「平方完成って何のためにやるの？」 「公式は覚えたけど、実際にやると間違える…」 「係数が分数になると手が止まる…」 「そもそも完成って何を完成させるの？」
二次関数を勉強していて、平方完成でつまずいていませんか？
実は、平方完成は二次関数を理解する上での「最強の武器」なんです。これをマスターすれば、グラフの頂点が一瞬で分かり、最大値・最小値問題も楽勝になります。
この記事では、平方完成の基本から応用まで、ステップバイステップで丁寧に解説していきます。
読み終わる頃には、どんな二次式も自信を持って平方完成できるようになりますよ！
平方完成とは？ – 二次式を「きれいな形」に変形する技
そもそも平方完成って何？
平方完成とは、二次式を「（何か）の2乗 ± 定数」の形に変形することです。
変形の例：
x² + 6x + 5 → (x + 3)² - 4
左の式より右の式の方が、グラフの頂点や軸が一目で分かりますよね！
なぜ「平方完成」という名前？
「平方」は2乗のこと、「完成」は不完全な2乗の式を完全な2乗の形にすることを意味します。
イメージ：
x² + 6x ← これは不完全な2乗
(x + 3)² ← これが完全な2乗！
x² + 6xに何かを足したり引いたりして、(x + 3)²の形を作り出すんです。
なぜ平方完成が必要？ – 3つの重要な理由
理由1：グラフの頂点が一瞬で分かる
標準形： y = ax² + bx + c → 頂点の座標は？…計算が必要
平方完成後： y = a(x - p)² + q → 頂点の座標は (p, q) で一目瞭然！
理由2：最大値・最小値が簡単に分かる
y = -(x - 2)² + 5 という形なら：
- 最大値は5（x = 2のとき）
- (x – 2)²は必ず0以上なので、引き算すると5以下
理由3：二次方程式が解きやすくなる
x² + 6x + 5 = 0 を平方完成すると (x + 3)² - 4 = 0 → (x + 3)² = 4 両辺の平方根を取って解ける！
基本編：x²の係数が1の場合
ステップ1：基本公式を理解しよう
覚えるべき公式：
x² + 2ax = (x + a)² - a²
なぜこうなる？ (x + a)²を展開すると x² + 2ax + a² だから x² + 2ax = (x + a)² - a²
ステップ2：具体例で練習
例題1：x² + 6x を平方完成せよ
解法：
x² + 6x
= x² + 2×3×x （6 = 2×3と見る）
= (x + 3)² - 3² （公式を適用）
= (x + 3)² - 9
答え：(x + 3)² - 9
ポイント： xの係数6を「2×3」と見るのがコツ！
ステップ3：定数項がある場合
例題2：x² + 6x + 5 を平方完成せよ
解法：
x² + 6x + 5
= (x² + 6x) + 5 （定数項を分離）
= (x + 3)² - 9 + 5 （最初の部分を平方完成）
= (x + 3)² - 4
答え：(x + 3)² - 4
応用編：x²の係数が1でない場合
係数をくくり出す作戦
例題3：2x² + 8x + 3 を平方完成せよ
解法：
2x² + 8x + 3
= 2(x² + 4x) + 3 （x²の係数をくくり出す）
= 2{(x + 2)² - 4} + 3 （{ }内を平方完成）
= 2(x + 2)² - 8 + 3 （展開）
= 2(x + 2)² - 5
答え：2(x + 2)² - 5
注意点： くくり出した2は、-4にもかけること！
係数が分数・小数の場合
分数が出てきても怖くない！
例題4：x² + 3x + 1 を平方完成せよ
解法：
x² + 3x + 1
= x² + 2×(3/2)×x + 1 （3 = 2×3/2）
= (x + 3/2)² - (3/2)² + 1
= (x + 3/2)² - 9/4 + 1
= (x + 3/2)² - 9/4 + 4/4
= (x + 3/2)² - 5/4
答え：(x + 3/2)² - 5/4
コツ： 分数は避けずに、正面から向き合う！
グラフへの応用 – 頂点と軸がすぐ分かる！
平方完成から頂点を読み取る
例：y = x² – 4x + 1 のグラフの頂点を求めよ
平方完成：
y = x² - 4x + 1
= (x - 2)² - 4 + 1
= (x - 2)² - 3
頂点の座標：(2, -3)
軸の方程式：x = 2
最大値・最小値問題
例：y = -x² + 6x – 5 の最大値を求めよ
平方完成：
y = -x² + 6x - 5
= -(x² - 6x) - 5
= -{(x - 3)² - 9} - 5
= -(x - 3)² + 9 - 5
= -(x - 3)² + 4
最大値：4（x = 3のとき）
よくある間違いと対処法
間違い1：符号のミス
よくあるミス：
x² - 4x = (x - 2)² + 4 ← 間違い！
正解：
x² - 4x = (x - 2)² - 4
覚え方： 展開したときに余分に出てくる分を引く！
間違い2：係数の掛け忘れ
よくあるミス：
2(x² + 4x) = 2(x + 2)² - 4 ← 間違い！
正解：
2(x² + 4x) = 2(x + 2)² - 8
覚え方： くくり出した係数は、全体にかける！
間違い3：xの係数の半分を忘れる
よくあるミス：
x² + 6x = (x + 6)² - 36 ← 間違い！
正解：
x² + 6x = (x + 3)² - 9 （6の半分は3）
別解：機械的な方法（公式利用）
頂点の公式を使う方法
二次関数 y = ax² + bx + c の頂点は：
x座標： -b/2a y座標： c - b²/4a
でも、これを覚えるより平方完成の方が確実！
練習問題にチャレンジ！
基本問題
x² + 8xを平方完成せよx² - 2x + 3を平方完成せよx² + 5x + 6を平方完成せよ
応用問題
3x² + 12x + 5を平方完成せよy = x² - 6x + 8のグラフの頂点を求めよy = -2x² + 8x - 3の最大値を求めよ
解答
(x + 4)² - 16(x - 1)² + 2(x + 5/2)² - 1/43(x + 2)² - 7- 頂点：
(3, -1) - 最大値：
5（x = 2のとき）
実は身近にある平方完成
物理での応用
放物運動： ボールを投げたときの軌道 y = -5t² + 10t + 2 を平方完成すると 最高点の時刻と高さが分かる！
経済学での応用
利益最大化： 利益関数が二次関数のとき、平方完成で最適な生産量が分かる！
平方完成マスターへの道
習得の3ステップ
Step1（1週間目）：
- x²の係数が1の場合を完璧に
- 毎日5問ずつ練習
Step2（2週間目）：
- 係数が1でない場合に挑戦
- 分数が出ても動じない
Step3（3週間目）：
- グラフの頂点を瞬時に
- 最大値・最小値問題に応用
まとめ – 平方完成は二次関数の万能ツール！
平方完成、最初は難しく感じるけど、実はパターンが決まっているんです！
今日学んだポイント：
✅ 平方完成 = (何か)² ± 定数 の形にする
✅ xの係数の半分がカギ
✅ 係数が1でないときは、くくり出す
✅ 頂点の座標が一瞬で分かる
✅ 符号と係数の掛け忘れに注意
成功のコツ：
- 公式を理解する（丸暗記より理解）
- たくさん練習する（手を動かす）
- 間違えたら原因を分析
- グラフと結びつけて考える
平方完成は二次関数を攻略する最強の武器です。
これをマスターすれば、二次関数の問題がグッと楽になります。
さあ、今すぐ練習問題に挑戦してみましょう！
きっと「あ、分かった！」という瞬間が訪れるはずです。📊
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