「実数って何？」「有理数や無理数との違いは？」
数学の授業で突然出てくる「実数」という言葉。言葉は聞いたことがあるけど、正確に説明できる人は少ないのではないでしょうか。
実は、実数は私たちが普段使っている「ほぼすべての数」のことなんです！
この記事では、実数の基本的な定義から、有理数・無理数との関係、数の体系全体の構造まで、図解を使ってわかりやすく丁寧に解説していきます。
数学が苦手な人でも大丈夫。一緒に「数の世界」を整理していきましょう。
実数とは？
一言で言うと
実数（じっすう）とは…
「有理数と無理数をすべて合わせた数」
のことです。
英語では「Real Number」といいます。
もっと簡単に言うと
私たちが普段使っているほぼすべての数が実数です！
- 1、2、3などの整数
- 1/2、3/4などの分数
- 0.5、-2.3などの小数
- √2、√3などの平方根
- π（円周率）
これらはすべて実数です。
実数でない数
実数でない数は虚数（きょすう）といいます。
虚数は高校数学で習う特殊な数で、普段の生活ではほとんど目にしません。
簡単に言えば：普段使う数 = 実数
数の体系全体図
実数を理解するには、数の体系全体を見ると分かりやすいです。
数の世界の構造
┌─────────────────────────┐
│ 実数 │
│ ┌──────────────────┐ │
│ │ 有理数 │ │
│ │ ┌───────────┐ │ │
│ │ │ 整数 │ │ │
│ │ │ ┌───────┐ │ │ │
│ │ │ │自然数 │ │ │ │
│ │ │ │1,2,3 │ │ │ │
│ │ │ └───────┘ │ │ │
│ │ │ 0,-1,-2 │ │ │
│ │ └───────────┘ │ │
│ │ 分数・循環小数 │ │
│ └──────────────────┘ │
│ 無理数 │
│ (√2, π, e など) │
└─────────────────────────┘この図を見ると、実数がどんな数を含んでいるかが一目でわかりますね。
自然数・整数・有理数の違い
実数を理解するために、まず基本的な数の種類を整理しましょう。
1. 自然数（Natural Numbers）
定義：1から始まる数
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...特徴
- ものを数えるときに使う数
- 0は含まれない（重要！）
- すべて正の数
- 無限に続く
例
「りんごが3個ある」「生徒が25人いる」など、数える場面で使います。
2. 整数（Integers）
定義：自然数に0と負の数を加えたもの
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...分類
正の整数（自然数）
1, 2, 3, 4, 5, ...0
0負の整数
-1, -2, -3, -4, -5, ...特徴
- 小数点以下がない
- 正負どちらもある
- 0も含む
例
気温：「マイナス5度」→ -5℃
借金：「3万円のマイナス」→ -30000円
3. 有理数（Rational Numbers）
定義：整数の比（分数）で表せる数
a/b の形で表せる数（aとbは整数、b≠0）有理数に含まれるもの
①整数
すべての整数は分数で表せます。
3 = 3/1
-5 = -5/1
0 = 0/1②分数
1/2, 3/4, -2/5, 7/3③有限小数
小数点以下が終わる小数は、すべて分数で表せます。
0.5 = 1/2
0.25 = 1/4
0.125 = 1/8
-1.75 = -7/4④循環小数
小数点以下が繰り返す小数も、分数で表せます。
0.333... = 1/3
0.666... = 2/3
0.272727... = 3/11有理数の名前の由来
「有理数」の「理」は「比（ratio）」を意味します。
英語では「Rational Number」＝「比で表せる数」という意味なんです。
無理数（Irrational Numbers）
定義
無理数とは：整数の比（分数）で表せない数
有理数でない実数が、すべて無理数です。
無理数の特徴
1. 分数で表せない
どう頑張っても a/b の形にできません。
2. 非循環無限小数
小数点以下が…
- 無限に続く
- 規則的に繰り返さない
代表的な無理数
1. 平方根（√）
√2（ルート2）
√2 = 1.41421356237...一辺が1の正方形の対角線の長さです。
√3（ルート3）
√3 = 1.73205080757...√5（ルート5）
√5 = 2.23606797750...注意：整数になる平方根は有理数！
√4 = 2（整数なので有理数）
√9 = 3（整数なので有理数）
√16 = 4（整数なので有理数）
√25 = 5（整数なので有理数）2. 円周率 π（パイ）
π = 3.14159265358979323846...円の円周と直径の比です。
よく「22/7」と近似されますが、本当は無理数です。
3. ネイピア数 e
e = 2.71828182845904523536...自然対数の底で、高校数学で習います。
4. 黄金比 φ（ファイ）
φ = 1.61803398874989484820...美しい比率として、芸術や建築に使われます。
なぜ無理数は分数で表せないのか？
√2が無理数であることの証明（背理法）
これは有名な証明です。高校で習いますが、簡単に紹介します。
仮定
√2が有理数だと仮定する
→ √2 = a/b と表せる（aとbは互いに素な整数）
導出
両辺を2乗すると：
2 = a²/b²
2b² = a²
これより、a²は2の倍数
→ aも2の倍数（a = 2kとおける）
代入すると：
2b² = (2k)² = 4k²
b² = 2k²
これより、b²も2の倍数
→ bも2の倍数
矛盾
aとbがともに2の倍数なら、「互いに素」という仮定に矛盾！
結論
√2は有理数では表せない → √2は無理数
実数の分類（まとめ図）
実数全体の構造
実数（Real Numbers）
|
┌───────┴───────┐
| |
有理数 無理数
(Rational) (Irrational)
| |
┌───┴───┐ ┌───┴───┐
| | | |
整数 分数 平方根 その他
| 循環小数 √2 π, e
| √3
┌─┴─┐ √5
| |
自然数 0
負の整数具体例で整理
| 数 | 分類 | 説明 |
|---|---|---|
| 5 | 自然数、整数、有理数、実数 | 5 = 5/1 |
| 0 | 整数、有理数、実数 | 0 = 0/1 |
| -3 | 整数、有理数、実数 | -3 = -3/1 |
| 1/2 | 有理数、実数 | 分数 |
| 0.5 | 有理数、実数 | 0.5 = 1/2 |
| 0.333… | 有理数、実数 | 0.333… = 1/3 |
| √4 | 自然数、整数、有理数、実数 | √4 = 2 |
| √2 | 無理数、実数 | 1.41421… |
| π | 無理数、実数 | 3.14159… |
| e | 無理数、実数 | 2.71828… |
有理数と無理数の見分け方
有理数の判定
次のいずれかに当てはまれば有理数
✓ 整数
-5, 0, 1, 100✓ 分数
1/2, -3/4, 7/5✓ 有限小数
0.5, 1.25, -3.75✓ 循環小数
0.333... (1/3)
0.666... (2/3)
0.272727... (3/11)✓ √の中が完全平方数
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√100 = 10無理数の判定
次のいずれかに当てはまれば無理数
✓ √の中が完全平方数でない
√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10✓ π（円周率）
π = 3.14159265358979...✓ e（ネイピア数）
e = 2.71828182845904...✓ 非循環無限小数
0.101001000100001...（規則的だが循環しない）練習問題
理解を深めるために、いくつか問題を解いてみましょう。
問題1：分類問題
次の数を、自然数・整数・有理数・無理数・実数に分類しなさい。
(1) 7
(2) -4
(3) 0
(4) 3/5
(5) 0.75
(6) √9
(7) √7
(8) π
(9) 0.666...
(10) -√16答えを見る
(1) 7
- 自然数 ○
- 整数 ○
- 有理数 ○（7 = 7/1）
- 無理数 ×
- 実数 ○
(2) -4
- 自然数 ×（負の数）
- 整数 ○
- 有理数 ○（-4 = -4/1）
- 無理数 ×
- 実数 ○
(3) 0
- 自然数 ×（0は含まれない）
- 整数 ○
- 有理数 ○（0 = 0/1）
- 無理数 ×
- 実数 ○
(4) 3/5
- 自然数 ×
- 整数 ×
- 有理数 ○
- 無理数 ×
- 実数 ○
(5) 0.75
- 自然数 ×
- 整数 ×
- 有理数 ○（0.75 = 3/4）
- 無理数 ×
- 実数 ○
(6) √9
- 自然数 ○（√9 = 3）
- 整数 ○
- 有理数 ○
- 無理数 ×
- 実数 ○
(7) √7
- 自然数 ×
- 整数 ×
- 有理数 ×
- 無理数 ○
- 実数 ○
(8) π
- 自然数 ×
- 整数 ×
- 有理数 ×
- 無理数 ○
- 実数 ○
(9) 0.666…
- 自然数 ×
- 整数 ×
- 有理数 ○（0.666… = 2/3）
- 無理数 ×
- 実数 ○
(10) -√16
- 自然数 ×
- 整数 ○（-√16 = -4）
- 有理数 ○
- 無理数 ×
- 実数 ○
問題2：有理数か無理数か
次の数は有理数か無理数か答えなさい。
(1) √2
(2) √100
(3) π/2
(4) 0.123123123...
(5) √2 + √2
(6) √2 × √2答えを見る
(1) √2
無理数
√2 = 1.41421356…（非循環無限小数）
(2) √100
有理数
√100 = 10（整数）
(3) π/2
無理数
πが無理数なので、π/2も無理数
(4) 0.123123123…
有理数
循環小数は有理数。0.123123… = 123/999 = 41/333
(5) √2 + √2
無理数
√2 + √2 = 2√2 = 2 × 1.41421… = 2.82842…
(6) √2 × √2
有理数
√2 × √2 = 2（整数）
問題3：数直線上の位置
次の数を数直線上に表すとき、どの位置に来るか考えなさい。
(1) √2
(2) √5
(3) π答えを見る
(1) √2
1と2の間（約1.414）
---|---|---|---|---
1 √2 2 3(2) √5
2と3の間（約2.236）
---|---|---|---|---
1 2 √5 3(3) π
3と4の間（約3.14159）
---|---|---|---|---
2 3 π 4実生活での実数の使われ方
実数は私たちの生活のあちこちで使われています。
1. 測定
長さ・距離
- 身長：165.5cm（有理数）
- 正方形の対角線：√2 m（無理数）
重さ
- 体重：60.3kg（有理数）
- 物理学の計算：e^x kg（無理数）
2. お金の計算
価格
- 100円、1500円（整数・有理数）
- 消費税込み：1080円（整数・有理数）
3. 科学・工学
円周率 π
- 円の面積：πr²
- 円の円周：2πr
- 波の計算
ネイピア数 e
- 指数関数：e^x
- 複利計算
- 放射性崩壊
4. 建築・デザイン
黄金比 φ
- パルテノン神殿
- モナリザ
- 名刺のサイズ
√2（白銀比）
- A4用紙の縦横比（1:√2）
よくある質問（FAQ）
Q1: 0は実数ですか？
A: はい、実数です。0は整数であり、有理数でもあり、実数でもあります。
0 = 0/1（分数で表せる）Q2: すべての小数は実数ですか？
A: はい、すべての小数は実数です。
- 有限小数（0.5、1.25）→ 有理数 → 実数
- 循環小数（0.333…）→ 有理数 → 実数
- 非循環無限小数（√2、π）→ 無理数 → 実数
Q3: 負の数は実数ですか？
A: はい、負の数も実数です。
-5（整数・有理数・実数）
-3.5（有理数・実数）
-√2（無理数・実数）Q4: 実数でない数はありますか？
A: はい、虚数があります。
虚数は高校数学で習う特殊な数で、√(-1) = i を使って表します。
虚数の例：3i、2+5i などQ5: πは本当に無理数ですか？22/7ではないのですか？
A: πは無理数です。
22/7（≒3.142857…）は、πの近似値として使われるだけで、πそのものではありません。
π = 3.14159265358979323846...
22/7 = 3.142857142857...
微妙に違います！Q6: 有理数と無理数、どちらが多いですか？
A: 無理数の方が圧倒的に多いです！
数学的には、有理数は「可算無限」、無理数は「非可算無限」です。
数直線上にランダムに点を取ると、ほぼ確実に無理数になります。
実数の性質
実数には重要な性質がいくつかあります。
1. 稠密性（ちゅうみつせい）
任意の2つの実数の間には、無限個の実数が存在する
例：1と2の間には…
1.1, 1.5, 1.99, 1.999, 1.9999, ...無限個の実数があります。
2. 連続性
数直線上に隙間なく並んでいる
有理数だけでは数直線に「隙間」ができますが、無理数を加えることで隙間がなくなります。
3. 順序性
実数には大小関係がある
任意の2つの実数 a、b について、次のいずれかが成り立ちます。
a < b または a = b または a > b4. 四則演算が可能
実数同士で、足し算・引き算・掛け算・割り算（0で割る以外）ができます。
3 + √2 （実数）
π × 5 （実数）
√3 ÷ 2 （実数）まとめ
実数について、重要なポイントをおさらいしましょう。
✓ 実数 = 有理数 + 無理数
✓ 私たちが普段使うほぼすべての数が実数
✓ 有理数 = 整数の比（分数）で表せる数
✓ 無理数 = 分数で表せない数（非循環無限小数）
✓ 数の体系：自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 実数
✓ 代表的な無理数：√2、π、e
✓ 実数でない数 = 虚数（高校数学で習う）
✓ 0は整数であり、有理数であり、実数
✓ 循環小数は有理数、非循環無限小数は無理数
実数は、数学の基礎中の基礎です。
中学校から高校、大学と、数学を学ぶ上で常に登場する重要な概念なので、しっかり理解しておきましょう。
特に、「有理数と無理数の違い」「どんな数が有理数/無理数なのか」を見分けられるようになることが大切です。
この記事で実数の全体像がつかめたら、次は具体的な計算問題に挑戦してみてください。
実際に手を動かすことで、理解がさらに深まりますよ！
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