「ベクトルって何？矢印のこと？」
「向きと大きさって、具体的にどういうこと？」
「内積の計算、いつも間違えてしまう…」
高校数学Bで学ぶ「ベクトル」は、多くの人が苦手意識を持つ単元です。
これまでの数学では数や式だけを扱ってきましたが、ベクトルには「向き」という新しい要素が加わります。最初は戸惑うかもしれませんが、基本を理解すればそれほど難しくありません。
ベクトルは図形問題を機械的な計算で解ける強力なツールです。物理や工学でも必須の概念で、実用性も抜群です。
この記事では、ベクトルの基礎から成分計算、内積まで、具体例を交えて丁寧に解説します。最後まで読めば、ベクトルが得意分野になるはずです！
ベクトルとは？基本的な考え方
ベクトルの定義
ベクトルとは、「向き」と「大きさ」を持つ量のことです。
これまで扱ってきた数は「大きさ」だけを持っていました（5、-3、√2など）。これらはスカラーと呼ばれます。
一方、ベクトルは「大きさ」に加えて「向き」も持っています。
具体例
- 風：風速20m/s（大きさ）、北向き（向き）→ ベクトル
- 速度：時速60km（大きさ）、東向き（向き）→ ベクトル
- 力：100N（大きさ）、下向き（向き）→ ベクトル
- 温度：25℃（大きさのみ）→ スカラー
ベクトルの表し方
ベクトルは矢印で表します。
表記法
点Aを始点、点Bを終点とするベクトルは：
ベクトルAB または →AB小文字で名前をつける場合：
ベクトルa または →a図で表すと：
A --------→ B
（矢印）- 始点（start point）：矢印の出発点（点A）
- 終点（end point）：矢印の到達点（点B）
- 向き：矢印の方向
- 大きさ：矢印の長さ
ベクトルの重要な性質
性質1：位置は関係ない
ベクトルは「向き」と「大きさ」が同じなら、どこにあっても同じベクトルです。
A ---→ B
C ---→ D上の2つの矢印の向きと長さが同じなら、ベクトルAB = ベクトルCDです。
性質2：向きと大きさで決まる
- 向きが違えば別のベクトル
- 大きさが違えば別のベクトル
- 向きと大きさが両方同じなら同じベクトル
ベクトルの大きさと特殊なベクトル
ベクトルの大きさ
ベクトルの大きさ（長さ）は、絶対値の記号 | | を使って表します。
表記
ベクトルaの大きさ = |a| または |→a|例
点A(1, 2)から点B(4, 6)までのベクトルABの大きさは：
|AB| = √((4-1)² + (6-2)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5単位ベクトル
単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルのことです。
ベクトルaと同じ向きの単位ベクトルは：
a/|a|例
ベクトルa = (3, 4)の単位ベクトルを求める
|a| = √(3² + 4²) = 5
単位ベクトル = a/|a| = (3, 4)/5 = (3/5, 4/5)零ベクトル
零ベクトル（ゼロベクトル）は、大きさが0のベクトルです。
記号：0 または →0
始点と終点が同じ点なので、向きは定まりません。
例
ベクトルAA = 0（始点と終点が同じ点A）逆ベクトル
ベクトルaと大きさが同じで向きが反対のベクトルを、aの逆ベクトルといいます。
記号：-a
A ----→ B ベクトルAB
B ----→ A ベクトルBA = -AB（逆ベクトル）重要な性質
ベクトルAB = -ベクトルBAベクトルの演算
ベクトルの計算方法を学びましょう。
ベクトルの加法（足し算）
2つのベクトルを「つなげる」イメージです。
定義
ベクトルAB + ベクトルBC = ベクトルAC始点Aから終点Bへ、そこからさらに終点Cへ進むと、結果的にAからCへ進んだことになります。
図で理解
A ----→ B ----→ C
これは
A -------------→ C
と同じ三角形の法則
ベクトルの加法は三角形を作るイメージです。
平行四辺形の法則
2つのベクトルa、bを隣り合う2辺とする平行四辺形を作ると、対角線がa + bになります。
成分での計算
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)例
a = (2, 3)
b = (1, 4)
a + b = (2+1, 3+4) = (3, 7)ベクトルの減法（引き算）
引き算は、逆ベクトルを足すことです。
定義
a - b = a + (-b)成分での計算
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)例
a = (5, 7)
b = (2, 3)
a - b = (5-2, 7-3) = (3, 4)2点間のベクトル
点A(x₁, y₁)と点B(x₂, y₂)があるとき：
ベクトルAB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)例
A(1, 2)、B(4, 6)のとき：
ベクトルAB = (4-1, 6-2) = (3, 4)ベクトルの実数倍
ベクトルに実数kをかけると、向きはそのままで大きさがk倍になります。
定義
ベクトルaをk倍する（k > 0）：
- 向き：aと同じ
- 大きさ：|a|のk倍
ベクトルaをk倍する（k < 0）：
- 向き：aと逆
- 大きさ：|a|の|k|倍
成分での計算
a = (a₁, a₂)
ka = (ka₁, ka₂)例
a = (2, 3)
2a = (4, 6) （2倍）
-3a = (-6, -9) （-3倍）ベクトルの演算法則
ベクトルの計算は、文字式と同じように扱えます。
交換法則
a + b = b + a結合法則
(a + b) + c = a + (b + c)分配法則
k(a + b) = ka + kb
(k + l)a = ka + laベクトルの成分表示
成分とは
成分表示とは、ベクトルを数の組で表す方法です。
平面ベクトルは2つの数、空間ベクトルは3つの数で表します。
平面ベクトル
a = (a₁, a₂)または
a = (a₁)
(a₂)- a₁：x成分（横方向の成分）
- a₂：y成分（縦方向の成分）
空間ベクトル
a = (a₁, a₂, a₃)- a₁：x成分
- a₂：y成分
- a₃：z成分
位置ベクトル
原点Oを始点とするベクトルを位置ベクトルといいます。
点A(x, y)の位置ベクトルは：
ベクトルOA = (x, y)位置ベクトルを使うと、点の座標とベクトルを対応させることができます。
基本ベクトル
基本ベクトル（または基底ベクトル）は、座標軸方向の単位ベクトルです。
平面の基本ベクトル
e₁ = (1, 0) ：x軸方向の単位ベクトル
e₂ = (0, 1) ：y軸方向の単位ベクトルまたはi、jと表すこともあります：
i = (1, 0)
j = (0, 1)任意のベクトルa = (a₁, a₂)は：
a = a₁e₁ + a₂e₂
または
a = a₁i + a₂j空間の基本ベクトル
e₁ = (1, 0, 0) ：x軸方向
e₂ = (0, 1, 0) ：y軸方向
e₃ = (0, 0, 1) ：z軸方向またはi、j、kと表します：
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)任意のベクトルa = (a₁, a₂, a₃)は：
a = a₁i + a₂j + a₃k成分表示での大きさ
平面ベクトル
a = (a₁, a₂)の大きさ
|a| = √(a₁² + a₂²)空間ベクトル
a = (a₁, a₂, a₃)の大きさ
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)例
a = (3, 4)
|a| = √(3² + 4²) = √25 = 5
b = (1, 2, 2)
|b| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3ベクトルの平行と垂直
ベクトルの平行
2つのベクトルが平行とは、一方を引き伸ばす（または縮める）ともう一方と一致することです。
平行の条件
零ベクトルでないベクトルa、bが平行 ⇔ ある実数kがあって b = ka
記号
a // b （aとbは平行）成分表示での判定
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
a // b ⇔ a₁b₂ = a₂b₁または
a₁ : a₂ = b₁ : b₂例題
a = (2, 3)とb = (4, 6)は平行か？
解答
b = (4, 6) = 2(2, 3) = 2a
よって、b = 2aなので平行または
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
2 × 6 = 3 × 4なので平行答え：平行
ベクトルの垂直（直交）
2つのベクトルが垂直（または直交）とは、2つのベクトルがなす角が90度であることです。
垂直の条件
零ベクトルでないベクトルa、bが垂直 ⇔ a · b = 0（内積が0）
記号
a ⊥ b （aとbは垂直）成分表示での判定
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
a ⊥ b ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ = 0例題
a = (2, 3)とb = (3, -2)は垂直か？
解答
a · b = 2 × 3 + 3 × (-2)
= 6 - 6
= 0
a · b = 0なので垂直答え：垂直
ベクトルの内積（最重要！）
ベクトルの単元で最も重要なのが内積です。
内積とは
内積（ドット積、スカラー積）とは、2つのベクトルから1つの数（スカラー）を作る演算です。
記号
a · b （aとbの内積）「・」を省略してはいけません！
内積の定義
内積には2つの定義があります。どちらも同じ結果になります。
定義1：幾何学的定義
a · b = |a| |b| cos θ- |a|：ベクトルaの大きさ
- |b|：ベクトルbの大きさ
- θ：2つのベクトルのなす角（0° ≤ θ ≤ 180°）
定義2：成分による定義
a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)
a · b = a₁b₁ + a₂b₂空間ベクトルの場合：
a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃計算方法：対応する成分を掛けて足す
内積の計算例
例題1：成分が与えられている場合
a = (2, 3)、b = (4, -1)のとき、a · bを求めよ。
解答
a · b = 2 × 4 + 3 × (-1)
= 8 - 3
= 5答え：5
例題2：大きさと角度が与えられている場合
|a| = 3、|b| = 4、θ = 60°のとき、a · bを求めよ。
解答
a · b = |a| |b| cos θ
= 3 × 4 × cos 60°
= 12 × 1/2
= 6答え：6
内積の性質
性質1：交換法則
a · b = b · a性質2：分配法則
a · (b + c) = a · b + a · c性質3：実数倍
(ka) · b = k(a · b) = a · (kb)性質4：自分自身との内積
a · a = |a|²性質5：零ベクトルとの内積
a · 0 = 0内積の重要な応用
応用1：ベクトルの大きさを求める
|a| = √(a · a)例
a = (3, 4)のとき：
a · a = 3² + 4² = 25
|a| = √25 = 5応用2：2つのベクトルのなす角を求める
cos θ = (a · b)/(|a| |b|)例題
a = (1, √3)、b = (√3, 1)のなす角θを求めよ。
解答
a · b = 1 × √3 + √3 × 1 = 2√3
|a| = √(1² + (√3)²) = 2
|b| = √((√3)² + 1²) = 2
cos θ = 2√3/(2 × 2) = √3/2
θ = 30°答え：30°
応用3：垂直の判定
a ⊥ b ⇔ a · b = 02つのベクトルが垂直なら内積は0、内積が0なら垂直です。
応用4：平行の判定
|a · b| = |a| |b| ⇔ a // b内積の絶対値が大きさの積に等しいとき、2つのベクトルは平行です。
ベクトルの分解と一次結合
ベクトルの分解
1つのベクトルを2つ（またはそれ以上）のベクトルの和で表すことをベクトルの分解といいます。
平面ベクトルの分解
平行でない2つのベクトルa、bがあれば、平面上のどんなベクトルpも：
p = sa + tb （s、tは実数）の形で表せます。
例
a = (1, 0)、b = (0, 1)のとき、p = (3, 4)は：
p = 3a + 4b位置ベクトルと内分・外分
内分点の位置ベクトル
線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトルは：
ベクトルOP = (nベクトルOA + mベクトルOB)/(m + n)外分点の位置ベクトル
線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトルは：
ベクトルOQ = (-nベクトルOA + mベクトルOB)/(m - n)（m ≠ n）
中点の位置ベクトル
線分ABの中点Mの位置ベクトルは：
ベクトルOM = (ベクトルOA + ベクトルOB)/2例題
A(2, 1)、B(8, 7)を結ぶ線分を2:1に内分する点Pの座標を求めよ。
解答
点P = (1 × 2 + 2 × 8)/(2 + 1), (1 × 1 + 2 × 7)/(2 + 1)
= (18/3, 15/3)
= (6, 5)答え：P(6, 5)
ベクトルの応用問題
実際の問題でベクトルを使ってみましょう。
例題1：三角形の重心
三角形OABの重心Gの位置ベクトルを、ベクトルOA = a、ベクトルOB = bで表せ。
解答
三角形の重心は、3つの頂点の位置ベクトルの平均です。
ベクトルOG = (ベクトルOO + ベクトルOA + ベクトルOB)/3
= (0 + a + b)/3
= (a + b)/3答え：(a + b)/3
例題2：平行四辺形の判定
4点A、B、C、Dが平行四辺形をなす条件を、位置ベクトルで表せ。
解答
平行四辺形ABCDでは、ベクトルAB = ベクトルDCです。
ベクトルAB = ベクトルDC
b - a = c - dまたは
a + c = b + d答え：a + c = b + d
例題3：ベクトルの長さの最小値
|a| = 2、|b| = 3のとき、|a – b|の最小値を求めよ。
解答
|a - b|² = (a - b) · (a - b)
= a · a - 2a · b + b · b
= |a|² - 2a · b + |b|²
= 4 - 2a · b + 9
= 13 - 2a · ba · bは-|a||b| ≤ a · b ≤ |a||b|なので：
-6 ≤ a · b ≤ 6|a – b|²が最小になるのは、a · b = 6のとき：
|a - b|² = 13 - 12 = 1
|a - b| = 1答え：1
空間ベクトル
空間のベクトルも、平面ベクトルと同じ考え方で扱えます。
空間座標
xyz空間（3次元空間）では、3つの座標軸があります。
- x軸：横方向
- y軸：奥行き方向
- z軸：高さ方向
点P(x, y, z)の位置ベクトルは：
ベクトルOP = (x, y, z)空間ベクトルの大きさ
a = (a₁, a₂, a₃)のとき
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)空間ベクトルの内積
a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃2点間の距離（空間）
点A(x₁, y₁, z₁)と点B(x₂, y₂, z₂)の距離は：
AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)例
A(1, 2, 3)とB(4, 6, 15)の距離：
AB = √((4-1)² + (6-2)² + (15-3)²)
= √(9 + 16 + 144)
= √169
= 13よくある間違いと注意点
間違い1：内積の「・」を省略する
誤り： ab = 6
正解： a · b = 6
内積の記号「・」は省略できません！
間違い2：ベクトルの掛け算
誤り： a × b = (a₁b₁, a₂b₂)
ベクトル同士の掛け算（内積）の結果はスカラー（数）です。
正解： a · b = a₁b₁ + a₂b₂（数になる）
間違い3：内積と成分の混同
誤り： (2, 3) · (4, 5) = (8, 15)
正解： (2, 3) · (4, 5) = 2×4 + 3×5 = 23
間違い4：大きさの計算ミス
誤り： |(3, 4)| = 3 + 4 = 7
正解： |(3, 4)| = √(3² + 4²) = 5
大きさは各成分の2乗の和の平方根です。
間違い5：零ベクトルの扱い
零ベクトルは、どんなベクトルとも平行であり、また垂直でもあると考えます。
ただし、問題では通常「零ベクトルでないとき」という条件がつきます。
練習問題
学んだことを確認する練習問題です。
問題1：ベクトルの成分計算
a = (3, 4)、b = (1, 2)のとき、2a – 3bを求めよ。
答えを見る
2a = (6, 8)
3b = (3, 6)
2a - 3b = (6-3, 8-6) = (3, 2)答え：(3, 2)
問題2：ベクトルの大きさ
a = (5, 12)のとき、|a|を求めよ。
答えを見る
|a| = √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13答え：13
問題3：内積の計算
a = (2, 3)、b = (4, 1)のとき、a · bを求めよ。
答えを見る
a · b = 2 × 4 + 3 × 1
= 8 + 3
= 11答え：11
問題4：垂直の判定
a = (2, 3)、b = (6, k)が垂直になるとき、kの値を求めよ。
答えを見る
垂直 ⇔ a · b = 0
2 × 6 + 3 × k = 0
12 + 3k = 0
3k = -12
k = -4答え：k = -4
問題5：なす角
|a| = 2、|b| = 3、a · b = 3のとき、aとbのなす角θを求めよ。
答えを見る
cos θ = (a · b)/(|a||b|)
= 3/(2 × 3)
= 3/6
= 1/2
θ = 60°答え：60°
まとめ：ベクトルをマスターするポイント
ベクトルを理解するための重要ポイントをまとめます。
ポイント1：ベクトルは向きと大きさを持つ
- 位置は関係ない
- 向きと大きさが同じなら同じベクトル
- 矢印で表す
ポイント2：成分表示を使いこなす
- 平面ベクトル：a = (a₁, a₂)
- 空間ベクトル：a = (a₁, a₂, a₃)
- 計算は成分ごとに行う
ポイント3：ベクトルの演算は文字式と同じ
- 加法：a + b
- 減法：a – b
- 実数倍：ka
- 交換・結合・分配法則が成り立つ
ポイント4：大きさの公式を覚える
|a| = √(a₁² + a₂²)（平面）
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)（空間）ポイント5：内積が最重要！
- 定義1：a · b = |a| |b| cos θ
- 定義2：a · b = a₁b₁ + a₂b₂（成分計算）
- 結果はスカラー（数）になる
- 「・」は省略できない
ポイント6：内積で垂直と角度がわかる
- 垂直 ⇔ a · b = 0
- なす角：cos θ = (a · b)/(|a||b|)
ポイント7：平行の条件
- b = ka（実数倍で表せる）
- 成分で：a₁b₂ = a₂b₁
ポイント8：図を描いて考える
ベクトルは図形的なイメージが大切です。
問題を解くときは必ず図を描きましょう。
ポイント9：位置ベクトルを活用
- 点の座標とベクトルを対応させる
- 内分・外分の公式を使いこなす
ポイント10：計算ミスに注意
- 内積は成分を掛けて足す
- 大きさは各成分の2乗の和の平方根
- 符号に注意
ベクトルは、慣れれば図形問題を機械的に解ける強力なツールです。
基本をしっかり身につけて、たくさんの問題を解いて慣れていきましょう！
物理や工学でも必須の概念なので、理系を目指す人は特にしっかり理解しておきましょう。
