平均値の定理とは？意味・証明・具体例を分かりやすく完全解説

「平均値の定理って何？」
「どんな時に使うの？」
「証明はどうやるの？」

微分積分学における平均値の定理は、高校数学Ⅲや大学の微積分で学ぶ重要な定理です。しかし、初めて学ぶ方にとっては「何を言っているのか分からない」と感じることも多い定理ではないでしょうか。

この記事では、平均値の定理の意味を図を使って直感的に理解できるように解説し、証明、具体例、応用まで、初心者の方にも分かりやすく完全解説します。

平均値の定理とは？

簡単に言うと

ある区間における関数の「平均的な変化率」を、ちょうど実現している点が、その区間の中に必ず存在する

という定理です。

もう少し具体的に

グラフ上で、2点を結ぶ直線（弦）と平行な接線を持つ点が、必ずその2点の間に存在する、ということを保証する定理です。

正式名称

単に「平均値の定理」と言った場合、通常はラグランジュの平均値の定理（Lagrange’s mean value theorem）を指します。

平均値の定理の記述

定理の内容

関数 $f(x)$ が以下の条件を満たすとき：

1. 閉区間 $[a, b]$ で連続
2. 開区間 $(a, b)$ で微分可能

次の式を満たす点 $c$ が開区間 $(a, b)$ 内に少なくとも1つ存在する：

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

ここで、$a < c < b$ です。

式の意味

左辺 $f'(c)$

• 点 $c$ における瞬間の変化率（接線の傾き）
• 微分係数

右辺 $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$

• 区間 $[a, b]$ における平均変化率
• 2点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線（弦）の傾き

定理の主張
「平均変化率」と「瞬間の変化率」が等しくなる点 $c$ が必ず存在する。

幾何学的な意味

グラフで理解する

以下のような状況を考えます：

      y
      |
      |     ●B (b, f(b))
      |    /|
      |   / |
      |  /  | 
      | /   ●C (c, f(c)) ←この点Cで接線が弦ABと平行
      |/   /|
      ●---/-|---
     A   /  |
    (a,f(a))|
      |     |_________ x

2点A、Bを結ぶ線分

• 点A: $(a, f(a))$
• 点B: $(b, f(b))$
• この線分を「弦」と呼ぶ
• 傾き = $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$

点Cにおける接線

• 点C: $(c, f(c))$ where $a < c < b$
• この接線の傾き = $f'(c)$
• この接線が弦ABと平行

定理の主張（幾何学的）

• 関数のグラフが滑らかにつながっていれば
• 弦と平行な接線を持つ点が必ず存在する

直感的な理解

車の運転の例

A地点からB地点まで車で移動したとします。

• 平均速度：全体の移動距離 ÷ 全体の時間 = 60km/h
• 瞬間速度：ある瞬間の速度計の値

平均値の定理の主張
「平均速度が60km/hなら、どこかの瞬間で速度計がちょうど60km/hを指している瞬間が必ずある」

これは直感的に当たり前ですよね。

なぜ重要？

平均値の定理は、局所的な情報（微分）と大域的な情報（区間全体の変化）を結びつける橋渡しをします。

この性質により、様々な応用が可能になります。

条件の意味

条件1：閉区間 $[a, b]$ で連続

連続とは？

• グラフが途切れない
• 飛び（ジャンプ）がない

なぜ必要？

• グラフが途切れていると、弦と平行な接線が存在しない場合がある

条件2：開区間 $(a, b)$ で微分可能

微分可能とは？

• 滑らかな曲線
• 鋭角な角がない
• 接線が引ける

なぜ必要？

• 接線が引けないと、接線の傾きが定義できない

注意点

• 端点 $a, b$ では微分可能でなくてもOK
• $(a, b)$ は開区間なので、端点を含まない

条件が満たされない例

例1：連続でない関数

$$f(x) = \begin{cases}
x & (0 \leq x < 1) \
2 & (x = 1) \
x & (1 < x \leq 2)
\end{cases}$$

$x = 1$ で不連続なので、平均値の定理は使えません。

例2：微分不可能な関数

$$f(x) = |x|$$

区間 $[-1, 1]$ で考えると、$x = 0$ で微分不可能（鋭角な角）なので、平均値の定理は成り立ちません。

ロルの定理

平均値の定理を証明するためには、まずロルの定理を理解する必要があります。

ロルの定理とは

関数 $f(x)$ が以下の条件を満たすとき：

1. 閉区間 $[a, b]$ で連続
2. 開区間 $(a, b)$ で微分可能
3. $f(a) = f(b)$（両端の値が等しい）

次を満たす点 $c$ が開区間 $(a, b)$ 内に少なくとも1つ存在する：

$$f'(c) = 0$$

ロルの定理の意味

グラフで理解

両端の高さが同じ滑らかな山（または谷）があれば、その頂上（または底）で接線は水平になる。

      y
      |
      ●--------●  ←両端の高さが同じ
     A|   /\   |B
      |  /  \  |
      | /    \ |
      |/  ●C  \| ←この点Cで接線が水平（傾き0）
      |________|___ x

ロルの定理の証明（概略）

1. $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続なので、最大値と最小値を持つ（最大値・最小値の定理）
2. ケース1：最大値と最小値が両方とも端点で実現される場合

• $f(x)$ は定数関数
• すべての点で $f'(x) = 0$

1. ケース2：最大値または最小値が内部の点 $c$ で実現される場合

• その点 $c$ は極値
• 極値では微分係数が0（フェルマーの定理）
• したがって $f'(c) = 0$

平均値の定理の証明

ロルの定理を使って、平均値の定理を証明します。

証明の方針

平均値の定理をロルの定理に「変換」する。

具体的には、元の関数 $f(x)$ から、両端の値が等しくなるような新しい関数 $g(x)$ を作ります。

証明

ステップ1：補助関数を定義

以下の関数 $g(x)$ を定義します：

$$g(x) = f(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(x – a)$$

この関数の意味

• $f(x)$：元の関数
• $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}(x – a)$：点Aを通り、弦ABと同じ傾きを持つ直線
• $g(x)$：元の関数と直線の「差」（縦方向の距離）

ステップ2：$g(x)$ が条件を満たすことを確認

1. $g(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続 ✓

• $f(x)$ が連続なので

1. $g(x)$ は開区間 $(a, b)$ で微分可能 ✓

• $f(x)$ が微分可能なので

1. $g(a) = g(b)$ を確認：

$$g(a) = f(a) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(a – a) = f(a)$$

$$g(b) = f(b) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(b – a) = f(b) – (f(b) – f(a)) = f(a)$$

したがって $g(a) = g(b) = f(a)$ ✓

ステップ3：ロルの定理を適用

$g(x)$ はロルの定理の条件をすべて満たすので、

$$g'(c) = 0$$

を満たす $c \in (a, b)$ が存在します。

ステップ4：$g'(c) = 0$ を計算

$$g'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

したがって、

$$g'(c) = f'(c) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = 0$$

ステップ5：結論

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

これが平均値の定理です。■

具体例

例1：2次関数

関数 $f(x) = x^2 – 3x + 5$ について、区間 $[1, 4]$ で平均値の定理を適用する。

ステップ1：条件の確認

多項式関数は至る所で連続かつ微分可能なので、条件を満たす ✓

ステップ2：平均変化率を計算

$$\frac{f(4) – f(1)}{4 – 1} = \frac{(16 – 12 + 5) – (1 – 3 + 5)}{3} = \frac{9 – 3}{3} = 2$$

ステップ3：$f'(c) = 2$ となる $c$ を求める

$$f'(x) = 2x – 3$$

$$f'(c) = 2c – 3 = 2$$

$$c = \frac{5}{2}$$

確認

$c = \frac{5}{2} = 2.5$ は確かに $1 < c < 4$ を満たす ✓

結論

点 $c = 2.5$ において、接線の傾きが弦の傾きと等しくなる。

例2：平方根関数

関数 $f(x) = \sqrt{x + 4}$ について、区間 $[0, 5]$ で平均値の定理を適用する。

ステップ1：条件の確認

$x \geq -4$ で連続かつ微分可能なので、条件を満たす ✓

ステップ2：平均変化率を計算

$$\frac{f(5) – f(0)}{5 – 0} = \frac{\sqrt{9} – \sqrt{4}}{5} = \frac{3 – 2}{5} = \frac{1}{5}$$

ステップ3：$f'(c) = \frac{1}{5}$ となる $c$ を求める

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$$

$$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c + 4}} = \frac{1}{5}$$

$$2\sqrt{c + 4} = 5$$

$$\sqrt{c + 4} = \frac{5}{2}$$

$$c + 4 = \frac{25}{4}$$

$$c = \frac{25}{4} – 4 = \frac{9}{4}$$

確認

$c = \frac{9}{4} = 2.25$ は確かに $0 < c < 5$ を満たす ✓

例3：三角関数

関数 $f(x) = \sin x$ について、区間 $[0, \pi]$ で平均値の定理を適用する。

ステップ1：条件確認

三角関数は至る所で連続かつ微分可能 ✓

ステップ2：平均変化率

$$\frac{f(\pi) – f(0)}{\pi – 0} = \frac{\sin \pi – \sin 0}{\pi} = \frac{0 – 0}{\pi} = 0$$

ステップ3：$f'(c) = 0$ となる $c$ を求める

$$f'(x) = \cos x$$

$$f'(c) = \cos c = 0$$

$$c = \frac{\pi}{2}$$

確認

$c = \frac{\pi}{2}$ は確かに $0 < c < \pi$ を満たす ✓

幾何学的意味

$\sin x$ のグラフで、$(0, 0)$ と $(\pi, 0)$ を結ぶ線分は水平（傾き0）。

この線分と平行な接線（つまり水平な接線）を持つ点は $x = \frac{\pi}{2}$（頂点）。

関連する定理

コーシーの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理を一般化したものです。

定理の内容

関数 $f(x), g(x)$ が以下の条件を満たすとき：

1. 閉区間 $[a, b]$ で連続
2. 開区間 $(a, b)$ で微分可能
3. すべての $x \in (a, b)$ で $g'(x) \neq 0$

次を満たす $c \in (a, b)$ が存在する：

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$$

特殊ケース

$g(x) = x$ とすると、ラグランジュの平均値の定理が得られます。

応用

コーシーの平均値の定理から、ロピタルの定理が導かれます。

積分の平均値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続ならば、

$$\int_a^b f(x) dx = f(c)(b – a)$$

を満たす $c \in (a, b)$ が存在する。

意味

積分（面積）= 関数の平均的な高さ × 区間の幅

この「平均的な高さ」をちょうど実現する点 $c$ が存在する。

平均値の定理の応用

応用1：関数が定数であることの証明

定理

区間全体で $f'(x) = 0$ ならば、$f(x)$ は定数関数である。

証明

任意の2点 $a, b$ を取ると、平均値の定理より、

$$f(b) – f(a) = f'(c)(b – a) = 0 \cdot (b – a) = 0$$

したがって $f(b) = f(a)$

これがすべての $a, b$ で成り立つので、$f(x)$ は定数関数。■

応用2：単調増加・単調減少の判定

定理

ある区間で常に $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調増加する。

証明

$a < b$ とすると、平均値の定理より、

$$f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)$$

仮定より $f'(c) > 0$ かつ $b – a > 0$ なので、

$$f(b) – f(a) > 0$$

したがって $f(b) > f(a)$

これが成り立つので単調増加。■

同様に、$f'(x) < 0$ ならば単調減少。

応用3：不等式の証明

例題

$x > 0$ のとき、$\sin x < x$ を証明せよ。

証明

$f(x) = x – \sin x$ とする。

$f'(x) = 1 – \cos x \geq 0$ （$\cos x \leq 1$）

また、$x > 0$ のとき、どこかで $\cos x < 1$ となる区間があるので、$f(x)$ は単調増加。

$f(0) = 0 – \sin 0 = 0$

したがって、$x > 0$ のとき、$f(x) > f(0) = 0$

つまり、$x – \sin x > 0$

したがって、$\sin x < x$ ■

応用4：漸化式で表される数列の極限

平均値の定理は、$a_{n+1} = f(a_n)$ 型の漸化式で表される数列の極限を求める際にも使われます。

よくある質問（FAQ）

Q1：平均値の定理は何を主張しているの？

A：「平均的な変化率」と「瞬間の変化率」が等しくなる点が必ず存在する、ということです。

グラフ的には、2点を結ぶ線分（弦）と平行な接線を持つ点が存在します。

Q2：なぜ「平均値」という名前？

A：区間全体の「平均変化率」を実現する点を保証するからです。

$$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

これは区間 $[a, b]$ における平均的な変化率を表しています。

Q3：点 $c$ は一意に決まる？

A：いいえ、一般には一意ではありません。複数存在する場合もあります。

平均値の定理は「少なくとも1つ存在する」という存在定理です。

例えば、$f(x) = x^2$ で $[-1, 1]$ を考えると、$c = 0$ で条件を満たしますが、これが唯一の点です。

一方、$f(x) = \sin x$ で $[0, 2\pi]$ を考えると、複数の点で条件を満たします。

Q4：端点で微分可能でなくても良い理由は？

A：平均値の定理は、「開区間 $(a, b)$ 内に点 $c$ が存在する」ことを主張しているからです。

端点 $a, b$ 自体は $c$ の候補に入らないので、端点で微分可能である必要はありません。

ただし、連続性は端点を含む閉区間 $[a, b]$ で必要です。

Q5：平均値の定理はどんな時に使う？

A：主に以下の場面で使われます：

1. 不等式の証明：$f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)$ の形を利用
2. 関数の性質の証明：単調増加・減少の判定など
3. 他の定理の証明：テイラーの定理、微積分の基本定理など
4. 数列の極限：漸化式で表される数列の収束性の証明

Q6：ロルの定理と平均値の定理の違いは？

A：ロルの定理は平均値の定理の特殊ケースです。

• ロルの定理：$f(a) = f(b)$ という追加条件があり、結論は $f'(c) = 0$
• 平均値の定理：$f(a) = f(b)$ の条件がなく、結論は $f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$

ロルの定理で $f(a) = f(b)$ とすると、右辺が0になり、$f'(c) = 0$ が得られます。

Q7：連続性と微分可能性の違いは？

A：微分可能性は連続性より強い条件です。

• 連続：グラフが途切れない
• 微分可能：連続 + 滑らか（角がない）

関係

• 微分可能 → 連続（必ず成り立つ）
• 連続 → 微分可能（成り立たない場合がある）

例：$f(x) = |x|$ は $x = 0$ で連続だが微分不可能

Q8：平均値の定理は多変数関数にも適用できる？

A：そのままの形では適用できませんが、一般化が存在します。

多変数関数の場合、有限増分不等式や多変数の平均値の定理として一般化されます。

2変数関数 $f(x, y)$ の場合：

$$f(\mathbf{b}) – f(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} – \mathbf{a})$$

という形になります。

Q9：平均値の定理の歴史は？

A：1823年にコーシーが定式化・証明しました。

• 1691年：ミシェル・ロルがロルの定理を証明（多項式に限定）
• 1823年：オーギュスタン・ルイ・コーシーが現代的な形の平均値の定理を定式化・証明
• その後、ラグランジュの名前が付けられる

インドのケーララ学派（1370-1460年）にも制限された形の記述があります。

Q10：テイラーの定理との関係は？

A：平均値の定理はテイラーの定理の特殊ケース（1次の場合）と見なせます。

平均値の定理

$$f(b) = f(a) + f'(c)(b – a)$$

テイラーの定理（1次まで）

$$f(b) = f(a) + f'(a)(b – a) + \frac{f”(c)}{2!}(b – a)^2$$

平均値の定理は、テイラー展開を1次で止めた場合に相当します。

まとめ

平均値の定理について、重要なポイントをおさらいしましょう。

平均値の定理とは

閉区間で連続、開区間で微分可能な関数に対して、平均変化率と瞬間変化率が等しくなる点が必ず存在する

$$f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

幾何学的意味

2点を結ぶ線分（弦）と平行な接線を持つ点が存在する

証明の流れ

1. ロルの定理を証明（最大値・最小値の定理を使用）
2. 補助関数 $g(x)$ を定義
3. ロルの定理を適用
4. 平均値の定理を得る

条件

1. 閉区間 $[a, b]$ で連続
2. 開区間 $(a, b)$ で微分可能

関連する定理

• ロルの定理：平均値の定理の証明に使用、特殊ケース（$f(a) = f(b)$）
• コーシーの平均値の定理：平均値の定理の一般化
• 積分の平均値の定理：積分版の平均値の定理

主な応用

1. 関数が定数であることの証明（$f'(x) = 0$ → $f(x) = C$）
2. 単調増加・減少の判定（$f'(x) > 0$ → 単調増加）
3. 不等式の証明
4. 他の定理の証明（テイラーの定理など）
5. 数列の極限（漸化式）

重要ポイント

• 平均値の定理は存在定理（点 $c$ が存在することを保証）
• 点 $c$ は一意とは限らない
• 端点では微分可能でなくてもOK
• 微積分学における最も基本的で重要な定理の一つ

平均値の定理は、一見すると抽象的で分かりにくい定理ですが、「平均的な変化率を実現する点が必ず存在する」という直感的な事実を数学的に厳密に述べたものです。

この定理は、微積分学の多くの定理の証明に使われる基本的な道具であり、関数の性質を調べる上で欠かせない定理です。

まずは具体例でグラフを描いて、幾何学的な意味を理解することから始めましょう。そうすれば、証明や応用もずっと理解しやすくなりますよ！