リュカ数列とは？フィボナッチ数列の双子のような数列を徹底解説

「リュカ数列」という名前を聞いたことがありますか？

フィボナッチ数列は有名ですが、実はそれと双子のような関係にある「リュカ数列」という数列があります。

フィボナッチ数列と同じルールで数を並べていくのに、最初の2つの数だけが違うだけで、全く異なる数列になるんです。

今回は、このリュカ数列について、定義から性質、フィボナッチ数列との関係まで、分かりやすく解説していきます。

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リュカ数列とは？

定義

リュカ数列（Lucas sequence / Lucas numbers）とは、次のように定義される数列です。

L₀ = 2
L₁ = 1
Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂（n ≥ 2）

つまり、最初の2つの数を 2 と 1 として、3番目以降は前の2つの数を足した数になります。

数列の具体例

実際にリュカ数列を書き出してみましょう。

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349…

• L₀ = 2
• L₁ = 1
• L₂ = 2 + 1 = 3
• L₃ = 1 + 3 = 4
• L₄ = 3 + 4 = 7
• L₅ = 4 + 7 = 11
• L₆ = 7 + 11 = 18

このように続いていきます。

フィボナッチ数列との比較

フィボナッチ数列は、次のように定義されます。

F₀ = 0
F₁ = 1
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂（n ≥ 2）

数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

見比べてみると：

項	フィボナッチ数列	リュカ数列
0番目	0	2
1番目	1	1
2番目	1	3
3番目	2	4
4番目	3	7
5番目	5	11
6番目	8	18

ルールは全く同じ（前の2項を足す）ですが、最初の2つの値が違うだけで、全く異なる数列になるんですね。

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リュカ数列の名前の由来

エドゥアール・リュカ

リュカ数列は、フランスの数学者エドゥアール・リュカ（François Édouard Anatole Lucas, 1842-1891）に因んで名付けられました。

実は、「フィボナッチ数列」という名前を付けたのも、このリュカです。

リュカは、フィボナッチ数列を研究していた時に、この数列も発見し、その性質を詳しく調べました。

リュカは数論の研究で知られ、素数判定に関する重要な定理も発見しています。

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リュカ数列の一般項

ビネの公式（リュカ数版）

フィボナッチ数列には「ビネの公式」という一般項の公式がありますが、リュカ数列にも同様の公式があります。

Lₙ = φⁿ + (1-φ)ⁿ = φⁿ + (-φ)⁻ⁿ

ここで、φ（ファイ）は黄金比です。

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618…

また、

(1 – φ) = (1 – √5) / 2 ≈ -0.618… = -1/φ

この式を使えば、n番目のリュカ数を直接計算できます。

例：L₅を計算してみる

φ ≈ 1.618, 1-φ ≈ -0.618 として、

L₅ = (1.618)⁵ + (-0.618)⁵
≈ 11.09 + (-0.09)
≈ 11

実際にL₅ = 11なので、合っていますね。

フィボナッチ数の一般項との比較

フィボナッチ数の一般項

Fₙ = (φⁿ – (1-φ)ⁿ) / √5

リュカ数の一般項

Lₙ = φⁿ + (1-φ)ⁿ

フィボナッチは「引き算して√5で割る」、リュカは「足し算」という違いがあります。

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リュカ数列の性質

リュカ数列には、興味深い性質がたくさんあります。

性質1：黄金比への収束

隣り合うリュカ数の比は、黄金比φに収束します。

Lₙ₊₁ / Lₙ → φ（n → ∞）

例：

• L₁ / L₀ = 1 / 2 = 0.5
• L₂ / L₁ = 3 / 1 = 3
• L₃ / L₂ = 4 / 3 ≈ 1.333…
• L₄ / L₃ = 7 / 4 = 1.75
• L₅ / L₄ = 11 / 7 ≈ 1.571…
• L₆ / L₅ = 18 / 11 ≈ 1.636…
• L₁₀ / L₉ = 123 / 76 ≈ 1.618…

だんだん黄金比（≈1.618）に近づいていくのが分かります。

これは、フィボナッチ数列と同じ性質です。

性質2：フィボナッチ数との関係

リュカ数とフィボナッチ数の間には、様々な関係式があります。

関係式1：隣接するフィボナッチ数の和

Lₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₊₁

つまり、リュカ数は、その項番号を挟む2つのフィボナッチ数の和になります。

例：

• L₃ = F₂ + F₄ = 1 + 3 = 4 ✓
• L₅ = F₄ + F₆ = 3 + 8 = 11 ✓

関係式2：積の公式

F₂ₙ = Fₙ × Lₙ

例：

• F₆ = F₃ × L₃ = 2 × 4 = 8 ✓
• F₁₀ = F₅ × L₅ = 5 × 11 = 55 ✓

関係式3：フィボナッチ数で表す

Lₙ = √5 × Fₙ（近似）

厳密には、√5 × Fₙ に近い値になります。

性質3：リュカ恒等式

Lₙ² – 5Fₙ² = 4 × (-1)ⁿ

これは「リュカ恒等式」と呼ばれる有名な式です。

例：n = 3の場合

• L₃² – 5F₃² = 4² – 5×2² = 16 – 20 = -4
• 4 × (-1)³ = 4 × (-1) = -4 ✓

性質4：奇数と偶数のパターン

Lₙが偶数になるのは、nが3の倍数の時だけです。

• L₀ = 2（偶数）← 0は3の倍数
• L₁ = 1（奇数）
• L₂ = 3（奇数）
• L₃ = 4（偶数）← 3の倍数
• L₄ = 7（奇数）
• L₅ = 11（奇数）
• L₆ = 18（偶数）← 3の倍数

この規則性は、フィボナッチ数列（3の倍数番目が偶数）と同じです。

性質5：負の添字への拡張

リュカ数列は、負の整数にも拡張できます。

漸化式 Lₙ₋₂ = Lₙ – Lₙ₋₁ を使って、逆向きに計算します。

…, -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, …

• L₋₁ = L₁ – L₀ = 1 – 2 = -1
• L₋₂ = L₀ – L₋₁ = 2 – (-1) = 3
• L₋₃ = L₋₁ – L₋₂ = -1 – 3 = -4

一般に、L₋ₙ = (-1)ⁿ × Lₙ

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リュカ素数

リュカ素数とは？

リュカ素数（Lucas prime）とは、リュカ数であり、かつ素数である数のことです。

最初のリュカ素数

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, …

対応する添字は：

n = 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, …

リュカ素数の条件

重要な定理

Lₙが素数ならば、nは0、素数、または2のべき乗でなければならない。

例外：n = 0の場合、L₀ = 2は素数

ただし、逆は成り立ちません。つまり、nが素数でも、Lₙが必ずしも素数になるとは限りません。

例：

• n = 3（素数）→ L₃ = 4 = 2²（素数ではない）
• n = 5（素数）→ L₅ = 11（素数）
• n = 7（素数）→ L₇ = 29（素数）

最大のリュカ素数

2022年時点で、最大の確認されたリュカ素数はL₁₄₈₀₉₁で、これは30,950桁の数です。

また、最大の確率的素数（probable prime）はL₅₄₆₆₃₁₁で、1,142,392桁です。

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リュカ数列の特別な数

完全平方数

リュカ数列の中で完全平方数（平方数）になるのは、1と4だけです。

• L₁ = 1 = 1²
• L₃ = 4 = 2²

それ以外のリュカ数は、平方数になりません。

三角数

リュカ数列の中で三角数になるのは、1, 3, 5778だけです。

三角数とは、1 + 2 + 3 + … + nの形で表せる数のことです。

• 1 = 1
• 3 = 1 + 2
• 5778 = 1 + 2 + … + 107

立方数

リュカ数列の中で立方数（3乗数）になるのは、1だけです。

L₁ = 1 = 1³

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広義のリュカ数列

ここまで説明してきたのは、「狭義のリュカ数」でしたが、実は「リュカ数列」という言葉には、もっと広い意味もあります。

一般化されたリュカ数列

二次方程式 x² – Px + Q = 0 の2つの解をα, βとすると、

Uₙ(P, Q) = (αⁿ – βⁿ) / (α – β)
Vₙ(P, Q) = αⁿ + βⁿ

という2つの数列をリュカ数列（広義）といいます。

有名な数列がすべて含まれる

この広義のリュカ数列には、多くの有名な数列が含まれます。

フィボナッチ数列：U(1, -1)

• P = 1, Q = -1の場合
• F₀ = 0, F₁ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂

（狭義の）リュカ数列：V(1, -1)

• P = 1, Q = -1の場合
• L₀ = 2, L₁ = 1, Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂

ペル数：U(2, -1)

• P = 2, Q = -1の場合
• 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, …

メルセンヌ数：Uₙ(3, 2) = 2ⁿ – 1

• P = 3, Q = 2の場合
• 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, …

このように、広義のリュカ数列は、数論に現れる重要な数列を統一的に扱える枠組みなんです。

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リュカ数列の応用

リュカ数列は、理論的な興味だけでなく、実用的な応用もあります。

1. 素数判定

リュカ-レーマーテスト（Lucas-Lehmer test）

メルセンヌ素数を判定する方法で、リュカ数列の性質を利用しています。

これは、大きな素数を見つける最も効率的な方法の一つです。

2. 暗号理論

LUC暗号

リュカ数列を使った公開鍵暗号システムがあります。

RSA暗号の代替として研究されています。

3. 擬似乱数生成

リュカ数列の性質を利用して、擬似乱数を生成する方法があります。

4. 組合せ論

円環状の配置問題

1, 2, …, nの中から、隣り合わない数を選ぶ方法の総数は、Lₙ通りになります。

（ただし、1とnも隣り合っているとみなす円環状の配置）

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プログラミングでの実装

再帰的な実装（Python）

def lucas(n):
    if n == 0:
        return 2
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return lucas(n-1) + lucas(n-2)

# 使用例
print(lucas(9))  # 76

反復的な実装（効率的）

def lucas(n):
    if n == 0:
        return 2
    elif n == 1:
        return 1

    a, b = 2, 1
    for i in range(2, n+1):
        a, b = b, a + b
    return b

# 使用例
print(lucas(9))  # 76

反復的な実装の方が、計算時間がO(n)で済むので効率的です。

リュカ数列を表示

def print_lucas(n):
    lucas_sequence = []
    a, b = 2, 1
    lucas_sequence.append(a)
    if n > 0:
        lucas_sequence.append(b)

    for i in range(2, n+1):
        a, b = b, a + b
        lucas_sequence.append(b)

    print(lucas_sequence)

# 使用例
print_lucas(15)
# [2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364]

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フィボナッチ数列とリュカ数列の関係まとめ

両者の関係を改めて整理しましょう。

共通点

1. 同じ漸化式：どちらも「前の2項の和」
2. 黄金比に収束：隣接項の比がφに収束
3. 同じ一般項の形：黄金比のべき乗で表せる
4. 奇数・偶数のパターン：3の倍数番目が偶数

相違点

1. 初期値が違う

• フィボナッチ：0, 1
• リュカ：2, 1

1. 一般項の式

• フィボナッチ：引き算
• リュカ：足し算

1. 素数の条件

• フィボナッチ：Fₙが素数 → nは素数（F₄を除く）
• リュカ：Lₙが素数 → nは0, 素数, または2のべき乗

きょうだいのような関係

フィボナッチ数列とリュカ数列は、同じ家族（広義のリュカ数列）に属するきょうだいのような関係です。

多くの公式で、互いに登場し合います。

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リュカ数列の面白い性質

最後に、いくつか面白い性質を紹介します。

性質1：下1桁の周期

リュカ数列の下1桁（一の位）は、12個ごとに繰り返します。

2, 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, …

フィボナッチ数列の下1桁の周期が60なのに対し、リュカ数列は12と短いです。

性質2：下2桁の周期

下2桁（下十の位と一の位）の周期は60です。

これはフィボナッチ数列と同じです。

性質3：5で割った余りの周期

リュカ数列を5で割った余りは、4個ごとに繰り返します。

L mod 5 = 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, …

性質4：末尾の数字

L₂ₙは必ず2で終わります。

• L₂ = 3
• L₄ = 7
• L₆ = 18
• L₈ = 47

あれ？これは間違いですね。正しくは、

L₃ₙは必ず偶数で終わります。

実際、3の倍数番目のリュカ数は偶数なので、必ず偶数で終わります。

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まとめ

リュカ数列について、詳しく見てきました。

リュカ数列の定義

L₀ = 2, L₁ = 1, Lₙ = Lₙ₋₁ + Lₙ₋₂

数列：2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, …

一般項

Lₙ = φⁿ + (1-φ)ⁿ

（φ = 黄金比 = (1+√5)/2）

フィボナッチ数列との関係

• 同じ漸化式、違う初期値
• 多くの関係式で結ばれている
• きょうだいのような関係

リュカ素数

• Lₙが素数 → nは0, 素数, または2のべき乗
• 最初のリュカ素数：2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, …

応用

• 素数判定（リュカ-レーマーテスト）
• 暗号理論（LUC暗号）
• 組合せ論

広義のリュカ数列

フィボナッチ数、リュカ数、ペル数、メルセンヌ数など、多くの重要な数列を含む一般的な枠組み。

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リュカ数列は、フィボナッチ数列ほど有名ではありませんが、同じくらい興味深く、数学的に重要な数列です。

フィボナッチ数列を知っている人は、ぜひリュカ数列も覚えてみてください。

両者の関係を理解すると、数列の世界がもっと面白くなりますよ！