「正則」という言葉、聞いたことありますか？
数学やプログラミングを学ん
でいると、「正則」という言葉に出会うことがあります。
しかし、実はこの言葉、文脈によって全く違う意味を持つため、混乱することが多いのです。
この記事では、「正則」の主な3つの意味を、初心者の方にもわかりやすく解説します。
「正則」の3つの意味
「正則」という言葉は、主に以下の3つの文脈で使われます。
| 分野 | 日本語 | 英語 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 線形代数 | 正則行列 | Regular Matrix / Invertible Matrix | 逆行列を持つ正方行列 |
| 複素解析 | 正則関数 | Holomorphic Function / Regular Function | 複素数の領域で微分可能な関数 |
| 情報科学 | 正規表現 | Regular Expression | 文字列パターンを表す表記法 |
注意：
- 情報科学では「正規表現」と呼ばれますが、英語は”Regular Expression”で、”Regular”は「正則」とも訳せます。
- 数学では「正則」、情報科学では「正規」と訳し分けられることが多いです。
「正則」の語源と共通点
「正則（Regular）」の意味：
英語の”Regular”には「規則的」「整った」「正常な」という意味があります。
数学や情報科学では、「ある概念に強い制限をかけたもの」という意味で使われます。
共通点：
- 制限をかけることで、扱いやすくなる
- 特別な性質を持つ
- 理論的に重要
例：
- 正則行列：逆行列を持つという制限 → 連立方程式が解ける
- 正則関数：微分可能という制限 → 無限回微分可能、べき級数展開可能
- 正規表現：正規文法で表現可能という制限 → 効率的にパターンマッチング可能
1. 正則行列（線形代数）
正則行列とは
正則行列（せいそくぎょうれつ、Regular Matrix）とは、逆行列を持つ正方行列のことです。
別名：
- 可逆行列（Invertible Matrix）
- 非特異行列（Non-singular Matrix）
逆行列とは
数学では、ある数 a に対して、a × (1/a) = 1 となる (1/a) を「逆数」と呼びます。
同様に、行列にも「逆行列」があります。
行列 A に対して、以下を満たす行列 B が存在するとき、B を A の逆行列と呼び、A⁻¹ と書きます。
条件：
A × B = B × A = I
ここで、I は単位行列（対角成分が1、それ以外が0の行列）です。
正則行列の定義
定義：
n次正方行列 A に対して、以下を満たす n次正方行列 A⁻¹ が存在するとき、A は正則行列である。
A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I
正則行列の例
例1：2×2行列
以下の行列 A は正則です。
A = [ 2 5 ]
[ 1 3 ]なぜなら、以下の行列 B が存在するからです。
B = [ 3 -5 ]
[ -1 2 ]計算すると：
A × B = [ 2 5 ] × [ 3 -5 ] = [ 1 0 ] = I
[ 1 3 ] [ -1 2 ] [ 0 1 ]
B × A = [ 3 -5 ] × [ 2 5 ] = [ 1 0 ] = I
[ -1 2 ] [ 1 3 ] [ 0 1 ]したがって、B = A⁻¹ です。
例2：正則でない行列
以下の行列 A は正則ではありません。
A = [ 0 0 ]
[ 0 0 ]どんな行列 B を持ってきても、A × B = I とはなりません。
正則行列の判定方法
行列 A が正則であるかどうかを判定する方法はいくつかあります。
方法1：行列式を計算
A が正則 ⇔ det(A) ≠ 0
行列式（Determinant）が0でなければ、正則です。
例：
A = [ 2 5 ]
[ 1 3 ]det(A) = 2 × 3 – 5 × 1 = 6 – 5 = 1 ≠ 0
したがって、A は正則です。
方法2：ランクを確認
A が n次正方行列で正則 ⇔ rank(A) = n
行列のランク（階数）が行列のサイズと等しければ、正則です。
方法3：固有値を確認
A が正則 ⇔ すべての固有値が0でない
固有値に0が含まれていなければ、正則です。
正則行列の性質
正則行列には、以下のような重要な性質があります。
性質1：逆行列の一意性
正則行列 A の逆行列 A⁻¹ は一意に定まります。
性質2：逆行列の逆行列
(A⁻¹)⁻¹ = A
逆行列の逆行列は、元の行列です。
性質3：転置と逆行列
(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
転置行列の逆行列は、逆行列の転置と等しいです。
性質4：積と逆行列
(A × B)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹
積の逆行列は、逆行列の積（順序が逆）と等しいです。
性質5：行列式と逆行列
det(A⁻¹) = 1 / det(A)
逆行列の行列式は、元の行列の行列式の逆数です。
正則行列の応用
正則行列は、以下のような場面で重要です。
応用1：連立方程式を解く
連立一次方程式 Ax = b を考えます。
A が正則なら、両辺に左から A⁻¹ をかけて：
x = A⁻¹ × b
結論：
A が正則 ⇔ 連立方程式 Ax = b が一意の解を持つ
応用2：線形変換
行列は、ベクトル空間の線形変換を表します。
A が正則 ⇔ この線形変換は可逆（逆変換が存在）
応用3：一般線型群
n次正則行列の全体は、行列の積に関して一般線型群（General Linear Group）と呼ばれる群を成します。
これは、代数学や幾何学で重要な概念です。
2. 正則関数（複素解析）
正則関数とは
正則関数（せいそくかんすう、Holomorphic Function）とは、複素数の領域で微分可能な関数のことです。
別名：
- 整型関数（Holomorphic Function）
- 解析関数（Analytic Function）
注意：
複素解析では、「正則関数」「解析関数」「複素微分可能関数」はすべて同じ意味です。
複素関数の微分
複素関数 f(z) が点 a で微分可能とは、以下の極限が存在することです。
f'(a) = lim[h→0] (f(a+h) - f(a)) / h重要なポイント：
この極限は、h が 0 に近づく「どの方向」からでも同じ値でなければなりません。
複素平面では、h は無数の方向から 0 に近づくことができます（例：実軸方向、虚軸方向、斜め方向など）。
これが、実関数の微分よりもはるかに強い条件です。
正則関数の定義
定義：
複素関数 f(z) が、領域 D 内のすべての点で微分可能であるとき、f(z) は D 上で正則である。
例：
- f(z) = z²は、複素数全体で正則
- f(z) = eᶻ は、複素数全体で正則
- f(z) = 1/z は、z ≠ 0 で正則
コーシー・リーマンの方程式
複素関数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) が正則であるための必要十分条件は、コーシー・リーマンの方程式（Cauchy-Riemann Equations）を満たすことです。
コーシー・リーマンの方程式：
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂xここで、u(x, y) は実部、v(x, y) は虚部です。
例：f(z) = z² が正則であることを確認
z = x + iy とすると：
f(z) = z² = (x + iy)² = x² - y² + 2ixyしたがって、u(x, y) = x² – y²、v(x, y) = 2xy
偏微分すると：
∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 2x → ∂u/∂x = ∂v/∂y ✓
∂u/∂y = -2y, ∂v/∂x = 2y → ∂u/∂y = -∂v/∂x ✓コーシー・リーマンの方程式を満たすので、f(z) = z² は正則です。
正則関数の驚くべき性質
正則関数には、実関数にはない驚くべき性質があります。
性質1：無限回微分可能
正則関数は、無限回微分可能です。
実関数では、1回微分可能でも2回微分可能とは限りませんが、複素関数では、1回微分可能なら無限回微分可能です。
性質2：べき級数展開可能（テイラー展開）
正則関数 f(z) は、任意の点 z₀ の周りでべき級数に展開できます。
f(z) = Σ[n=0 to ∞] (f⁽ⁿ⁾(z₀) / n!) (z - z₀)ⁿつまり、正則関数 = 解析関数です。
性質3：コーシーの積分定理
正則関数 f(z) を、閉曲線 C に沿って線積分すると、その値は 0 です（Cで囲まれた領域内で f(z) が正則であれば）。
∮_C f(z) dz = 0性質4：コーシーの積分公式
正則関数 f(z) の値は、その点を囲む曲線上での積分で表せます。
f(z₀) = (1 / 2πi) ∮_C (f(z) / (z - z₀)) dz性質5：リウヴィルの定理
複素数全体で有界な正則関数は、定数関数に限られます。
これは、実関数では成り立たない驚くべき定理です。
例えば、sin(x) は実数全体で有界ですが、定数関数ではありません。しかし、複素関数として sin(z) を考えると、複素数全体では有界ではありません。
正則関数の例
例1：多項式関数
f(z) = z²、f(z) = z³ + 2z + 1 など
すべての多項式関数は、複素数全体で正則です（整関数）。
例2：指数関数
f(z) = eᶻ
複素数全体で正則です。
例3：三角関数
f(z) = sin(z)、f(z) = cos(z)
複素数全体で正則です。
例4：有理関数
f(z) = 1/z
z ≠ 0 で正則です（z = 0 は極）。
例5：正則でない関数
f(z) = z̄（複素共役）
コーシー・リーマンの方程式を満たさないため、正則ではありません。
正則関数の応用
正則関数は、以下のような分野で重要です。
- 複素解析：関数論の中心的な対象
- 物理学：流体力学、電磁気学、量子力学
- 工学：等角写像、信号処理
- 数論：解析的整数論、リーマンゼータ関数
3. 正規表現（情報科学）
正規表現とは
正規表現（せいきひょうげん、Regular Expression）とは、文字列のパターンを表現するための表記法です。
英語：
- Regular Expression
- 略：regex、regexp、RE
注意：
日本語では「正規表現」と呼ばれますが、英語の”Regular”は「正則」とも訳せます。
数学では「正則表現」と訳されることもあります。
正規表現の目的
通常の検索では、「apple」のように具体的な文字列を指定します。
しかし、正規表現を使うと、「こんな感じの文字列」という曖昧なパターンを指定できます。
例：
- 「a で始まる単語」
- 「数字が3つ並んだ部分」
- 「メールアドレスの形式」
- 「電話番号の形式」
正規表現の基本
正規表現は、通常の文字と「メタ文字」と呼ばれる特別な記号を組み合わせて書きます。
基本的なメタ文字
| メタ文字 | 意味 | 例 | マッチする例 |
|---|---|---|---|
. | 任意の1文字 | a.c | abc, a1c, a@c |
* | 直前の文字の0回以上の繰り返し | ab*c | ac, abc, abbc, abbbc |
+ | 直前の文字の1回以上の繰り返し | ab+c | abc, abbc, abbbc |
? | 直前の文字の0回または1回 | ab?c | ac, abc |
^ | 行頭 | ^abc | 行の先頭が”abc” |
$ | 行末 | abc$ | 行の末尾が”abc” |
[] | いずれか1文字 | [abc] | a, b, c |
[^] | 否定（いずれでもない1文字） | [^abc] | a, b, c 以外 |
| | または | cat|dog | cat または dog |
() | グループ化 | (ab)+ | ab, abab, ababab |
文字クラス
| 記号 | 意味 |
|---|---|
\d | 数字（0-9） |
\D | 数字以外 |
\w | 単語文字（英数字とアンダースコア） |
\W | 単語文字以外 |
\s | 空白文字（スペース、タブ、改行など） |
\S | 空白文字以外 |
正規表現の例
例1：電話番号
パターン：
\d{3}-\d{4}-\d{4}意味：
\d{3}：数字3桁-：ハイフン\d{4}：数字4桁-：ハイフン\d{4}：数字4桁
マッチする例：
- 090-1234-5678
- 080-9876-5432
例2：メールアドレス
パターン（簡易版）：
\w+@\w+\.\w+意味：
\w+：単語文字の1回以上の繰り返し（ユーザー名）@：アットマーク\w+：単語文字の1回以上の繰り返し（ドメイン名）\.：ドット（\でエスケープ）\w+：単語文字の1回以上の繰り返し（トップレベルドメイン）
マッチする例：
- user@example.com
- test@mail.co
例3：日付（YYYY-MM-DD）
パターン：
\d{4}-\d{2}-\d{2}意味：
\d{4}：数字4桁（年）-：ハイフン\d{2}：数字2桁（月）-：ハイフン\d{2}：数字2桁（日）
マッチする例：
- 2025-01-05
- 2024-12-31
正規表現の用途
正規表現は、以下のような場面で使われます。
用途1：文字列の検索
テキストエディタやプログラミング言語で、特定のパターンに一致する文字列を探す。
例：
- ログファイルから、エラーメッセージを抽出
- ソースコードから、特定の関数呼び出しを検索
用途2：文字列の置換
特定のパターンに一致する文字列を、別の文字列に置き換える。
例：
- 電話番号の形式を統一（ハイフンあり/なし）
- HTMLタグを削除
用途3：入力のバリデーション
ユーザーが入力した値が、想定した形式に一致しているかチェックする。
例：
- メールアドレスの形式チェック
- パスワードの強度チェック
- 郵便番号の形式チェック
用途4：データの抽出
テキストから、特定のパターンに一致する部分を抽出する。
例：
- ウェブページからURLを抽出
- 文章から日付を抽出
正規表現を使えるツール・言語
正規表現は、多くのプログラミング言語やツールでサポートされています。
プログラミング言語：
- Python：re モジュール
- JavaScript：RegExp オブジェクト
- Java：java.util.regex パッケージ
- Perl：組み込みサポート
- Ruby：Regexp クラス
- PHP：preg_* 関数
ツール：
- テキストエディタ：Visual Studio Code、Sublime Text、Vim、Emacs
- コマンドラインツール：grep、sed、awk
- データベース：MySQL、PostgreSQL（REGEXP演算子）
正規表現の注意点
注意1：処理系によって違いがある
正規表現の仕様は、処理系（言語やツール）によって微妙に異なります。
例：
- Perlの正規表現
- POSIX正規表現
- PCRE（Perl互換正規表現）
- ECMAScript正規表現
注意2：パフォーマンスに注意
複雑な正規表現は、処理に時間がかかることがあります。
対策：
- できるだけシンプルな正規表現を使う
- バックトラック（後戻り）を減らす
注意3：可読性に注意
複雑な正規表現は、読みにくく、メンテナンスが難しくなります。
対策：
- コメントを付ける
- 複雑な正規表現は、複数の簡単な正規表現に分割
よくある質問
Q: 「正則」と「正規」の違いは何ですか？
A: 基本的に同じ意味で、英語の”Regular”の訳語です。
- 数学では「正則」と訳されることが多い（正則行列、正則関数）
- 情報科学では「正規」と訳されることが多い（正規表現、正規化）
ただし、厳密に使い分けられているわけではなく、文脈によります。
Q: 正則行列と正方行列の違いは何ですか？
A: 正方行列は「行数と列数が同じ行列」です。正則行列は「正方行列のうち、逆行列を持つもの」です。
つまり、正則行列 ⊂ 正方行列（正則行列は正方行列の一部）です。
すべての正方行列が正則とは限りません。
Q: 複素関数で「正則」と「解析的」は同じですか？
A: はい、複素解析では同じ意味です。
歴史的には、「正則関数」は「微分可能な関数」、「解析関数」は「べき級数展開可能な関数」として定義されていましたが、複素関数ではこの2つが同値であることが証明されています。
したがって、現在では「正則関数」=「解析関数」として扱われます。
Q: 正規表現はどうやって勉強すればいいですか？
A: 以下のステップがおすすめです：
- 基本的なメタ文字を覚える（
.,*,+,?,^,$,[],|,()） - オンライン正規表現テスターを使って練習（regex101.comなど）
- 実際のテキストエディタで検索・置換に使ってみる
- プログラミング言語で実装してみる
Q: 正規表現で「すべてのメールアドレス」を完璧にマッチさせることはできますか？
A: 理論的には可能ですが、実際には非常に複雑になります。
メールアドレスの仕様（RFC 5322）は非常に複雑で、完璧な正規表現は数百文字にもなります。
実用的には、「ほとんどのメールアドレスにマッチする」簡易的な正規表現を使うことが多いです。
Q: なぜ「正則」という名前なのですか？
A: 英語の”Regular”には「規則的」「整った」「正常な」という意味があります。
数学や情報科学では、「ある概念に強い制限をかけたもの」という意味で使われます。
制限をかけることで、扱いやすく、理論的に重要な性質を持つようになるため、「正則」と呼ばれます。
Q: 正則行列の逆行列はどうやって求めますか？
A: 逆行列を求める方法は2通りあります：
方法1：掃き出し法（ガウス・ジョルダンの消去法）
- (A | I) という拡大行列を作る
- 行基本変形で (I | B) の形にする
- B が逆行列 A⁻¹
方法2：余因子行列を使う
- A⁻¹ = (1/det(A)) × (余因子行列の転置)
実際の計算では、掃き出し法の方が効率的です。
まとめ
「正則」について、重要なポイントをまとめます。
「正則」の3つの意味：
| 分野 | 意味 | 重要性 |
|---|---|---|
| 線形代数 | 逆行列を持つ正方行列 | 連立方程式、線形変換 |
| 複素解析 | 複素数の領域で微分可能な関数 | 関数論の中心的対象 |
| 情報科学 | 文字列パターンを表す表記法（正規表現） | 文字列処理の基本ツール |
1. 正則行列（線形代数）
- 定義：逆行列を持つ正方行列
- 判定：行列式が0でない ⇔ 正則
- 応用：連立方程式を解く、線形変換
- 性質：逆行列は一意、積の逆行列 = 逆行列の積（順序逆）
2. 正則関数（複素解析）
- 定義：複素数の領域で微分可能な関数
- 条件：コーシー・リーマンの方程式を満たす
- 驚くべき性質：
- 1回微分可能 → 無限回微分可能
- 正則 = 解析的（べき級数展開可能）
- リウヴィルの定理（有界な正則関数は定数）
- 応用：複素解析、物理学、工学
3. 正規表現（情報科学）
- 定義：文字列のパターンを表す表記法
- 目的：「こんな感じの文字列」を指定
- 基本：通常の文字 + メタ文字（特別な記号）
- 用途：検索、置換、バリデーション、データ抽出
- 注意：処理系によって仕様が異なる
共通点：
- 英語は”Regular”
- 「制限をかけることで、扱いやすくなる」
- 理論的に重要
重要なポイント：
「正則」という言葉は、文脈によって全く違う意味を持ちます。
- 線形代数を学んでいるなら、「正則 = 逆行列を持つ」
- 複素解析を学んでいるなら、「正則 = 微分可能」
- プログラミングをしているなら、「正規表現 = 文字列パターン」
文脈を理解して、適切に使い分けることが重要です。
この記事が、あなたの「正則」の理解の助けになれば幸いです！
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