり、Pₙが素数なら、nは素数または2, 4, 8, 16, …のいずれかです。

ただし、逆は成り立ちません(nが素数でもPₙが素数とは限らない)。

ピタゴラス数との関係

ペル数列を使って、特殊なピタゴラス数(a² + b² = c²を満たす整数の組)が生成できます。

直角二等辺三角形に近い三角形

ペル数列から、辺の長さが1だけ違うピタゴラス数が得られます:

公式:

• a = 2P₂ₙ₊₁の累積和
• b = a + 1
• c = P₂ₙ₊₁

より簡単な表現:

各ピタゴラス数は次の形:
(Pₙ² + 2PₙPₙ₋₁, 2Pₙ² + 2PₙPₙ₋₁ + 1, 2Pₙ² + 2PₙPₙ₋₁ + 2Pₙ)

具体例

n	a	b	c	検証
1	3	4	5	3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² ✓
2	20	21	29	20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29² ✓
3	119	120	169	119² + 120² = 14161 + 14400 = 28561 = 169² ✓
4	696	697	985
5	4059	4060	5741

これらは「ほぼ直角二等辺三角形」を表しています。

ペル数列の応用

ペル数列は、理論だけでなく実用的な場面でも使われます。

1. 数値計算

√2の高精度な近似が必要な場合、ペル数列の近似分数が非常に効率的です。

2. 組み合わせ論

Pₙは、1×2のタイルで2×nの長方形を埋める方法の数に等しいことが知られています。

3. グラフ理論

特定のグラフ構造の数え上げ問題で、ペル数列が現れます。

4. アルゴリズム

特定のアルゴリズムの計算量解析で、ペル数列が自然に現れることがあります。

よくある質問(FAQ)

Q1: ペル数列とフィボナッチ数列の違いは?

A: 両方とも漸化式で定義される数列ですが、フィボナッチ数列はFₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂、ペル数列はPₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂です。フィボナッチ数列が黄金比(約1.618)に関連するのに対し、ペル数列は白銀比(約2.414)に関連します。

Q2: なぜペル数列は√2の近似に使えるのですか?

A: √2の連分数展開√2 = [1; 2, 2, 2, …]の近似分数を計算すると、自然にペル数列が現れます。これは、ペル方程式x² – 2y² = ±1の解がペル数列で表されることと関係しています。

Q3: ペル方程式の名前の由来は?

A: オイラーがこの方程式を研究したのがジョン・ペルだと誤解したためです。実際には、インドのバースカラ2世やイギリスのブラウンカーが主要な貢献者でした。

Q4: 白銀比とは何ですか?

A: 白銀比δ = 1 + √2 ≈ 2.414は、δ² = 2δ + 1を満たす比率です。黄金比が美術や建築で重要なように、白銀比も一部の文化(特に日本建築)で重要視されています。

Q5: すべてのペル数は整数ですか?

A: はい。漸化式Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂で、P₀ = 0, P₁ = 1(どちらも整数)から始まるので、すべてのペル数は整数です。

Q6: ペル素数はどれくらいありますか?

A: 無限にあると予想されていますが、証明されていません。これはフィボナッチ素数と同様の未解決問題です。

Q7: ペル数列の一般項を直接計算できますか?

A: はい、ビネの公式で計算できます: Pₙ = [(1 + √2)ⁿ – (1 – √2)ⁿ] / (2√2)。ただし、nが大きいと浮動小数点誤差に注意が必要です。

まとめ

ペル数列は、一見するとフィボナッチ数列の亜種のように思えますが、実は独自の重要性を持つ数列です。

この記事の要点:

• ペル数列はPₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂で定義される
• 数列: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, …
• √2の最良有理近似を与える(分母がペル数)
• ペル方程式x² – 2y² = ±1の解に直接関係する
• 隣接項の比は白銀比(1 + √2)に収束する
• ペル・リュカ数と合わせて√2の近似分数を構成
• Newman-Shanks-Williams数など派生数列がある
• ピタゴラス数の特殊な族を生成できる
• 組み合わせ論やグラフ理論にも応用がある

ペル数列は、古代から知られながらも、現代数学でも研究が続けられている魅力的なテーマです。

フィボナッチ数列が黄金比と自然界の螺旋構造に結びつくように、ペル数列は白銀比と数論の深い構造に結びついています。

この基礎知識を身につけることで、数論や連分数論のより高度なトピックへの理解が深まるでしょう!