数学の定理一覧：体系的総合ガイド

中学数学の重要定理

幾何の定理

三平方の定理（ピタゴラスの定理）

中学3年で学ぶ最も重要な定理の一つです。

定理の内容： 直角三角形において、斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しい → a² + b² = c²

特殊な直角三角形：

整数比：3-4-5、5-12-13
45°-45°-90°の三角形：辺の比 1:1:√2
30°-60°-90°の三角形：辺の比 1:2:√3

紀元前から知られており、建築や測量、GPSシステムまで幅広く応用されています。

三角形の合同条件

2つの三角形が全く同じ形と大きさであることを証明するための条件：

SSS：3組の辺がそれぞれ等しい
SAS：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
ASA：2組の角とその間の辺がそれぞれ等しい

証明問題の基礎となる重要な定理です。

三角形の相似条件

形は同じでも大きさが異なる三角形の関係を扱います。

AAA：3組の角がそれぞれ等しい
SAS：2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

地図作成や影の計算、比例推論に応用されます。

円周角の定理

円の幾何学の基本定理：

同じ弧に対する円周角は中心角の半分
同じ弧に対する円周角は等しい
直径に対する円周角は90°（ターレスの定理）

代数の定理

因数分解の公式

複雑な式を簡単な積の形に変換する技術です。

基本公式：

x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
x² – a² = (x+a)(x-a)（2乗の差）
x² + 2ax + a² = (x+a)²（完全平方）

これらを使いこなすことで、方程式の解法が容易になります。

平方根の性質

基本性質：

√(ab) = √a × √b
√(a/b) = √a / √b

有理化： 分母の根号を取り除く操作例：1/√2 = √2/2

高校数学の重要定理

高校数学は数学I・A、II・B、IIIの体系で構成され、各分野で重要な定理を学習します。

数学I・Aの定理

二次関数

頂点公式： y = a(x – p)² + q

最大値・最小値問題に応用される基本形です。

判別式： D = b² – 4ac

二次方程式の解の性質を判定：

D > 0：実数解2個
D = 0：重解
D < 0：虚数解

三角比の定理

正弦定理：

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

余弦定理：

a² = b² + c² - 2bc cos A

面積公式：

S = (1/2)bc sin A

これらは三角形の未知の辺や角を求める基本ツールで、大学入試共通テストでも頻出です。

確率の定理

加法定理：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
乗法定理：P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
条件付き確率：P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

整数の性質

ユークリッドの互除法：最大公約数を求める
算術の基本定理：すべての整数が一意的に素因数分解できる

数学II・Bの定理

三角関数

加法定理：

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

覚え方：「咲いたコスモスコスモス咲いた」

派生公式：

2倍角の公式：sin 2θ = 2sin θ cos θ
半角の公式

微分・積分

微分法則：

積の微分：(fg)’ = f’g + fg’
商の微分：(f/g)’ = (f’g – fg’)/g²
合成関数の微分（連鎖律）

微分積分学の基本定理：

∫[a to b] f'(x)dx = f(b) - f(a)

微分と積分が逆演算であることを示す最重要定理です。

ベクトル・数列

ベクトル内積：

a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ

等差数列： aₙ = a₁ + (n-1)d 等比数列： aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

数学IIIの定理

極限

はさみうちの原理
ロピタルの定理：0/0や∞/∞型の極限計算

複素数

ド・モアブルの定理：

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

オイラーの公式：

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

特に美しい等式：e^(iπ) + 1 = 0

大学初年度の基本定理

大学数学では、証明を重視した厳密な理論展開が始まります。

線形代数

定理名	内容	応用
階数・退化次数定理	rank(T) + nullity(T) = dim(V)	線形変換の核と像の関係
ケーリー・ハミルトンの定理	行列がその固有多項式を満たす	行列の冪の計算
スペクトル定理	実対称行列は直交行列で対角化可能	主成分分析

解析学

平均値の定理：連続関数の平均変化率と瞬間変化率を結びつける
中間値の定理：連続関数が中間の値をすべて通る
極値定理：閉区間上の連続関数が最大値と最小値を持つ

集合論・論理学

カントールの定理：無限にも「大きさ」がある
ラッセルのパラドックス：集合論の基礎に潜む矛盾
ド・モルガンの法則：論理演算の基本変換規則

歴史的に重要な定理

古代の定理

ピタゴラスの定理（紀元前6世紀）

ピタゴラスに帰されるが、バビロニア人は紀元前2000年頃から知っていました。現在までに367以上の証明法が知られています。

ユークリッドの定理群（紀元前300年頃）

『原論』において公理的方法を確立：

素数が無限に存在することの証明
ユークリッドの互除法

近世・近代の定理

フェルマーの最終定理（1637年提唱、1994年証明）

xⁿ + yⁿ = zⁿ（n≥3）を満たす自然数解は存在しない

357年後にアンドリュー・ワイルズが証明。

ニュートン・ライプニッツの定理（1665-1684年）

微分と積分が逆演算であることを示し、現代科学技術の基礎となりました。

オイラーの定理群（18世紀）

多面体公式：V – E + F = 2
オイラーの恒等式：e^(iπ) + 1 = 0

現代の定理

定理名	年代	意義
ゲーデルの不完全性定理	1931年	数学の完全な形式化が不可能
	1976年証明	コンピュータを使った最初の主要証明
ポアンカレ予想	2002-2003年証明	ミレニアム懸賞問題の一つ

分野別の定理分類

各分野の重要定理

幾何学：

ユークリッド幾何：三平方の定理、相似定理
非ユークリッド幾何：平行線公理の代替

代数学：

群論：ラグランジュの定理
環論：準同型定理
体論：代数学の基本定理

解析学：

実解析：ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
複素解析：コーシーの積分定理
関数解析：バナッハの不動点定理

確率・統計：

大数の法則
中心極限定理
ベイズの定理

整数論：

素数定理
ディリクレの算術級数定理
二次の相互法則

定理の関連性と体系

基礎から発展への流れ

中学の三平方の定理
  ↓
高校の三角比
  ↓
大学の内積空間論

因数分解
  ↓
多項式論
  ↓
ガロア理論

定理間の論理的関係

多くの定理は他の定理から導かれます：

平均値の定理 → ロルの定理
微分積分学の基本定理 → 置換積分法
条件付き確率の定義 → ベイズの定理
内積の性質 → 垂直条件

系（コロラリー）の重要性

主要定理から派生する系も重要：

中間値の定理 → 方程式の解の存在
極値定理 → 最適化問題の解の存在

定理学習のための実践的アドバイス

理解を深めるコツ

定理は単に暗記するのではなく、なぜその定理が成り立つのかを理解することが重要です。

効果的な学習方法：

具体例で確認
簡単な場合から一般化
図を描いて視覚的に理解
反例を考えて条件の必要性を確認

よくある間違いとその対策

分野	よくある間違い	対策
ベクトル	始点を揃え忘れ	常に始点を確認
数学的帰納法	仮定を使い忘れ	証明の構造を明確化
幾何	向きつき線分の扱い	符号に注意
確率	P(A\|B)とP(B\|A)の混同	条件を明確に