線積分とは？曲線に沿った積分をわかりやすく解説

「坂道を登る時に、どのくらいエネルギーを使うんだろう?」
「曲がりくねった針金の重さは、どうやって計算するの?」

こんな疑問に答えてくれるのが、「線積分」という数学の手法です。

普通の積分は「直線」に沿って計算しますが、線積分は「曲線」に沿って計算できるんですね。物理学や工学では、力の仕事や電場・磁場の計算など、あらゆる場面で線積分が使われています。

この記事では、線積分とは何か、どう計算するのか、そしてどんなところで役立っているのかを、初心者の方にもわかりやすく解説していきます。

線積分とは？

線積分は、曲線に沿って関数を積分する計算方法です。

普通の積分との違い

まず、高校で習う普通の積分を思い出してみましょう。

普通の積分：

x軸上の区間[a, b]に沿って積分する
グラフと x軸で囲まれた面積を求める
直線的な範囲で計算

線積分：

平面や空間の中の「曲線」に沿って積分する
曲線上の値を「足し合わせる」
くねくねした経路でも計算できる

つまり、線積分は「普通の積分を曲線に拡張したもの」と考えることができるんです。

線積分のイメージ

わかりやすい例で説明しましょう。

例：曲がりくねった針金の質量を計算する

針金の形が複雑で、場所によって密度(ぎっしり詰まっている度合い)が違うとします。

計算の流れ：

針金を細かく切り分ける
それぞれの小さな部分の質量を計算（密度 × 長さ）
すべての部分を足し合わせる
細かく切る極限を取る

これが線積分の基本的な考え方なんです。

線積分の種類

線積分には、大きく分けて2つの種類があります。

1. スカラー場の線積分

スカラー場とは、空間の各点に「数値」が割り当てられている場のことです。

例：

温度分布（各点の温度）
密度分布（各点の密度）
高さ（地形の標高）

イメージ：
xy平面上に曲線があり、その上に「カーテン」を立てる感じです。カーテンの高さは、その場所での関数の値で決まります。線積分は、このカーテンの面積を計算することに対応しているんですね。

2. ベクトル場の線積分

ベクトル場とは、空間の各点に「矢印」(方向と大きさを持つ量)が割り当てられている場のことです。

例：

力の場（重力や電場）
流れの場（風や水の流れ）
磁場

イメージ：
ある経路に沿って移動する時に、そこにある力がどれだけ仕事をするかを計算する感じです。

線積分が使われる場面

線積分は、物理学や工学のさまざまな場面で活躍します。

1. 力学での仕事の計算

物理学で最も基本的な応用が、仕事(Work)の計算です。

高校物理の仕事：
W = F × d (力 × 距離)

でも、これは力が一定で、直線的に動く場合だけです。

実際の問題：

力が場所によって変わる
経路が曲がっている

こんな時に線積分が必要になるんです。

線積分を使った仕事：
曲線に沿って、「力のうち進行方向に働く成分」を足し合わせます。

例：

重力場の中で物体を動かす仕事
電場の中で電荷を動かす仕事
ばねを引っ張る仕事

2. 針金の質量や重心の計算

曲がった針金があり、場所によって密度が違う場合。

線積分でできること：

針金全体の質量
重心（バランスが取れる点）
慣性モーメント（回転のしにくさ）

3. 電磁気学

電磁気学では、線積分が至る所で使われます。

アンペールの法則：
導線に電流が流れると、その周りに磁場ができます。導線の周りを一周する閉じた経路に沿って磁場を線積分すると、囲まれた電流に比例するんです。

ファラデーの電磁誘導の法則：
磁場が変化すると、その周りに電場ができます。これも閉じた経路に沿った電場の線積分で表されます。

4. 流体力学

用途：

流れの中を物体が動く時の抵抗
川や海流の影響を受けながら泳ぐ時の消費エネルギー

例えば、海で泳ぐ時、場所によって流れの強さや方向が違います。線積分を使えば、ある経路を泳ぐのに必要な総エネルギーを計算できるんですね。

5. 曲線の長さ

線積分の特殊な場合として、曲線の長さを計算することもできます。

高校数学で習う「曲線の長さの公式」も、実は線積分の一種なんです。

6. 工学での応用

電気工学：

2つの変電所を結ぶ電力ケーブルの長さ（地形に沿って）
送電線にかかる負荷の計算

機械工学：

複雑な形状の部品の質量や重心
曲がったパイプを流れる流体の計算

線積分の計算方法

実際に線積分をどう計算するか見ていきましょう。

媒介変数表示

線積分を計算するには、曲線を「媒介変数」で表すのが便利です。

媒介変数って何？
曲線上の点を、1つの変数 t を使って表す方法です。

例：円の場合

x = cos(t)
y = sin(t)
0 ≤ t ≤ 2π

この t が0から2πまで変化すると、(x, y)は円を一周します。

スカラー場の線積分の計算

基本的な手順：

曲線を媒介変数で表す

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

線素(微小な長さ)を計算

ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²] dt

関数に媒介変数を代入

f(x, y, z) → f(x(t), y(t), z(t))

tについて積分

ベクトル場の線積分の計算

基本的な手順：

曲線を媒介変数で表す
接ベクトル(進む方向のベクトル)を計算

dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

ベクトル場との内積を取る

F・(dr/dt)

tについて積分

具体例：直線に沿った線積分

問題：
ベクトル場 F = (x, y) の中で、原点(0, 0)から点(1, 1)まで、直線 y = x に沿って線積分する。

解き方：

媒介変数表示

x = t, y = t (0 ≤ t ≤ 1)

接ベクトル

dr/dt = (1, 1)

ベクトル場に代入

F = (t, t)

内積

F・(dr/dt) = t × 1 + t × 1 = 2t

積分

∫₀¹ 2t dt = [t²]₀¹ = 1

答えは1です。

経路依存性

線積分の重要な性質として、経路依存性があります。

経路で答えが変わる？

普通の積分では、始点と終点が同じなら答えは一つに決まります。

でも線積分では、始点と終点が同じでも、通る経路が違えば答えが違うことがあるんです。

例：
原点(0, 0)から点(1, 1)まで移動する時

経路1： x軸に沿って(1, 0)まで行き、そこから y軸に平行に(1, 1)へ
経路2： 直線 y = x に沿って(1, 1)へ
経路3： y軸に沿って(0, 1)まで行き、そこから x軸に平行に(1, 1)へ

ベクトル場によっては、これらの経路で線積分の値が全部違うことがあります。

経路によらない場合もある

ベクトル場が保存場（ポテンシャルを持つ場）の場合は、経路によらず、始点と終点だけで値が決まります。

保存場の例：

重力場
静電場（時間変化しない電場）

これらの場合、エネルギー保存則が成り立つので、どんな経路を通っても仕事は同じになるんです。

周回積分（閉路積分）

周回積分とは、始点と終点が同じ閉じた曲線に沿った線積分のことです。

記号

周回積分は、特別な記号 ∮ を使って表すことがあります。

保存場での周回積分

保存場では、閉じた経路を一周する線積分は必ずゼロになります。

理由：
どこから出発しても、元の場所に戻ってくると、エネルギーの変化がないからです。

周回積分の応用

アンペールの法則（電磁気学）：
∮ B・dr = μ₀I

導線の周りの磁場を一周積分すると、囲まれた電流 I に比例する

循環（Circulation）：
流体の渦の強さを表す量で、周回積分で定義されます。

線積分の重要な定理

基本定理

線積分の基本定理：
ベクトル場 F がある関数 φ の勾配(ポテンシャル)で表せる時
F = ∇φ

線積分は始点と終点の φ の値の差になります：
∫ F・dr = φ(終点) – φ(始点)

これは、普通の積分の基本定理(微積分学の基本定理)の拡張版です。

グリーンの定理

平面上の閉曲線に沿った線積分と、その内部の面積分を関係づける定理です。

電磁気学や流体力学で非常に重要な役割を果たします。

ストークスの定理

グリーンの定理を3次元に拡張したもので、閉曲線に沿った線積分と、その曲線が囲む曲面上の面積分を関係づけます。

電磁気学のマクスウェル方程式を理解する上で欠かせません。

実際の計算例

もう少し具体的な例を見てみましょう。

例1：円周上の線積分

問題：
半径1の円周上で、関数 f(x, y) = x² + y² の線積分を求めよ。

解答：

円を媒介変数で表す

x = cos(t), y = sin(t) (0 ≤ t ≤ 2π)

関数に代入

f = cos²(t) + sin²(t) = 1（三角関数の恒等式）

線素を計算

ds = √[(−sin(t))² + (cos(t))²] dt = dt

積分

∫₀^(2π) 1・dt = 2π

答えは2πです。これは円周の長さ×関数の値(=1)に一致していますね。

例2：仕事の計算

問題：
力の場 F = (y, x) の中で、原点から点(1, 1)まで、放物線 y = x² に沿って物体を動かす仕事を求めよ。