決定係数(R²)の完全ガイド

決定係数（R²）って聞いたことありますか？

これは、予測モデルがどれだけデータを説明できるかを示す統計指標です。 0から1の値で表され、パーセンテージとして解釈されます。

例えば、R²が0.75なら？ モデルが結果の変動の75%を説明できることを意味するんです。

この指標は単純に見えますよね。 でも、正しく理解し使用するには、その計算方法、解釈、限界を深く理解する必要があります。

決定係数の基礎：定義と数学的意味

決定係数（R²）は、英語ではR-squared またはcoefficient of determinationと呼ばれます。

では、何を表すのでしょうか？ 独立変数が従属変数の変動をどれだけ説明できるかの割合を表します。

簡単に言えば、「予測モデルがデータのばらつきをどれくらい説明できているか」を示す指標なんです。

数学的な定義

R²は次の式で定義されます：

R² = 1 – (残差平方和/全平方和)

ここで：

• 残差平方和：実際の値と予測値の差の二乗の合計
• 全平方和：実際の値と平均値の差の二乗の合計

この式が意味することは何でしょう？ 「モデルが説明できない部分の割合を1から引いたもの」ということです。

記号R²の由来

記号R²の由来は興味深いものです。

相関係数（correlation coefficient）の頭文字「R」を二乗（squared）したものからきています。

単回帰分析では、R²は文字通り相関係数rの二乗に等しくなります。 この関係性は、Karl Pearsonによって開発された相関係数の理論に基づいているんです。

実際の計算方法とツール

具体例で見る計算方法

決定係数の計算を具体例で見てみましょう。

例えば、勉強時間（x）とテストの点数（y）の関係を調べる場合。 8人の生徒のデータで計算してみます。

手順：

1. 各データポイントのxy、x²、y²を計算
2. それらの合計を求める
3. 公式を適用

使用する公式： R² = [nΣxy – (Σx)(Σy)]² / [(nΣx² – (Σx)²) × (nΣy² – (Σy)²)]

実際の計算でR² = 0.89という結果が得られたら？ 勉強時間がテスト点数の変動の89%を説明していることになります。

Excelでの計算方法

ExcelでR²を計算する最も簡単な方法を紹介します。

方法1：RSQ関数を使う

=RSQ(B2:B11, A2:A11)

これだけで自動的にR²が計算されます。

方法2：データ分析ツール より詳細な分析には、データ分析ツールの回帰分析機能を使います。

方法3：散布図のトレンドライン

1. 散布図を作成
2. トレンドラインを追加
3. 「R²値を表示」にチェック

Pythonでの計算方法

Pythonでは、scikit-learnライブラリを使って簡単に計算できます。

# LinearRegressionモデルをフィット後
r_squared = model.score(X, y)

より詳細な統計情報が必要な場合は？ statsmodelsライブラリのOLS（通常最小二乗法）を使用します。

値の解釈と相関係数との関係

R²値の一般的な解釈

R²の値は0から1の範囲を取ります。 それぞれに明確な意味があるんです。

一般的な解釈基準：

• R² > 0.8：強い関係性
• 0.5 < R² < 0.8：中程度の関係性
• R² < 0.5：弱い関係性

でも、ちょっと待ってください。 この解釈は分野によって大きく異なるんです。

例えば：

• 物理学では0.9以上が期待される
• 心理学では0.35以上で意味があるとされる

相関係数rとR²の関係

相関係数rとR²の関係は密接です。

単回帰分析ではR² = r²という単純な関係が成り立ちます。

違いは何でしょうか？

• 相関係数r：-1から+1の範囲で方向性（正か負か）を示す
• R²：0から1の範囲で強さのみを示す

なぜ二乗するのかという疑問への答え：

1. 方向性を除いて純粋に「説明力」を測りたいから
2. 分散の分解という統計学的枠組みに適合するから

使い分けのポイント

重要なのは使い分けです。

相関係数を使う場面 関係の強さと方向を探る際

R²を使う場面 モデルの予測精度を評価する際

例を挙げてみましょう。 気温とアイスクリームの売上の関係を調べる場合：

1. 相関係数で「正の関係がある」ことを確認
2. R²で「気温が売上変動の何％を説明できるか」を評価

現実世界での活用例

ビジネス分野での活用

ビジネス分野では、R²は売上予測モデルの評価に広く使われています。

実例を見てみましょう。 石油価格と製品売上の関係を分析した研究では：

• **R² = 0.899（89.9%）**という高い値
• 石油価格の1%上昇が15,000単位の売上増加につながる

金融分野での基準：

• 一般的にR²は0.40～0.70の範囲が「良好」
• 市場の変動性を考慮すると、完璧な予測は不可能

医学研究での活用

医学研究では、R²の期待値は大幅に低くなります。

43,110件のPubMed論文を分析した研究の結果： 医学研究の平均R²は0.499（49.9%）

具体例：

• 心停止後の生存率予測モデル：R² = 0.245（24.5%）
• これでも臨床的に有意義な洞察を提供

なぜ低いのでしょうか？
生物学的システムは多くの要因が複雑に絡み合うためです。
**R² ≥ 0.15（15%）**でも実用的とされます。

教育分野での活用

学生の成績予測モデルの開発例を見てみましょう。

日本の大学で行われた研究：

• 学生のエンゲージメント
• 過去の成績
• 自己主導学習能力 これらを組み合わせたモデルで**R² = 0.82（82%）**を達成。

この結果は何を意味するでしょうか？ モデルが成績変動の82%を説明でき、早期介入プログラムの設計に活用されています。

天気予報の精度

天気予報の精度も興味深い例です。

• 5日間予報：約90%の精度
• 10日間予報：約50%まで低下

これは何を示しているでしょうか？ 大気システムの複雑性とカオス的な性質を反映し、長期予測の本質的な限界を示しています。

決定係数の種類と派生指標

単回帰分析のR²と重回帰分析のR²

単回帰分析のR²は最も基本的な形です。

一方、重回帰分析のR²は複数の独立変数を扱う際に使用されます。

重回帰R²の特徴： 変数を追加すると必ず増加または維持される

これは数学的な性質です。 たとえ無関係な変数でも、偶然の相関によってR²を上昇させる可能性があるんです。

調整済みR²（Adjusted R²）

この問題を解決するために開発されたのが調整済みR²です。

計算式： 調整済みR² = 1 – [(1-R²)(n-1)/(n-k-1)]

ここで：

• n：サンプルサイズ
• k：独立変数の数

調整済みR²の効果：

• モデルの改善に十分寄与しない変数の追加にペナルティを課す
• 過学習を防ぐ

R²と調整済みR²の使い分け

使い分けは重要です。

R²を使う場面

• 単回帰分析
• 同じ変数数のモデル比較

調整済みR²を使う場面

• 重回帰分析
• モデル選択

両者の差が大きい場合は要注意！ 無関係な変数が含まれている可能性を示唆します。

例：R² = 0.87で調整済みR² = 0.81の場合 追加した変数の一部が実質的な予測力を持たない可能性があります。

重要な注意点と限界

因果関係の誤解

R²の最も重要な限界を知っていますか？

高い値が因果関係を意味しないことです。

R²はあくまで相関の強さを測る指標。 原因と結果の関係を証明するものではありません。

例を挙げましょう： マッチの携帯と肺がんの発生率に高い相関があっても、実際の原因は喫煙という交絡変数です。

外れ値への敏感性

外れ値への極端な敏感性も深刻な問題です。

アンスコムの四重奏という有名なデータセットを知っていますか？

全く異なるパターンを持つ4つのデータセットが、同じR² = 0.67を示すんです。

• 一つは真の線形関係
• 別のものは明らかな非線形パターン
• さらに別のものは1つの外れ値だけで高いR²

これは何を示しているでしょうか？ R²だけでは実際のデータパターンを判断できないということです。

サンプルサイズの影響

サンプルサイズもR²の信頼性に大きく影響します。

小さなサンプルでは：

• R²が上方にバイアスされる
• 実際より高い値を示す傾向

また、変数を追加すると必ずR²が増加する性質は、過学習のリスクを高めます。

例：19個の予測変数と41個の観測値 この組み合わせは、ほぼ確実に過学習を引き起こします。

よくある誤解とその真実

誤解1：「R²が低い = モデルが悪い」

これは正しくありません。

分野によって期待されるR²値は大きく異なります。 心理学や経済学ではR² = 0.1～0.3でも意味のある洞察を提供できます。

なぜでしょうか？ 人間の行動は本質的に予測困難だからです。 低いR²でも統計的に有意な関係性は実用的価値を持ちます。

誤解2：「R²が高い = 予測精度が高い」

これも危険な誤解です。

研究結果を見てみましょう： 同じ平均二乗誤差（MSE = 0.647）でもR²が0.94と0.15という大きく異なる値を示すことがあります。

これは独立変数の範囲を変えるだけで起こりえます。 時系列データでは、トレンドを持つ変数同士が偶然高いR²を示すこともあります。

誤解3：「R²を1に近づけることが常に目標」

この考えも問題があります。

人間の行動を予測するモデルでR² = 0.9は、むしろ問題の兆候かもしれません。

可能性として：

• 測定誤差
• 省略変数
• 過学習

分野による違いを理解することが重要です：

• 物理学：0.9以上が期待される
• 社会科学：0.5でも優れたモデル

実践的な使用指針

可視化との組み合わせ

R²を適切に使用するためには、必ず可視化と組み合わせることが不可欠です。

確認すべきポイント：

1. 散布図でデータパターンを確認
2. 残差プロットで仮定の違反をチェック
3. レバレッジプロットで影響力の大きい点を特定

数値だけでなく、視覚的な確認が重要なんです。

ドメイン知識の考慮

分野による期待値の違いを理解しましょう。

• 物理科学：高いR²値が期待され意味を持つ
• 社会科学：低いR²値でも受け入れられ情報価値がある
• 金融市場：非常に低いR²でも経済的に重要な意味を持つ
• 医学研究：臨床的意義が低いR²にもかかわらず存在する

複数の評価指標の使用

複数の評価指標を使用することを推奨します。

組み合わせて使用すべき指標：

• R²
• 調整済みR²
• AIC/BIC
• RMSE
• 交差検証

確認すべき事項：

• 回帰の仮定が満たされていること
• 効果量と信頼区間
• 訓練サンプルを超えたパフォーマンス

最後に：R²は万能ではない

R²は万能ではないことを理解することが重要です。

それは分析ツールボックスの一つのツールに過ぎません。 他のツールと組み合わせて使用する必要があります。

必要なのは：

• データの可視化
• ドメイン知識
• 複数の指標
• 慎重な検証

これらを統合した統計分析が必要です。

R²は結論を決定するのではありません。 モデルの品質と有用性について、結論を情報提供するものなんです。