「因数分解って何?」
「公式が覚えられない…」
「どの公式を使えばいいか分からない!」
中学3年生で習う「因数分解」、難しいですよね。
でも大丈夫!
因数分解はコツさえつかめば、誰でもできるようになります。
今回は、因数分解の意味から公式、解き方のコツまで、1から分かりやすく解説していきます!
因数分解とは?
まず、因数分解とは何かを説明しましょう。
因数分解の定義
因数分解とは、式を「かけ算の形」に変形することです。
例:
x² + 5x + 6 → (x + 2)(x + 3)
「x² + 5x + 6」という足し算・引き算の形から、
「(x + 2)(x + 3)」というかけ算の形に変えるんです!
展開の逆!
因数分解は、展開の逆の操作です。
展開:
(x + 2)(x + 3) → x² + 5x + 6
かけ算を開いて、足し算の形にする
因数分解:
x² + 5x + 6 → (x + 2)(x + 3)
足し算を閉じて、かけ算の形にする
つまり、巻き戻しのイメージです!
[画像説明:展開と因数分解の関係を示す双方向の矢印図]
「因数」とは?
因数とは、かけ算を作る「もと」になる数や式のことです。
例:
12 = 3 × 4
→ 3と4が因数
(x + 2)(x + 3)
→ (x + 2)と(x + 3)が因数
なぜ因数分解が必要なの?
「なんでわざわざ因数分解するの?」と思いますよね。
理由1:方程式が簡単に解ける!
2次方程式を解くとき、因数分解が大活躍!
例:
x² + 5x + 6 = 0 を解く
因数分解すると:
(x + 2)(x + 3) = 0
かけ算=0の法則:
かけ算の結果が0になるということは…
- (x + 2) = 0 または (x + 3) = 0
だから:
- x = -2 または x = -3
答えがすぐ出る!
理由2:計算が劇的に簡単になる!
例:
99² – 1² を計算せよ
普通に計算:
99² = 9801
9801 – 1 = 9800
因数分解を使うと:
99² – 1² = (99 + 1)(99 – 1)
= 100 × 98
= 9800
暗算でできる!
理由3:高校数学の基礎
因数分解は、高校数学のあらゆる場面で出てきます。
- 3次方程式
- 4次方程式
- 微分・積分
- 数列
中学で完璧にしておかないと、高校で苦労します!
因数分解の基本公式
因数分解には、覚えるべき基本公式があります。
公式1:共通因数でくくる
最も基本的な公式!
公式:
ax + ay = a(x + y)
共通する文字や数字をカッコの外に出す
例:
3x + 6 = 3(x + 2)
→ 3が共通因数
2x² + 4x = 2x(x + 2)
→ 2xが共通因数
手順:
- すべての項に共通する因数を探す
- その因数でくくる
- カッコの中を確認
公式2:(a + b)²の形
公式:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
見分け方:
- 1番目と3番目が2乗の形
- 2番目が「2×√1番目×√3番目」
- すべて+(プラス)
例:
x² + 6x + 9 を因数分解せよ
手順:
- x² = (x)²
- 9 = (3)²
- 6x = 2×x×3 ✓
- すべて+ ✓
答え:
(x + 3)²
公式3:(a – b)²の形
公式:
a² – 2ab + b² = (a – b)²
見分け方:
- 1番目と3番目が2乗の形
- 2番目が「-2×√1番目×√3番目」
- 1番目+、2番目−、3番目+
例:
x² – 10x + 25 を因数分解せよ
手順:
- x² = (x)²
- 25 = (5)²
- -10x = -2×x×5 ✓
答え:
(x – 5)²
公式4:和と差の積(a² – b²)
最重要公式!
公式:
a² – b² = (a + b)(a – b)
見分け方:
- 2つの項だけ
- どちらも2乗の形
- 間が−(マイナス)
覚え方:
「2乗ひく2乗は、和と差の積!」
例:
x² – 9 を因数分解せよ
手順:
- x² = (x)²
- 9 = (3)²
- 間が− ✓
答え:
(x + 3)(x – 3)
応用例:
4x² – 25y²
= (2x)² – (5y)²
= (2x + 5y)(2x – 5y)
公式5:x² + (a+b)x + ab
公式:
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
見分け方:
- x²の係数が1
- xの係数 = 2つの数の和
- 定数項 = 2つの数の積
例:
x² + 7x + 12 を因数分解せよ
手順:
- 12になる2つの数の組み合わせを探す
- 1×12 → 和=13 ✗
- 2×6 → 和=8 ✗
- 3×4 → 和=7 ✓
- 3と4を使う!
答え:
(x + 3)(x + 4)
検算:
(x + 3)(x + 4)
= x² + 4x + 3x + 12
= x² + 7x + 12 ✓
公式6:立方の和(a³ + b³)
公式:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
覚え方:
「立方の和は、和×(2乗・積・2乗)」
真ん中だけマイナス!
例:
x³ + 8
= x³ + 2³
= (x + 2)(x² – 2x + 4)
公式7:立方の差(a³ – b³)
公式:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
覚え方:
「立方の差は、差×(2乗・積・2乗)」
すべてプラス!
例:
x³ – 27
= x³ – 3³
= (x – 3)(x² + 3x + 9)
因数分解のやり方(手順)
どの公式を使えばいいか、見分け方を説明します!
ステップ1:共通因数を探す
まず最初に!
すべての項に共通する因数があるか確認。
例:
2x² + 6x
= 2x(x + 3)
これをやっておかないと、後で困ります!
ステップ2:項の数を数える
2項式か、3項式か、4項式以上か?
2項式の場合
パターン1:a² – b²
→ 和と差の積
パターン2:a³ + b³ または a³ – b³
→ 立方の公式
3項式の場合
パターン1:a² + 2ab + b² または a² – 2ab + b²
→ 2乗の公式
パターン2:x² + (a+b)x + ab
→ たすき掛け(後述)
4項式以上の場合
→ 共通因数でくくる、またはグループ分け
ステップ3:公式にあてはめる
見分けたパターンに応じて、公式を使う。
ステップ4:検算する
必ず展開して確認!
因数分解したものを展開して、元の式に戻ればOK。
実践問題で練習しよう!
実際の問題を解いて、コツをつかみましょう!
問題1:共通因数
問題:
5x + 10 を因数分解せよ
解答:
共通因数は5
5x + 10 = 5(x + 2)
検算:
5(x + 2) = 5x + 10 ✓
問題2:(a + b)²
問題:
x² + 8x + 16 を因数分解せよ
解答:
- x² = (x)²
- 16 = (4)²
- 8x = 2×x×4 ✓
答え:(x + 4)²
検算:
(x + 4)²
= x² + 2×x×4 + 16
= x² + 8x + 16 ✓
問題3:(a – b)²
問題:
9x² – 12x + 4 を因数分解せよ
解答:
- 9x² = (3x)²
- 4 = (2)²
- -12x = -2×3x×2 ✓
答え:(3x – 2)²
問題4:a² – b²
問題:
25 – x² を因数分解せよ
解答:
- 25 = (5)²
- x² = (x)²
- 間が− ✓
25 – x²
= 5² – x²
= (5 + x)(5 – x)
または(x + 5)(−x + 5)でもOK
検算:
(5 + x)(5 – x)
= 25 – 5x + 5x – x²
= 25 – x² ✓
問題5:たすき掛け
問題:
x² + 5x + 6 を因数分解せよ
解答:
6になる2つの数の組み合わせ:
- 1×6 → 和=7 ✗
- 2×3 → 和=5 ✓
答え:(x + 2)(x + 3)
検算:
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6 ✓
問題6:立方の差
問題:
8x³ – 1 を因数分解せよ
解答:
- 8x³ = (2x)³
- 1 = (1)³
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
8x³ – 1
= (2x)³ – 1³
= (2x – 1)((2x)² + 2x×1 + 1²)
= (2x – 1)(4x² + 2x + 1)
応用:たすきがけ
x²の係数が1でない場合の因数分解方法です。
たすきがけとは?
ax² + bx + cの形を因数分解する方法。
例:
2x² + 7x + 3 を因数分解せよ
たすきがけの手順
ステップ1:x²の係数を因数分解
2 = 2×1
ステップ2:定数項を因数分解
3 = 3×1 または 1×3
ステップ3:たすき掛けの図を作る
2 3
× ×
1 1ステップ4:クロスして掛けて足す
2×1 + 1×3 = 2 + 3 = 5 ✗
次の組み合わせ:
2 1
× ×
1 32×3 + 1×1 = 6 + 1 = 7 ✓
ステップ5:答えを書く
(2x + 1)(x + 3)
検算:
(2x + 1)(x + 3)
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x² + 7x + 3 ✓
因数分解でよくある間違い
間違い1:共通因数を忘れる
ダメな例:
2x² + 8x + 6 = (x + 1)(x + 3) ✗
正しい:
2x² + 8x + 6
= 2(x² + 4x + 3)
= 2(x + 1)(x + 3) ✓
最初に共通因数を出す!
間違い2:符号ミス
ダメな例:
x² – 9 = (x – 3)(x – 3) ✗
正しい:
x² – 9 = (x + 3)(x – 3) ✓
和と差の積!
間違い3:完全に因数分解できていない
ダメな例:
x⁴ – 16 = (x² + 4)(x² – 4) ✗
正しい:
x⁴ – 16
= (x² + 4)(x² – 4)
= (x² + 4)(x + 2)(x – 2) ✓
x² – 4もまだ因数分解できる!
間違い4:検算しない
因数分解したら、必ず展開して確認しましょう!
因数分解の見分け方フローチャート
どの公式を使うか迷ったら、このフローチャートを使いましょう!
ステップ1:
共通因数がある?
→ YES:まず共通因数でくくる
→ NO:ステップ2へ
ステップ2:
何項式?
2項式:
- a² – b²の形? → 和と差の積
- a³ + b³の形? → 立方の和
- a³ – b³の形? → 立方の差
3項式:
- a² + 2ab + b²の形? → (a + b)²
- a² – 2ab + b²の形? → (a – b)²
- x² + (a+b)x + abの形? → (x + a)(x + b)
- ax² + bx + cの形? → たすきがけ
4項式以上:
- グループ分けして共通因数を探す
練習問題にチャレンジ!
基本問題
問題1:
3x + 9
問題2:
x² + 6x + 9
問題3:
x² – 16
問題4:
x² + 7x + 10
問題5:
2x² + 8x
応用問題
問題6:
4x² – 9y²
問題7:
x² – 14x + 49
問題8:
x³ + 27
問題9:
2x² + 5x + 2
問題10:
x⁴ – 1
解答
問題1:
3(x + 3)
問題2:
(x + 3)²
問題3:
(x + 4)(x – 4)
問題4:
(x + 2)(x + 5)
問題5:
2x(x + 4)
問題6:
(2x + 3y)(2x – 3y)
問題7:
(x – 7)²
問題8:
(x + 3)(x² – 3x + 9)
問題9:
(2x + 1)(x + 2)
問題10:
(x² + 1)(x + 1)(x – 1)
よくある質問(FAQ)
Q1:因数分解と展開の違いは?
A:逆の操作です。
展開:
(x + 2)(x + 3) → x² + 5x + 6
かけ算を開く
因数分解:
x² + 5x + 6 → (x + 2)(x + 3)
かけ算に戻す
Q2:どの公式を使えばいいか分からない
A:フローチャートを使いましょう。
- 共通因数がないか確認
- 項の数を数える(2項、3項、4項以上)
- それぞれのパターンに当てはめる
練習すれば、すぐに見分けられるようになります!
Q3:たすきがけができない
A:落ち着いて、組み合わせを全部試しましょう。
コツ:
- 定数項の因数分解のパターンは限られている
- 全部試せば必ず答えが見つかる
- 慣れれば早くなる!
Q4:符号がよく間違う
A:パターンを覚えましょう。
和と差の積:
a² − b² = (a + b)(a − b)
マイナス→プラスとマイナス
2乗の公式:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
すべてプラス
(a − b)² = a² − 2ab + b²
プラス、マイナス、プラス
Q5:検算の方法は?
A:因数分解した式を展開してみましょう。
例:
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
検算:
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6 ✓
元の式に戻ればOK!
Q6:因数分解できない式もある?
A:はい、あります。
例:
x² + x + 1
これは実数の範囲では因数分解できません。
でも、中学レベルの問題では必ず因数分解できるので安心してください!
Q7:因数分解を速くする方法は?
A:パターン認識と練習です。
コツ:
- 公式を完璧に覚える
- 見た瞬間にパターンが分かるまで練習
- 検算で確認する習慣をつける
毎日10問解けば、1週間で劇的に速くなります!
Q8:高校でも因数分解は使う?
A:めちゃくちゃ使います!
- 3次方程式
- 4次方程式
- 微分
- 積分
- 数列
高校数学のほぼすべての分野で必要です。
今のうちに完璧にしておきましょう!
Q9:因数分解の語呂合わせはある?
A:公式の覚え方をいくつか紹介します。
a² – b²:
「2乗引く2乗は、和と差の積!」
(a + b)²:
「プラプラプラで、ニコイチ!」
(プラス、プラス、プラスで、2×a×b)
a³ + b³:
「立方の和は、和かける(2乗、引く積、プラス2乗)!」
Q10:因数分解が全然できない…
A:焦らず、基本から1つずつ!
おすすめの順番:
- 共通因数でくくる練習(1週間)
- a² – b²の練習(1週間)
- (a ± b)²の練習(1週間)
- x² + (a+b)x + abの練習(2週間)
- たすきがけの練習(2週間)
合計6週間で、必ずできるようになります!
まとめ:因数分解は練習あるのみ!
因数分解について、公式から解き方まで詳しく解説してきました。
要点をまとめると:
因数分解とは
- 式をかけ算の形に変形すること
- 展開の逆操作
- 方程式を解くために必要
基本公式(7つ)
- 共通因数:ax + ay = a(x + y)
- (a + b)²:a² + 2ab + b² = (a + b)²
- (a – b)²:a² – 2ab + b² = (a – b)²
- 和と差の積:a² – b² = (a + b)(a – b)【超重要】
- x² + (a+b)x + ab:(x + a)(x + b)
- 立方の和:a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
- 立方の差:a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
解き方の手順
- 最初に共通因数を探す
- 項の数を数える(2項、3項、4項以上)
- パターンに応じて公式を使う
- 必ず検算する(展開して確認)
応用テクニック
- たすきがけ:ax² + bx + cの因数分解
- 組み合わせを全部試す
- クロスして掛けて足す
コメント